第二章行列式：一个数决定解的存在

解二元一次方程组的时候，两个未知数的分母永远是同一个数，它出现得太多，古人只好给它一个名字，叫行列式。行列式把一个方方正正的数字表压成一个数，方程组的命运全在这一个数上：它不为零，解唯一；它是零，解要么没有，要么多到写不完。这一章从二阶算到 \(n\) 阶，最后用它写出一套解方程组的公式。

一、从二阶到三阶：对角线法则

设二元线性方程组 \(a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1,\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\)，消元之后无论先解出哪个未知数，留下的分母都是 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)。这个式子每解一次就得重抄一遍，课本给它一个专门的记号，叫二阶行列式：

\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}, \]

于是 \(x_1=\dfrac{D_1}{D}\)，\(x_2=\dfrac{D_2}{D}\)，\(D_j\) 是把常数列换到第 \(j\) 列上得到的行列式。表里横排叫行，竖排叫列，\(a_{ij}\) 先数行后数列，算法只有一句：左上乘右下，减去右上乘左下。

这个数有几何上的来处。把两列看成从原点出发的两支箭头，它们张成一个平行四边形，行列式的绝对值就是这块面积；两列的先后决定符号，逆时针方向上后到的那支排在前面取正，反过来取负。行列式因此是带正负号的定向面积，同一块地量两遍得同一个数，报出来的符号却可能相反。

绝对值是面积，符号是转向。换两列的顺序，面积没变，行列式从 5 变成 −5。

未知数加到三个，算法叫对角线法则，也译作萨吕斯法则：把表右面再抄上第一、二列，沿六条斜线各取三个数相乘，从左上往右下的三条取正，从右上往左下的三条取负。每项的三个数来自不同的行与不同的列，这条规矩是下一节定义里唯一要紧的东西。

六条斜线正好抓完六个乘积。右侧两列是重抄的副本，借它们把斜线拉直。

图里那个矩阵手算一遍：正项 \(3\cdot4\cdot3+1\cdot1\cdot1+2\cdot2\cdot5=57\)，负项 \(2\cdot4\cdot1+3\cdot1\cdot5+1\cdot2\cdot3=29\)，相减得 28。写的时候正项一列、负项一列，不容易漏号。对角线法则只管二阶和三阶，四阶再这样画就会算错，原因要等 \(n\) 阶的通式写出来才看得清。

1693 年，汉诺威

两个下标，一张表

「每个系数属于第几个方程、第几个未知数，用两个下标标出来。」

莱布尼茨 1693 年致洛必达的信（意译）

他把方程组的系数编上双下标，又写下消元之后剩下的那个表达式，后人把这封信看作行列式的最早雏形。麦克劳林 1748 年在《代数论》里给出同样形状的法则，克拉默 1750 年在《代数曲线引论》的附录里用它解方程组。

二、n 阶行列式：全排列与逆序数

三阶的六项换个读法：每一项的三个数，行标总是 1、2、3 顺排，列标则是 1、2、3 的六种排法之一。把 1 到 \(n\) 各用一次排成一列，叫一个全排列，\(n\) 个数共有 \(n!\) 个：三阶 6 个，四阶 24 个，十阶 362 万个。行列式的定义，就是给每个全排列配一个正负号，再把对应的乘积加起来。

正负号看排列的奇偶。排列 \(p_1p_2\cdots p_n\) 里，较大的数排在较小的数前面就叫一个逆序，逆序的总数叫逆序数，记作 \(\tau\)；\(\tau\) 为偶取正，为奇取负。三阶六个排列算一遍：123 的 \(\tau=0\)，231 与 312 的 \(\tau=2\)，都取正；321 的 \(\tau=3\)，132 与 213 的 \(\tau=1\)，都取负，与对角线法则的三正三负一致。

定义（\(n\) 阶行列式）

设 \(A=(a_{ij})\) 是 \(n\) 阶方阵，则

\[ D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{p_1p_2\cdots p_n}(-1)^{\tau(p_1p_2\cdots p_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}, \]

和式取遍 1 到 \(n\) 的全部 \(n!\) 个全排列，每一项是取自不同行、不同列的 \(n\) 个元素之积。

读定义抓住三条：每项的 \(n\) 个元素不同行不同列；项数正好 \(n!\)，不重不漏；\(n\ge2\) 时正负各半，随手凑的乘积常常互相抵消，行列式经常是零或者很小的数。性质的第一条，行列式与转置相等，从定义也看得出来：转置之后行标成了全排列、列标变成顺排，逆序数没变，和式还是原来的值，所以后面只讲行，列的情形一字不改。

