公元前 5 世纪，埃利亚的芝诺提出一个问题：你要走完一段路，先得走完它的一半；要走完剩下那一半，又得先走完这一半的一半。这样分下去，路上有无限多个小段，你怎么可能走完。这个论证让希腊人头疼了很久，一直到 19 世纪才被彻底说清楚。
一、源头：一段走不完的路
芝诺是巴门尼德的学生，他提这些论证，是为了替老师的一个结论辩护：真实的世界只有一个，它不动、不变、也不可分，我们看见的运动只是感官在骗人。亚里士多德在《物理学》第六卷里记下了这些论证并表示反对，理由是「不能把无限当成已经完成了的东西」，这句话定下了后面两千年的调子，也就是无限只能是一个过程，不能是一个现成的对象。
中国人对同一件事的反应很不一样。庄子在《天下》篇里写「一尺之棰，日取其半，万世不竭」，说的是每天取走剩下的一半，永远取不完。他把这件事当成明摆着的道理，没有为难自己；希腊人问的是你怎么可能走完，庄子问的是你要取到什么时候，两边的焦虑不在一个地方。
现在的人是这样处理它的。设每天取走的长度依次是 1/2、1/4、1/8 等等，第 \(n\) 天取走的总长是
\[ s_n=\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2^{n}}=1-\frac1{2^{n}}. \]没有一个 \(s_n\) 等于 1，但它们和 1 的差是 \(1/2^n\)，\(n\) 越大差越小，要多小有多小。所以我们不再说「无限加下去等于 1」，改说「这些部分和最后落在 1 附近」，这样就用不着真的加完，只要盯住这个数列往哪跑即可。
芝诺的难题之所以难，是因为他把「无限多个步骤」当成了「必须一个一个走完的步骤」。把和换成部分和的去向，这个要求就撤掉了。
二、牛顿的麻烦
17 世纪的人等不及 19 世纪的定义，他们要算东西。牛顿 1665 年前后为了求瞬时速度，让时间增加一个很小的量 \(o\)，算出位移的增量，除以 \(o\)，最后把含 \(o\) 的项全部扔掉。拿 \(y=x^2\) 试一下就明白他在做什么。
\[ \frac{(x+o)^2-x^2}{o}=\frac{2xo+o^2}{o}=2x+o\ \longrightarrow\ 2x. \]结果是对的，过程说不通：\(o\) 不是零，所以能除掉，\(o\) 又得是零，所以能扔掉，同一个量不能两头都占。牛顿把最后那个比值叫「最终比」，说它发生在量正在消失的瞬间，既不在消失之前，也不在消失之后。这只能算比喻，还够不上定义。
1734 年，都柏林
贝克莱主教的讽刺
「这些消失的增量究竟是什么？它们既不是有限量，也不是无穷小，也不是零。难道我们不可以说，它们是消失量的鬼魂吗？」
贝克莱《分析家：致一位不信神的数学家》，1734 年
贝克莱的用意是说数学的地基不如神学牢靠，不过技术上的批评没人能反驳：一个量要么不为零，那就不该扔掉；要么为零，那就不该当除数。两头都不占，只能叫鬼魂。这个矛盾又悬了 150 年。
中间有人试过别的路。欧拉 1748 年在《无穷分析引论》里把无穷小当成一种特殊的零，认为 \(0/0\) 可以是任何数，这套算法又快又准，他却说不清为什么同一个零这一回等于 2、下一回等于 3。拉格朗日 1797 年在《解析函数论》里想干脆绕开极限，把导数直接定义成泰勒展开里一次项的系数，可展开本身成不成立还得靠极限来说明，于是绕了一圈又回来了。
欧拉那套算法到底怎么用
他把不同阶的无穷小当成不同等级的零，同阶的约掉，高阶的直接丢。算 \(\frac{(x+\mathrm{d}x)^n-x^n}{\mathrm{d}x}\) 时展开后只留一次项，其余全扔，结果都对。缺的那一环是为什么可以扔，这一条要到柯西手里才有答案。
真正管用的第一步是达朗贝尔走的。1754 年他为《百科全书》写「极限」这一条目，第一次把极限摆在地基的位置上，而不再拿它当辅助说法。
达朗贝尔的定义（1754）
一个量是另一个量的极限，如果后者能够比任何给定的量更接近前者，虽然它永远不能超过前者。
三、把话说成不等式
柯西 1821 年在《分析教程》的前言里把话说得更清楚：一个变量数列无限趋近一个固定值，最终与它之差要多小就多小，这个固定值就叫这些值的极限。他拿这条定义证了中值定理、连续函数的性质、级数的收敛判别，微积分第一次有了地基，只是「要多小就多小」还含糊，谁在控制谁没说清楚。
补上这一刀的是魏尔斯特拉斯。1870 年代他在柏林讲课，把动态的趋近换成两串可以核对真假的量词：
定义（数列的极限）
设 \(\{a_n\}\) 是一数列，\(A\) 是常数。若对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，总存在正整数 \(N\)，使得当 \(n>N\) 时恒有 \(|a_n-A|<\varepsilon\)，则称 \(\{a_n\}\) 收敛于 \(A\)，记作 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)。
