公元前 3 世纪，叙拉古的阿基米德在撒了沙的板上画一条抛物线，用一条弦切下一块，想算出这块地的面积，可直尺量不了弯的边界；他先把答案猜出来，再用穷竭法把它证死。
一、源头：一条曲线围出的面积
他把结果写成《抛物线求积》寄给多西修斯，全篇 24 个命题问的都是同一件农活：抛物线被一条弦切下一块，这块地有多少。
希腊人手上只有两类工具：直线围成的能拆成三角形，圆弧围成的只好靠逼近。欧多克斯在前 4 世纪给出标准做法，收在《几何原本》第 12 卷：内接从里面填，外切从外面盖。
定理（穷竭法，欧多克斯）
设 \(S\) 为待求量，\(\{A_n\}\) 是一族内接的直线图形，\(\{B_n\}\) 是一族外切的直线图形。若
（i）\(A_n<S<B_n\) 对一切 \(n\)；（ii）任给正数 \(\varepsilon\)，存在 \(n\) 使 \(S-A_n<\varepsilon\) 且 \(B_n-S<\varepsilon\)；（iii）存在常数 \(K\)，使 \(A_n<K<B_n\) 对一切 \(n\)，
则 \(S=K\)。
若 \(S>K\)，取 \(\varepsilon=S-K\)，由（ii）有某个 \(n\) 使 \(A_n>K\)，与（iii）矛盾；若 \(S<K\)，取 \(\varepsilon=K-S\)，则有某个 \(n\) 使 \(B_n<K\)，同样矛盾。两次反证各用一族，全程没取极限，每一步都是有限的不等式。
希腊人说的是「任给一个量，总能找到足够多的边数」，从不说「边数趋于无穷」，无限就藏在「任给」两个字里；今天课本写「任给 \(\varepsilon>0\)」，用的还是这一手。
定理（抛物线弓形面积，阿基米德，约前 250 年）
设弓形由抛物线与一条弦围成，\(T\) 为以这条弦为底、以弓形顶点为顶点的三角形面积，则弓形面积为
\[ S=T+\frac{T}{4}+\frac{T}{16}+\cdots=\frac{4}{3}T. \]
算法是逐层加密：先放最大的内接三角形，两边剩的小弓形里各再放一个，一直放下去；每层面积和是上一层的 1/4，加起来是首项 \(T\)、公比 \(1/4\) 的等比级数。
答案他其实先看出来了：写给埃拉托色尼的《力学方法》里说，这类结果能用机械办法先看出，把弓形切成薄片挂上杠杆配平，读出 4 比 3，再用穷竭法补证。
面积挂上杠杆，怎么就读出 4 比 3 了？
他把弓形切成许多竖条，每条挂在一根杠杆的某个位置，再用一块面积已知的三角形去配平。支点和各条的力臂按 \(1:1:2:3:\cdots\) 这类比例排好，配平之后读力臂的比，面积比就出来了。
穷竭法的要诀：每一层算的都是有限的直线图形，误差想压多小就压多小，不用真的分到无穷。
二、思想的成形
球：同一套办法的第二次使用
《论球和圆柱》给出两个结论：球面积是大圆面积的 4 倍，球体积是外切圆柱的 2/3，即 \(\frac{4}{3}\pi R^{3}\)，他要人刻在墓碑上。证明还是穷竭法，切成薄片逐层比较，两头用反证堵住。
割圆：刘徽与祖冲之
中国这边要算的是圆周率。263 年，刘徽给《九章算术》「圆田术」作注，提出割圆术：从内接正 6 边形起，边数一次次加倍，用勾股定理算新边长，周长除以直径就得到 \(\pi\) 的下界。
记半径为 \(R\)、内接正 \(n\) 边形边长为 \(s_n\)，递推是
\[ s_{2n}=\sqrt{2R^{2}-R\sqrt{4R^{2}-s_n^{2}}},\qquad \pi_n=\frac{n s_n}{2R}. \]
从 \(s_6=R\) 算到正 192 边形得 3.14，记作 157/50，再算到正 3072 边形得 3.1416；边和弧之间那段「余径」，边数一加倍就缩到 1/4 左右。
263 年，刘徽注《九章算术》
割之弥细，所失弥少
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”
刘徽《九章算术注》方田章「圆田术」注，263 年
细分，误差递减，分到底就和圆合体；「无所失」是说合体之后没有差别。刘徽手上只有内接的一族，得到的是下界。
200 多年后，祖冲之把 \(\pi\) 夹到 3.1415926 和 3.1415927 之间，又给出密率 355/113，欧洲要到 16 世纪下半叶才重新算出。他的算法没留下来，一般认为用的还是割圆术。
祖冲之算的东西，怎么传到祖暅手上？