为什么正项和负项一定各占一半

把排列里任意两个数对换，逆序数的奇偶必然翻转：这两个数之间与它们同时构成逆序的成对增减。于是所有排列可以两两配对，每对一奇一偶，\(n!\) 个排列正好分成 \(n!/2\) 对。

三、六条性质：把行列式算小

照定义算四阶要写 24 项，五阶 120 项，十阶 362 万项，谁也受不了。六条性质不产生新的值，它们只把行列式换成值相等、形状更好看的另一个，一直换到不必再算为止。

性质（行列式的六条基本性质）

一、行列式与它的转置相等，\(D^{T}=D\)，行与列地位相同。

二、互换两行，行列式变号。

三、某一行乘 \(k\)，等于用 \(k\) 乘整个行列式；某一行全为零，行列式为零。

四、两行相同或成比例，行列式为零。

五、某一行是两组数之和，行列式可拆成两个行列式之和，其余各行不动。

六、把某一行的 \(k\) 倍加到另一行上，行列式不变。

天天用的是第六条，它就是第一章的消元法。把第一行的适当倍数加到下面各行，让第一列只剩一个非零数，再对第二列做同样的事，一路做下去，行列式变成了上三角。上三角行列式按定义只有 \(p=(1,2,\cdots,n)\) 这一个排列能取到非零乘积，所以它的值等于主对角线连乘，四阶的 24 项就此变成 4 次乘法和几行加法。

拿 \(D=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3\\ 4 & 3 & 8\\ 6 & 5 & 14\end{vmatrix}\) 试一遍：第二行减两倍第一行得 \((0,1,2)\)，第三行减三倍第一行得 \((0,2,5)\)，第三行再减两倍第二行得 \((0,0,1)\)，于是 \(D=2\cdot1\cdot1=2\)。

第三条管公因子，某行有公共的 \(k\) 可以挪到外面，数字因此变小；某行全零，整个行列式就是零。第四条管判零，两行相同或成比例，值直接写 0。像 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 7\\ 3 & 7 & 10\end{vmatrix}\)，拿第一行去减后两行，两行都变成了 \((0,1,1)\)，不必再算。

第二条管符号，每交换两行变一次号，化三角途中换过几次行，最后要补 \((-1)\) 的那么多次方。第五条主要用在证明，把一行拆成两行之和，行列式跟着分成两个。第一条则把行与列绑在一起，凡是对行成立的，对列照搬，下一节的按列展开就靠它。

算行列式不用展开定义：用倍加把它化成上三角，再把对角线上那几个数乘起来，符号按换行的次数补。

四阶为什么不能用对角线法则

四阶有 \(4!=24\) 项，而一张表上两条对角线最多凑出 8 条斜线，剩下 16 项没地方画。三阶的 6 项恰好等于 6 条斜线，纯属巧合。

四、余子式与按行展开

性质把行列式化简，还有一条路是把阶数降下来，拆法就是划掉一行一列。

定义（余子式与代数余子式）

划去 \(a_{ij}\) 所在的第 \(i\) 行与第 \(j\) 列，剩下的 \(n-1\) 阶行列式叫 \(a_{ij}\) 的余子式，记作 \(M_{ij}\)；配上符号 \((-1)^{i+j}\) 得 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，叫代数余子式。

符号只看位置，与元素本身是几无关，像棋盘一样隔一格换一次：左上角是正，往右一格、往下一格各变一次负。

划掉一行一列，剩下四格拼成二阶行列式。余子式是 −5，位置在「−」上，代数余子式就是 5。

定理（按行展开）

行列式等于任意一行（或任意一列）的各元素与自己的代数余子式乘积之和：

\[ D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}, \]

而某一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零。

展开定理把 \(n\) 阶换成 \(n\) 个 \(n-1\) 阶。挑零最多的行或列展开，实际只算几项；动手前先用第六条性质造零，常常能把整行做到只剩一个非零数。像 \(\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1\\ 5 & 4 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}\) 按第二行展开，得 \(5\cdot(-19)+4\cdot11+6\cdot5=-21\)。

后半句是拿某一行的元素乘另一行的代数余子式，加起来为零。理由很实在：那个和等于把第二行换成第一行之后的行列式，两行相同，值是零。它保证按一行展开的结果唯一，也给第三章求逆矩阵的公式铺了路。