定义（函数在一点的极限）
设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个去心邻域内有定义。若对任意给定的 \(\varepsilon>0\)，总存在 \(\delta>0\)，使得当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时恒有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\)，则称 \(A\) 是 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 时的极限，记作 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\)。
这两段话的全部内容就是量词的次序，把它当成一场讨价还价来读最省力：对方每给一个允许的误差 \(\varepsilon\)，你都得交出一个范围 \(\delta\)，保证落进范围的函数值全部合格。对方可以一直把 \(\varepsilon\) 压小，你每次都得重新交一个 \(\delta\)，只要每次能交出来，极限就成立，这也说明 \(\delta\) 一般要写成 \(\varepsilon\) 的函数，因为范围是从误差倒着算出来的。
把量词的次序调一下会怎样
若改成「存在 \(\delta>0\)，对任意 \(\varepsilon>0\)」，意思是有一段固定的邻域，其中函数值与 \(A\) 差得比任何正数都小，那就只能要求这段邻域上函数恒等于 \(A\)。同一条语句换个次序就成了另一件事，微积分要讨论的变化全没了。
数列那边同理，只是把窗口宽度换成从第几项开始。下面这个数列在 0 和 2 之间来回摆，摆幅越来越小，照样收敛：\(a_n=1+\frac{(-1)^n}{n}\)。取 \(\varepsilon=0.3\)，只要 \(n>3\)，就有 \(|a_n-1|<\varepsilon\)。
有了定义，课本里那几条性质就不用背成条文，它们都是从定义直接推出来的：极限若存在则唯一，函数在去心邻域内有界，极限为正则附近为正，四则运算可以通行（分母不为零），还有夹逼准则。
唯一性怎么证
设极限同时是 \(A\) 和 \(B\) 且 \(A<B\)，取 \(\varepsilon=\frac{B-A}{2}\)，则邻域内的点既要满足 \(|f(x)-A|<\varepsilon\) 又要满足 \(|f(x)-B|<\varepsilon\)，两式相加得 \(B-A<2\varepsilon=B-A\)，矛盾。保号性取 \(\varepsilon=\frac{A}{2}\) 就出来了。
1872 年魏尔斯特拉斯还扔出过一个反例：一条处处连续、却处处没有切线的曲线。在这之前所有人都默认连续曲线除了个别点总有切线，柯西也这么以为，这个例子说明几何图形上看出来的东西不能当证明，能当证明的只有定义，下一章还会遇到它。
四、两个重要极限
课本要求背下来的这两个极限，各自对着一个真实的问题，不是凭空冒出来的。
一个是复利。1683 年雅各布·伯努利问：本金 1，年利率 100%，一年结息 \(n\) 次，年末本利和是 \(\left(1+\frac1n\right)^n\)。结得越勤这个数越大，那么它有没有上限。他证明这列数单调递增且有上界，所以收敛，只是没算出极限是多少。欧拉 1731 年用字母 \(e\) 记它，1748 年给出 18 位小数，还证明它是无理数。
\[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n}=e=2.718281828459045\cdots \]另一个来自圆。要算 \(\sin x\) 的导数，先得知道 \(\frac{\sin x}{x}\) 在 \(x\to 0\) 时趋于什么。欧拉在《无穷分析引论》里用面积夹了一下：当 \(0<x<\frac{\pi}{2}\) 时，单位圆里的三角形、扇形、外切三角形的面积分别是 \(\frac12\sin x\)、\(\frac12x\)、\(\frac12\tan x\)，于是 \(\cos x<\frac{\sin x}{x}<1\)，两头都趋于 1，中间那个也只能趋于 1。
为什么这里的 x 必须是弧度
扇形面积等于 \(\frac12 x\) 只在弧度制下成立。若 x 用角度，扇形面积变成 \(\frac{\pi}{360}x\)，夹逼的两头就变了，极限值会变成 \(\frac{\pi}{180}\)。微积分里所有三角公式都默认弧度，原因就在这一步。