祖冲之写过《缀术》，也碰过球体积，书在北宋失传了。今天能看到的祖暅求球体积的办法，存在唐代李淳风注《九章算术》「开立圆术」的注文里：祖暅用了「幂势既同，则积不容异」一句，注文说这办法出自他父亲。
祖暅原理：从平面到立体
刘徽之后，祖冲之、祖暅父子把这套办法推到立体，依据是「幂势既同，则积不容异」，「幂」是截面积，「势」是高。
定理（祖暅原理，约 6 世纪，见《九章算术》注）
两个等高的立体，若同一高度处被平行于底面的平面截得的截面积都相等，则体积相等。
半球和「圆柱挖去圆锥」的剩余体，在高 \(z\) 处的截面积都是 \(\pi(R^{2}-z^{2})\)，处处相等，所以半球体积是 \(\frac{2}{3}\pi R^{3}\)，整球 \(\frac{4}{3}\pi R^{3}\)。
祖暅碰的是更难的对象：「牟合方盖」，两个圆柱正交相交围成的那块，他切成 8 块，和正方体挖去棱锥的剩余体逐层比较，绕开球面这个算不了的边界。
中世纪：把速度画成图形
14 世纪，牛津的默顿学派（约 1335 年）提出平均速度定理：匀加速运动一段时间的路程，等于用初末速度的平均值匀速走的时间。约 1350 年，奥雷斯姆在《形式纬度论》里配上图形证明：横轴是时间，纵轴是速度，路程成了斜线下的面积，三角形高出中线那块正好补上矩形缺的那块。
「形式纬度」这名字到底在说什么？
奥雷斯姆把能变大变小的量叫「形式」，把一个量取到的不同程度叫「纬度」，延展方向叫「经度」。速度是「形式的纬度」，时间是它的「经度」，速度随时间怎么变就画成了一条线。这套词来自经院哲学，后来没人再用。卡瓦列里的不可分原理就是从这张纬度图里长出来的。
卡瓦列里：把面积看成一条条线
1635 年，博洛尼亚的卡瓦列里出版《不可分连续量的几何学》，说面积是一堆平行线段摞起来的，立体是一堆截片摞起来的。
定理（卡瓦列里原理，1635）
夹在两条平行线之间的两个平面图形，若与平行线平行的每条直线截两者所得线段等长，则面积相等；两个等高的立体，若与底面平行的每个平面截两者所得截面积相等，则体积相等。
于是椭圆面积是 \(\pi ab\)，因为圆沿一个方向拉长时每条弦按同一比例变长；斜柱和直柱同体积，因为同一高度的截片是同一个平行四边形。
古尔丁到底挑出了什么毛病？
1640 年代，古尔丁（Paul Guldin）说：不可分量没有宽度，无穷多条加起来凑不出有宽度的面积。卡瓦列里在《六篇几何演习》（1647）里答「你把线加粗到有宽度，就不合定义了」，等于承认那些线只能整块处理。
费马与帕斯卡：无穷小成为算法
1636 年，费马把区间按等比数列分割，用 \(1+r+r^{2}+\cdots\) 逼近 \(y=x^{n}\) 下的面积，再让 \(r\) 逼近 1，写成符号就能对整类曲线一次算完。
1658 年，帕斯卡用不可分方法算出摆线一拱的面积，是生圆面积的 3 倍，莱布尼茨说这类无穷多小三角形的论证让他看清了 \(\mathrm{d}x\) 和 \(\mathrm{d}y\) 的用法。
三、严格化：希腊人为何停住，17 世纪为何又能走
亚里士多德在《物理学》第 3 卷把无限分成两种，一种永远可以再分，一种已经分完了，他只认前一种，因为线段能一直分，可谁也没见过分完了的整体。芝诺就卡在这儿：走完全程得先走一半，再先走 1/4，永远没有第一步；而每一瞬间箭都待在确定的位置上，于是每一瞬间它都静止。
穷竭法绕开这个坑，它不谈「无穷多条线段之和」，只谈「给你一个量，我找得到足够多的有限步」，所以安全，代价是慢，每碰一种新图形都得重设逼近族。阿基米德算得了抛物线、球和螺线，可每一种都得把夹逼的族重新设计一遍。
17 世纪这条路又能走了：符号代数让一族图形写成式子（韦达 1591 年的字母记法、笛卡尔 1637 年的《几何学》）；力学和天文学逼着人回答「瞬时」（开普勒 1615 年、伽利略的落体）；印刷让方法几年内传遍欧洲，实无限也早不是禁语。
代价是逻辑上的退步：卡瓦列里没交代「所有平行线」有多少条，牛顿和莱布尼茨的无穷小被贝克莱在 1734 年的《分析家》里叫作消失量的鬼魂。回答等到 19 世纪，柯西 1821 年的《分析教程》把「无限接近」改写成不等式，黎曼 1854 年用上、下和定义积分。
用今天的记号重述
这一节的东西，今天都写成了积分。抛物线弓形取 \(y=1-x^{2}\)、弦为 \([-1,1]\)，内接三角形面积 \(T=1\)，于是