展开定理凭什么成立

按定义，每一项是 \(a_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}\)。固定第 \(i\) 行用到的那个元素 \(a_{ij}\)，剩下的 \(n-1\) 个元素正好取遍除第 \(j\) 列外的所有列，拼起来就是 \(M_{ij}\)。把 \(n!\) 项按用到的 \(a_{ij}\) 归类，正好 \(n\) 组，每组提出 \(a_{ij}\)，剩下的和就是 \(A_{ij}\)。

五、范德蒙德行列式

有一类行列式有现成答案，阶数再高也不用算：第一行全是 1，第二行是 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，第三行是它们的平方，一路排到 \(n-1\) 次方。

定理（范德蒙德行列式）

\[ V_n=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\le i \lt j\le n}(x_j-x_i), \]

三阶时具体是 \((x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)\)，四阶就是六个因子相乘。

这个乘积说清一件事：\(x_1,\cdots,x_n\) 里有两个相等，某个因子为零，行列式为零；两两不同，每个因子都不为零，行列式也不为零。插值问题正好用得上：过 \(n\) 个横坐标互不相同的点作一条 \(n-1\) 次多项式，系数矩阵就是范德蒙德矩阵，行列式不为零说明这样的多项式存在且只有一条。

推导靠降阶。把最后一行减去上一行的 \(x_1\) 倍，再把倒数第二行减去它上一行的 \(x_1\) 倍，一路做上去，第一列只剩最上面的 1；按第一列展开，每列提出一个 \((x_j-x_1)\)，剩下一个同形的 \(n-1\) 阶行列式，如此递归到底。

1771 年，巴黎

行列式成了独立的对象

「把这些由方程组系数排成的式子，本身拿来研究。」

范德蒙德《论线性方程组的解法》，1771 年（意译）

他不再把行列式当成解方程的中间步骤，而是当成一个可以研究的对象，给出了展开与因式分解的一批结果，上面那个乘积公式就挂着他的名字。高斯 1801 年在《算术研究》里第一次使用「行列式」这个词，柯西 1812 年给出乘法定理与现代记号，雅可比 1827 年把它写成今天课本里的竖线形状。

六、克拉默法则

定义和性质都齐了，回到开头那个问题：方程组什么时候有唯一的解。未知数与方程各 \(n\) 个时，答案写在一个数上。

定理（克拉默法则）

设 \(n\) 个未知数、\(n\) 个方程的线性方程组的系数行列式 \(D\ne0\)，则方程组有唯一解

\[ x_1=\frac{D_1}{D},\quad x_2=\frac{D_2}{D},\quad \cdots,\quad x_n=\frac{D_n}{D}, \]

其中 \(D_j\) 是把 \(D\) 的第 \(j\) 列换成常数列 \(b_1,b_2,\cdots,b_n\) 之后得到的行列式。

道理不长：\(D_j\) 按第 \(j\) 列展开，等于 \(\sum_i b_iA_{ij}\)。把它代进第 \(k\) 个方程，左边成了 \(\sum_i b_i\left(\sum_j a_{kj}A_{ij}\right)\)，括号里那个和式按上一节的定理在 \(i=k\) 时等于 \(D\)、其余为零，所以左边正好是 \(b_kD\)，除以 \(D\) 就还原了原方程。要记牢的是条件：只对方阵有效，\(D\) 必须不为零。

二元情形试一遍：\(2x_1+3x_2=8,\ x_1-x_2=-1\)。\(D=-5\)，\(D_1=-5\)，\(D_2=-10\)，所以 \(x_1=1\)，\(x_2=2\)。四个二阶行列式手算，速度与消元差不多。

局限有三条。方程个数必须等于未知数个数，三个未知数只给两个方程时它没法用。\(D=0\) 时它什么也不说，可能无解，也可能有无穷多解，要回去消元才分得清。计算量随阶数爆炸：解一个 \(n\) 元方程组要算 \(n+1\) 个 \(n\) 阶行列式，照定义是 \((n+1)\cdot n!\) 次乘法，\(n=10\) 时约 4 亿次，消元法只要 300 次左右。所以真解方程组还是用第一章的消元法，克拉默法则留给公式和证明：解被写成常数项的显式表达式，\(D\) 是不是零也顺便给出了唯一性的判别。