极限算多了，需要一套比较快慢的说法。若 \(\frac{\beta}{\alpha}\to 0\)，说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小，记作 \(\beta=o(\alpha)\)；比值趋于非零常数叫同阶；比值趋于 1 叫等价，记作 \(\alpha\sim\beta\)。\(x\to 0\) 时常用的是 \(\sin x\sim x\)、\(\tan x\sim x\)、\(1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}\)、\(\ln(1+x)\sim x\)，以及 \(e^x-1\sim x\) 和 \((1+x)^\alpha-1\sim\alpha x\) 这两个。把这几个记熟，第一章的计算题基本够用。
替换有一条硬规矩，乘除里能换，加减里不能换。原因很直白：等价只保证比值趋于 1，两个等价量相减时主要部分互相抵消，剩下的是被忽略掉的高阶项，而结果就是由那一项决定的，下面例 3 就是这个坑。
五、连续与间断
连续的定义只有一句话：极限等于函数值。
定义（连续）
设 \(f\) 在 \(x_0\) 的某邻域内有定义。若 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)，则称 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续。等价地，记 \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)，条件就是 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y=0\)。
这里有两个条件同时在起作用，极限得存在，还得等于那一点的值，缺哪一个都叫间断。按缺法分成四类：可去，只差补一个值；跳跃，两侧各走各的；无穷，附近无界；振荡，连趋近的方向都没有。前两类合称第一类间断点。
闭区间上的连续函数有四条性质：有界、取到最大值和最小值、介值（零点定理的推广）、一致连续。它们看着都像废话，其实每条都要用到实数系的完备性，条件一条也省不掉。
条件省掉会出什么事
\(f(x)=\frac1x\) 在 \((0,1]\) 上连续但无界，说明闭区间不能换成开区间；\(f(x)=x\) 在 \((0,1)\) 上连续却取不到最大值，同样卡在端点。一致连续也一样，\(\frac1x\) 在 \((0,1]\) 上越靠近 0 越需要更小的 \(\delta\)，整段上找不到统一的那个。
这四条性质里，有界性和最值定理的严格证明是魏尔斯特拉斯在 1860 年代给出的，此前柯西证过，但漏了一步：他默认了有界数列必有收敛子列，而那正是需要证明的东西。介值定理的雏形出现在波尔查诺 1817 年的论文里，一致连续是海涅和康托尔 1872 年提出来的，专门用来区分每一点都连续和整段上能用同一个 \(\delta\)。
六、怎么算
第一章的计算题基本都能归到下面五种办法，按顺序试，一般三步之内能定下方向。
- 直接代入。初等函数在它的定义区间内都连续，先试这一步，能省掉一半功夫。
- 因式分解与有理化。\(\frac00\) 型的式子先约公因子，遇到根号差就上下乘共轭，这招最笨也最靠得住。
- 等价无穷小替换。只用在乘除里，把 \(\sin x\)、\(\ln(1+x)\)、\(1-\cos x\) 换掉之后，题目往往就降成代数题。
- 夹逼准则。看到有界量乘一个趋于零的量（比如 \(x\sin\frac1x\)），或者看到 \(n\) 项和，就用这一招。
- 单调有界准则。递推定义的数列 \(a_{n+1}=f(a_n)\) 几乎只能这么办，先证有界，再证单调，最后对递推式两边取极限解出 \(A\)。
洛必达法则和泰勒展开属于第三章，这里先不碰，遇到硬骨头再回头看那两件工具。
五个最常见的错法
- 在加减里做等价替换。\(\tan x-\sin x\) 换成 \(x-x=0\) 就错了，正确答案在 \(\frac{x^3}{2}\) 那个量级。
- 把商的法则用在分母极限为零的场合，这条法则要求分母极限不为零。
- 把无穷大当数做加减，\(\infty-\infty\) 和 \(\frac{\infty}{\infty}\) 都是未定式，得先变形。
- 求 \(x\to\infty\) 的极限忘了分 \(+\infty\) 和 \(-\infty\)，\(\arctan x\) 和 \(e^x\) 都栽在这里。
- 用洛必达之前不检查是不是未定式，把 \(\frac{2}{0}\) 当成 \(\frac00\) 去求导。
七、例题
例 1 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}\)。