\[ \int_{-1}^{1}(1-x^{2})\,\mathrm{d}x=\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{4}{3}. \]
祖暅原理和卡瓦列里原理就是截面法 \(V=\int_{a}^{b}A(z)\,\mathrm{d}z\)：今天要每个 \(z\) 上都成立，而且 \(A(z)\) 可积，截片才累加得起来；平面版本先沿一条线累加，再沿垂直方向累加。
截面法一句话：两个立体，每个高度上截出来的面积都一样大，体积就一样大。
说回这本书为什么按历史顺序讲：定义都是从具体问题里磨出来的，第一章那套 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 语言看着像天上掉下来的，可把阿基米德那句「任给一个量」摆在前头，它就是同一句话的现代写法。考试爱错的地方也常常是史上被挑过毛病的地方：芝诺对应「极限不存在时不能随便交换次序」，古尔丁对应「不可分量得换成可积性」，贝克莱对应「\(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\) 是比值的极限」。
四、方法手册
穷竭法今天只剩一个骨架，四步。第一步造逼近族：选一族面积已知的直线图形 \(A_n\)，单调增且小于 \(S\)，再备外切的 \(B_n\)，单调减且大于 \(S\)。
- 估误差。找 \(S-A_n\) 的递推关系，历史上几乎总是等比，抛物线弓形按层是 \(1/4\)，割圆术也压到 1/4 左右。
- 求和。算清有限和 \(\frac{1-q^{n}}{1-q}\)，再说明 \(q^{n}\) 比任何给定正数都小，它顶替了今天的取极限。
- 双重反证。设 \(S>K\) 或 \(S<K\)，取 \(\varepsilon\) 等于差额，用上一步逼出矛盾。
要用的工具只有三个：等比求和 \(1+q+\cdots+q^{n-1}=\frac{1-q^{n}}{1-q}\)（\(0<q<1\)）；割圆递推 \(s_{2n}=\sqrt{2R^{2}-R\sqrt{4R^{2}-s_n^{2}}}\)，\(\pi_n=\frac{n s_n}{2R}\)，从 \(s_6=R\) 出发；截面法 \(V=\int_{a}^{b}A(z)\,\mathrm{d}z\)。
三处常见错法：只证一侧，内接族只给 \(S\ge K\)，\(S>K\) 没被排除；把单调当收敛，单调有界只保证有上确界；反过来用截面法，由体积相等推截面积相等是错的。
五、例题
例 1 抛物线 \(y=1-x^{2}\) 与 \(x\) 轴围成弓形，内接三角形取 \((-1,0)\)、\((1,0)\)、\((0,1)\)。求弓形面积，并用双重反证说明它不能更大也不能更小。
解 底 2、高 1，\(T=1\)。前 \(m\) 层之和 \(A_m=\frac{4}{3}\left(1-4^{-m}\right)\)，恒小于 \(4/3\)，剩下那点面积含在不超过 \(2\cdot4^{-m}\) 的细长矩形里，想多小有多小。若 \(S<4/3\)，取 \(\varepsilon=4/3-S\)，就有某个 \(m\) 使 \(A_m>S\)，与 \(A_m\) 在弓形内矛盾；若 \(S>4/3\)，取 \(\varepsilon=S-4/3\)，内接面积已超过 \(4/3\)，与 \(A_m<4/3\) 矛盾，故 \(S=4/3\)。
例 2 从内接正六边形出发，用递推算到正 192 边形，说明刘徽为什么可以断定 \(3.14<\pi\)。
解 取 \(R=1\)，\(s_6=1\)，\(\pi_6=3\)；两次递推得 \(s_{12}\approx0.51764\)，\(\pi_{12}=3.1058\)，继续加倍依次得 3.1326、3.1394、3.14145。这些数都是内接周长除以直径算的，圆在多边形外侧，每一步都是下界，不必另外估误差：3.14145<π，于是 3.14<π。
例 3 用祖暅原理求半径为 \(R\) 的球体积。
解 先算上半球。取半径、高都是 \(R\) 的圆柱，挖去顶上为底、下底圆心为尖的圆锥：高 \(z\) 处半球截面积是 \(\pi(R^{2}-z^{2})\)，剩余体的也是 \(\pi R^{2}-\pi z^{2}\)，两者相等，体积相等，\(V=\pi R^{3}-\frac{1}{3}\pi R^{3}=\frac{2}{3}\pi R^{3}\)，整球 \(\frac{4}{3}\pi R^{3}\)。