定理（齐次方程组有非零解的条件）

设齐次线性方程组有 \(n\) 个未知数、\(n\) 个方程，系数行列式为 \(D\)，则 \(D\ne0\) 时它只有零解；\(D=0\) 时它有非零解，且非零解有无穷多个。

这一条比非齐次的好用：齐次组永远有零解，只剩「有没有别的解」一个问题。比如 \(\lambda x+y+z=0,\ x+\lambda y+z=0,\ x+y+\lambda z=0\)，\(D=(\lambda+2)(\lambda-1)^2\)，令它为零得 \(\lambda=1\) 或 \(\lambda=-2\)。第一章用消元做过同一道题，那里看到主元变少，这里看到行列式变零。

方程个数和未知数个数不等时，克拉默法则怎么办

用不了，它只认方阵。\(m\ne n\) 时改走秩的路：把增广矩阵化成阶梯形，比较系数矩阵与增广矩阵的秩，第四章会正式定义秩。方阵而 \(D=0\) 时也是这条路。

怎么算

二阶、三阶直接用对角线法则。别再绕定义，六条斜线写下来就完事，正项一列、负项一列。
四阶往上先找零。挑零最多的行或列展开；没有零就先用倍加造零，把整行做到只剩一个非零数。
化三角要记符号。每交换两行乘一次 \((-1)\)，只做倍加则不必补号。
先提公因子。某行有公因子就提到外面，数字越小越不容易算错。
三种情况直接写零。两行相同、两行成比例、有一行全零，看一眼就收工。
用克拉默法则之前先算 \(D\)。\(D=0\) 就停手，改回去做消元，别硬往下算 \(D_1\)。

上三角行列式为什么等于对角元连乘

按定义，每一项要在一行里取一个数且不同列。上三角的零都在对角线下方，第一个排列若取 \(p_1\ne1\)，第 1 行取到的就是零；于是 \(p_1=1\)，接着 \(p_2\) 只能是 2，一路推到底只剩 \(p=(1,2,\cdots,n)\) 一项。

例题

例 1　计算 \(D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 1 & 2\end{vmatrix}\)。

第二行减两倍第一行得 \((0,-1,-5)\)，第三行减三倍第一行得 \((0,-5,-7)\)，第三行再减五倍第二行得 \((0,0,18)\)。全程只做倍加，不用补符号，上三角的对角元是 \(1,-1,18\)，所以 \(D=-18\)。

例 2　已知 \(\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}=5\)，求 \(\begin{vmatrix} 2a & 2b & 2c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}\) 与 \(\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g+2a & h+2b & i+2c\end{vmatrix}\) 的值。

第一个把第一行的公因子 2 提出来，得 \(2\cdot5=10\)。第二个把第三行看成 \((g,h,i)\) 与 \(2(a,b,c)\) 两组之和，拆成两个行列式，后一个里第一行与第三行的对应部分成比例，值为零，所以只剩 5。

例 3　用克拉默法则解 \(x_1+2x_2+3x_3=6,\ 2x_1-x_2+x_3=2,\ 3x_1+x_2-x_3=3\)。

按第一行展开得 \(D=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & -1 & 1\\ 3 & 1 & -1\end{vmatrix}=0+10+15=25\)。把常数列依次换到三列上，三个 \(D_j\) 算出来也都是 25，所以 \(x_1=x_2=x_3=1\)，代回第一式正好是 6。

习题

A 档巩固定义与基本计算，每题五分钟内

1. 计算二阶行列式 \(\begin{vmatrix} 3 & 2\\ -1 & 4\end{vmatrix}\)。

看答案

\(3\cdot4-2\cdot(-1)=12+2=14\)。

2. 用对角线法则计算 \(\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1\\ 1 & 3 & 2\\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}\)。

看答案

正项 \(2\cdot3\cdot0+0\cdot2\cdot4+(-1)\cdot1\cdot1=-1\)，负项 \((-1)\cdot3\cdot4+2\cdot2\cdot1+0\cdot1\cdot0=-8\)，相减得 7。

3. 求排列 \(4\ 2\ 5\ 1\ 3\) 的逆序数，判断它是奇排列还是偶排列。

看答案

4 后面有 3 个比它小，2 后面有 1 个，5 后面有 2 个，合计 \(\tau=6\)，偶排列，对应的项取正号。

4. 计算 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 4\end{vmatrix}\)。

看答案

这是上三角行列式，值等于对角元连乘 \(1\cdot2\cdot3\cdot4=24\)。

5. 已知 \(\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix}=3\)，求 \(\begin{vmatrix} c & d\\ a & b\end{vmatrix}\) 与 \(\begin{vmatrix} 2a & 2b\\ 3c & 3d\end{vmatrix}\)。