上下同乘 \(\sqrt{1+x}+1\)，分子变成 \(x\)，约掉后剩 \(\dfrac{1}{\sqrt{1+x}+1}\)，代入 \(x=0\) 得 \(\dfrac12\)。用等价无穷小 \((1+x)^{1/2}-1\sim\frac12x\) 一步也能到，两条路都对，因为这里是乘除结构。
例 2 求 \(\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac2x\right)^{3x}\)。
令 \(t=\frac{x}{2}\)，则指数 \(3x=6t\)，原式变成 \(\left[\left(1+\frac1t\right)^{t}\right]^{6}\)。\(x\to\infty\) 时 \(t\to\infty\)，括号里趋于 \(e\)，结果为 \(e^6\)。要点是让指数和括号里的倒数配上对，多出来的部分留在外头当乘方。
例 3 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^{3}}\)，并说明为什么不能把两项都换成 \(x\)。
先通分，\(\tan x-\sin x=\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)=\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}\)。现在是纯乘除，逐项换：\(\sin x\sim x\)，\(1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}\)，\(\cos x\to1\)，原式趋于 \(\frac{x\cdot x^2/2}{x^3}=\frac12\)。一上来就把两项都换成 \(x\) 会相减得零，被扔掉的正是决定结果的三阶项。
八、习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题五分钟内
1. 求 \(\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\)。
看答案
分子分解成 \((x-2)(x+2)\)，约去 \(x-2\) 后得 \(x+2\)，代入得 4。
2. 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{x}\)。
看答案
写成 \(3\cdot\dfrac{\sin 3x}{3x}\)，括号里趋于 1，结果为 3。
3. 求 \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x^{2}-x+1}{2x^{2}+5}\)。
看答案
上下同除 \(x^2\)，得 \(\dfrac{3-\frac1x+\frac1{x^2}}{2+\frac5{x^2}}\)，趋于 \(\dfrac32\)。
4. 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 2x}{x^{2}}\)。
看答案
用 \(1-\cos 2x=2\sin^2x\)，原式为 \(2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\)，趋于 2，用 \(1-\cos 2x\sim\frac{(2x)^2}{2}\) 也一样。
5. 指出 \(f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\) 在 \(x=1\) 处的间断类型，并说明怎么补定义能让它连续
看答案
\(x\ne1\) 时 \(f(x)=x+1\)，极限是 2，而 \(f(1)\) 没有定义，属可去间断点。补上 \(f(1)=2\) 就连续了。
6. 求 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^{n}\)。
看答案
写成 \(\left[\left(1+\frac{1}{-n}\right)^{-n}\right]^{-1}\)，方括号里趋于 \(e\)，结果为 \(\dfrac1e\)。
B 档 综合题，接近期末考试与考研难度
1. 求 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x\sin x}-1}{1-\cos x}\)。
看答案
分子用 \(\sqrt{1+u}-1\sim\frac u2\)，而 \(u=x\sin x\sim x^2\)，故分子等价于 \(\frac{x^2}{2}\)，分母也等价于 \(\frac{x^2}{2}\)，原式趋于 1。
2. 设 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=2\)，求 \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(3x)}{x}\)。