六、习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题 5 分钟内
1. 用 \(A_n=\frac{n}{2}R^{2}\sin\frac{2\pi}{n}\) 算 \(n=6,12,24\) 时 \(A_n\) 与 \(\pi R^{2}\) 的比值。
看答案
取 \(R=1\)：\(A_6=2.5981\)（比值 \(0.8270\)），\(A_{12}=3\)（\(0.9549\)），\(A_{24}=3.1058\)（\(0.9886\)）。单调增加，每加倍误差约除以 4。
2. 求 \(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\cdots\) 的前 \(m\) 项和；要使它与 \(4/3\) 的差小于 \(10^{-4}\)，\(m\) 至少多大。
看答案
\(S_m=\frac{4}{3}\left(1-4^{-m}\right)\)，差为 \(\frac{4}{3}4^{-m}\)。需 \(4^{m}>13333\)，由 \(4^{7}=16384\) 得 \(m\ge7\)。
3. 把 \([0,1]\) 四等分，对 \(y=x^{2}\) 算左端点矩形和 \(s_4\) 与右端点矩形和 \(S_4\)，说明面积夹在两者之间。
看答案
\(s_4=0.21875\)，\(S_4=0.46875\)。每块矩形要么整个在曲线下，要么把曲线盖住，故 \(s_4<\) 面积 \(<S_4\)；而 \(S_4-s_4=\frac{1}{4}\) 随分点加密趋于 0。
4. 说明斜柱与等底等高的直柱体积相等，并由此得到底面积 \(A\)、高 \(h\) 的棱柱体积。
看答案
平行于底面的截面全等，面积都是 \(A\)，由原理体积相等。直柱体积为 \(Ah\)，故两者都是 \(Ah\)。
B 档 综合题，接近考试难度
1. 设 \(A\)、\(B\) 为抛物线 \(y=ax^{2}\) 上两点，弦 \(AB\) 切下弓形。说明弓形面积仍是内接三角形面积的 \(4/3\)，与 \(a\) 无关。
看答案
纵坐标乘以 \(1/a\) 化 \(y=x^{2}\)，再作相似变换把两点横坐标归一。仿射变换保持面积之比，「逐层加密」的结构一一对应，故比值不变。难点是证明仿射变换保持面积比。
2. 用递推算 \(s_{12}\)、\(s_{24}\)，并证明 \(1-\frac{A_n}{\pi R^{2}}\approx\frac{2\pi^{2}}{3n^{2}}\)，说明误差每加倍缩为四分之一。
看答案
\(s_{12}=0.51764\)，\(s_{24}=0.26105\)。由 \(\sin u=u-\frac{u^{3}}{6}+O(u^{5})\) 得 \(A_n=\pi R^{2}\left(1-\frac{2\pi^{2}}{3n^{2}}\right)+O(n^{-4})\)，把 \(n\) 换成 \(2n\) 误差项除以 4。\(n=192\) 时误差 \(1.8\times10^{-4}\)。
3. 用卡瓦列里原理求椭球 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\le1\) 的体积，并与二重积分对照。
看答案
高度 \(z\) 处截面半轴为 \(a\sqrt{1-z^{2}/c^{2}}\) 与 \(b\sqrt{1-z^{2}/c^{2}}\)，面积 \(\pi ab\left(1-\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)\)，积分得 \(\frac{4}{3}\pi abc\)。伸缩变换 \(x=au,\ y=bv,\ z=cw\) 的雅可比行列式是 \(abc\)，给出同一结果。
4. 设 \(0<q<1\)。证明部分和与 \(\frac{1}{1-q}\) 之差可小于任意 \(\varepsilon\)，并说明当时为什么只能说「不大于」。
看答案
差为 \(\frac{q^{m}}{1-q}\)，取 \(m>\frac{\ln(\varepsilon(1-q))}{\ln q}\) 即可（\(\ln q<0\)，不等号翻向）。当时只有「任给量」与比例论，合法的说法只是「小于且能任意接近」。
C 档 拓展与历史原题