看答案

第一问互换了两行，得 \(-3\)。第二问两行分别提出 2 与 3，得 \(2\cdot3\cdot3=18\)。

6. 计算 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 0 & 1 & 1\end{vmatrix}\)。

看答案

第二行是第一行的 2 倍，两行成比例，行列式为 0。

B 档综合题，接近期末与考研难度

1. 计算 \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 9 & 16\\ 1 & 8 & 27 & 64\end{vmatrix}\)。

看答案

这是 \(x_1,x_2,x_3,x_4\) 取 \(1,2,3,4\) 的范德蒙德行列式，等于六个因子连乘 \((2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12\)。

2. 解方程 \(\begin{vmatrix} 1 & 1 & x\\ 1 & x & 1\\ x & 1 & 1\end{vmatrix}=0\)。

看答案

按对角线法则展开得 \(3x-x^3-2=-(x-1)^2(x+2)\)，所以 \(x=1\) 或 \(x=-2\)。\(x=1\) 时三行完全相同，\(x=-2\) 时三行之和为零行，两个值代回去行列式都是零。

3. 设 \(D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 4 & 9\end{vmatrix}=2\)，写出方程组 \(x+y+z=a,\ x+2y+3z=b,\ x+4y+9z=c\) 中 \(x\) 的克拉默表达式。

看答案

系数行列式就是 \(D=2\)，把第一列换成 \((a,b,c)^{T}\) 得 \(D_1\)，所以 \(x=\dfrac{1}{2}\begin{vmatrix} a & 1 & 1\\ b & 2 & 3\\ c & 4 & 9\end{vmatrix}\)，不必展开。

4. 证明：奇数阶的反对称行列式（满足 \(a_{ij}=-a_{ji}\)，故对角元全为零）等于零。

看答案

由 \(A^{T}=-A\) 得 \(D=|A^{T}|=|-A|=(-1)^{n}D\)。\(n\) 是奇数时 \(D=-D\)，所以 \(D=0\)。

C 档拓展与历史原题

1.（范德蒙德，1771）要过横坐标为 \(0,1,2\) 的三个点作一条二次多项式 \(y=a_0+a_1x+a_2x^2\)。写出关于三个系数的方程组，用范德蒙德行列式说明它有唯一解。

看答案

系数矩阵是 \(x\) 取 \(0,1,2\) 的范德蒙德矩阵，其行列式 \(V=(1-0)(2-0)(2-1)=2\ne0\)，所以系数存在且唯一。

2.（克拉默，1750）用行列式解 \(x+y+z=6,\ 2x-y+z=3,\ x+2y-z=2\)。

看答案

\(D=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=7\ne0\)，把常数列依次换到三列上，得 \(D_1=7,\ D_2=14,\ D_3=21\)，所以 \(x=1,\ y=2,\ z=3\)。

3. 计算三对角行列式 \(D_n=\begin{vmatrix} 2 & 1 & & & \\ 1 & 2 & 1 & & \\ & 1 & 2 & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & 1\\ & & & 1 & 2\end{vmatrix}\)（空白处为零），用递推求出 \(D_n\)。

看答案

按第一行展开得 \(D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}\)，配上 \(D_1=2\)、\(D_2=3\)，得 \(D_n=n+1\)。

思考题不设标准答案，只给提示

1. 对角线法则为什么只对二阶、三阶成立？

看提示

把项数数一遍就明白了：\(n\) 阶有 \(n!\) 项，而两条对角线最多给出 \(2n\) 条斜线，\(n=3\) 时 \(6=6\) 恰好够用，\(n=4\) 时 \(24\) 项只画得出 8 条。

2. 行列式等于零，方程组一定无解吗？

看提示

不一定。\(D=0\) 只说明「不唯一」，无解与无穷多解都可能出现。要分开这两种情形，得看系数矩阵与增广矩阵的秩，或者干脆做一遍消元看有没有出现 \(0=d\) 的行。

3. 克拉默法则算得慢，课本为什么还留着它？

看提示

它给的是公式而不是算法：解被写成常数项的显式表达式，用它可以看出解怎么随 \(b\) 连续地变化，也可以证明唯一性。判断齐次方程组有没有非零解时，看 \(D\) 是不是零，比消元更快。

行列式：一个数决定解的存在