看答案
写成 \(3\cdot\dfrac{f(3x)}{3x}\)。\(x\to0\) 时 \(3x\to0\)，后一个因子趋于 2，结果为 6。
3. 求 \(\lim\limits_{x\to+\infty}x\left[\ln(x+1)-\ln x\right]\)。
看答案
原式等于 \(\ln\left(1+\frac1x\right)^{x}\)，括号里趋于 \(e\)，取对数得 1。用 \(\ln(1+t)\sim t\) 一步也能到。
4. 设 \(f(x)=x\sin\dfrac1x\ (x\ne0)\)，\(f(0)=0\)，讨论它在 \(x=0\) 处是否连续；若换成 \(g(x)=\sin\dfrac1x\ (x\ne0)\)，\(g(0)=0\) 呢。
看答案
对 \(f\)，\(|x\sin\frac1x|\le|x|\to0\)，极限等于函数值 0，所以连续；对 \(g\)，取 \(x_n=\frac{2}{(2n+1)\pi}\)，函数值在 \(\pm1\) 之间来回，没有极限，属振荡间断。区别只在那一个趋于零的因子。
C 档 拓展与历史原题
1.（伯努利，1683）证明数列 \(a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n}\) 单调递增且有上界 3，从而收敛。
看答案
拿 \(n+1\) 个数，其中 \(n\) 个取 \(1+\frac1n\)，最后一个取 1，由均值不等式几何平均小于算术平均，得 \(a_n^{\frac{1}{n+1}}<1+\frac{1}{n+1}\)，两边取 \(n+1\) 次方即得单调。有界性用二项式展开估出 \(a_n<1+1+\frac12+\cdots+\frac1{2^{n-1}}<3\)，极限就是 \(e\)。
2.（柯西第一极限定理，1821）设 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\)，证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=A\)。
看答案
给定 \(\varepsilon\)，先取 \(N_1\) 让后面的项离 \(A\) 都小于 \(\frac\varepsilon2\)，这时前 \(N_1\) 项的和是固定数，再取足够大的 \(n\) 让这固定部分对平均值的贡献也小于 \(\frac\varepsilon2\)。合起来偏差小于 \(\varepsilon\)，关键就是开头那有限多项会被平均掉。
3. 用定义证明狄利克雷函数 \(D(x)\)（有理点取 1，无理点取 0）处处不连续，并说明它为什么有界。
看答案
取 \(\varepsilon=\frac12\)。任何邻域里都有有理点和无理点，函数值有 1 也有 0，不可能全挤进宽为 1 的带子，连续性被否掉。有界是显然的，因为函数值只在 0 和 1 之间。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 定义里为什么写 \(0<|x-x_0|<\delta\)，把 \(x=x_0\) 排除在外？如果允许 \(x=x_0\) 会失去什么。
看提示
想想 \(\frac{x^2-1}{x-1}\) 在 \(x=1\) 的情形，函数在那儿根本没定义，极限却好端端存在。极限问的是靠近时怎么样，不是那一点是什么。硬要包含 \(x=x_0\)，可去间断的极限就没了，第二章的导数定义也会跟着塌。
2. 牛顿说最终比发生在量正在消失的瞬间，柯西说极限是一个变量无限趋近的定值。这两句话的差别只是措辞吗。
看提示
牛顿的话里有一个正在消失的对象，它得先存在才能消失；柯西的话里只有一个变量和一个定值，那个中间状态根本不需要存在。这个差别决定了一句话能不能被核对，前者看你信不信那种想象，后者可以逐条用不等式验。
3. 如果极限定义里只要求离得够近，不要求任意近，微积分会失去哪些结论。
看提示
从夹逼准则下手试，两边都只保证够近，就挤不出唯一的结果。再想想单调有界准则，上界如果不是任意的，就推不出确界那个数。任意性是取极限的唯一凭据。
延伸阅读
- 同济大学数学系《高等数学》第七版上册，第一章。定理次序与记号以这本为准。
- 波耶《微积分概念史》，古希腊与 17 世纪两章，芝诺和贝克莱的原始语境在这里最完整。
- Judith V. Grabiner, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus, MIT Press, 1981。柯西怎么把几何直觉换成不等式，讲得最细。
- 菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷前两章，例题比教材密，适合配合本章练手。