1. 费马 1636 年的求积法。用 \(x_k=ar^{k}\)（\(0<r<1\)）分割 \([0,a]\)，对 \(f(x)=x^{2}\) 求 \(S(r)=\sum f(x_k)(x_{k-1}-x_k)\)，再令 \(r\to1\)。
看答案
\(x_{k-1}-x_k=ar^{k-1}(1-r)\)，故 \(S(r)=\frac{a^{3}(1-r)r^{2}}{1-r^{3}}=\frac{a^{3}r^{2}}{1+r+r^{2}}\to\frac{a^{3}}{3}\)。一般 \(n\) 得 \(\frac{a^{n+1}}{n+1}\)；\(n=-1\) 时手法失效。
2. 阿基米德《圆的度量》命题 1：圆面积等于以周长为底、半径为高的三角形面积，即 \(S=\frac{1}{2}Cr\)。用双重反证证明。
看答案
\(A_n=\frac{1}{2}P_nr\)，\(B_n=\frac{1}{2}Q_nr\)，且 \(P_n<C<Q_n\)，取 \(K=\frac{1}{2}Cr\)。若 \(S>K\)，由内接族可任意接近圆得某 \(n\) 使 \(A_n>K\)，而 \(A_n<K\)，矛盾；若 \(S<K\)，用外切族同理。难点在「可任意接近」这条引理本身也要用穷竭法。
3. 祖暅的原法：把「牟合方盖」切成八块，与「正方体挖去一个棱锥」的剩余体逐层比较，求球体积。写截面积对照，并用三重积分核对。
看答案
八分之一牟合方盖在高 \(z\) 处截面是边长 \(\sqrt{r^{2}-z^{2}}\) 的正方形，面积 \(r^{2}-z^{2}\)；正方体挖棱锥的剩余截面也是 \(r^{2}-z^{2}\)。故这块体积 \(\frac{2}{3}r^{3}\)，八块是 \(\frac{16}{3}r^{3}\)，再按截面比 \(4:\pi\) 缩放得 \(\frac{4}{3}\pi r^{3}\)。三重积分 \(\int_{-r}^{r}\pi(r^{2}-z^{2})\,\mathrm{d}z\) 给出同一结果。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 把「任给 \(\varepsilon\)」换成「存在某个 \(\varepsilon\)」，穷竭法还剩下什么？构造一个满足弱条件而结论错误的例子。
看提示
提示：弱条件允许误差停在正数上。想想面积递增、却始终差着一条宽度不变带子的台阶状内接图形。
2. 为什么「线很多」不能直接当成「长度之和」？举一个面积为零但线段很多的例子。
看提示
提示：一条线段面积为零，可数多条相加仍是零；要有面积须不可数多条并带厚度地累加。看 \([0,1]\) 上全体竖直线段。
3. 希腊人能算抛物线、球和螺线，却始终没有一般方法。缺的是符号，还是「函数」这个概念？只给阿基米德一套好符号，他能走多远？
看提示
提示：符号解决「记得下」，概念解决「对哪一类对象一次说清」。比较费马：同一套等比分割，配上 \(y=x^{n}\) 才一次算完整类曲线。
七、本书地图
序章停在这里：手上是一堆各自成立的手艺，缺一条统一的算法，后面 12 章讲的就是这条算法怎么被造出来、被用坏、再被修好。
第 1 章把芝诺的「永远到不了」改写成 \(\varepsilon\)-\(\delta\)，这是严格性的地基；第 2 章从费马的极值和牛顿的瞬时速度走到导数与微分，第 3 章用中值定理把局部信息还回整体；第 4、5 章是求导的反面，不定积分是技巧，定积分是黎曼和；第 6 章把积分用到长度、体积和做功上。
第 7 章由变化率还原过程；第 8 章起进入空间，多元微分和重积分把卡瓦列里的截片变成累次积分；第 11 章讲边界如何决定内部，第 12 章讲无穷多项相加什么时候还是一个数，奥雷斯姆和欧拉在那里重逢。
三条读法：第一次认真学，12 周每周一章，先读「源头」建立动机，再做 A 档；只补漏洞，4 周，只读极限与连续、中值定理、换元与分部；考前复习，2 周直读各章的「方法手册」和常见错法，回头做 C 档。
延伸阅读
- 阿基米德《抛物线求积》《论球和圆柱》，见 T. L. Heath 编《阿基米德全集》，1897 年；《几何原本》第 12 卷。
- 刘徽《九章算术注》方田章「圆田术」注、开立圆术注，见郭书春汇校《九章算术》。
- 卡瓦列里《不可分连续量的几何学》，博洛尼亚，1635 年；奥雷斯姆《形式纬度论》，约 1350 年。
- C. B. Boyer《微积分概念史》，1949 年，前三章。