1666 年，剑桥因瘟疫关门，23 岁的牛顿回到林肯郡的伍尔索普，在那里写下第一批带点的记号，一个点代表一个量变化的快慢；30 年后一位主教追问这个点到底代表什么，一个正在消失的量凭什么还能跟另一个相比。
一、源头：费马的差不多相等
费马的本职是图卢兹议会的法官，数学是夜里的工作，1629 年前后他写下短文《求极大极小的方法》，直到 1679 年才由儿子整理进《数学杂著》印行。
短文开头的例子很朴素：把长为 \(b\) 的线段分成两段使乘积最大，一段取 \(x\)，另一段就是 \(b-x\)，费马把 \(x\) 换成 \(x+e\)，让新乘积与旧乘积「近似相等」：
\[ x(b-x) \sim (x+e)(b-x-e) \]展开并消去相同的项，剩下
\[ 0 \sim be-2xe-e^2 \]每一项都含 \(e\)，除掉它：
\[ 0 \sim b-2x-e \]剩下的 \(e\) 已经不带分母，于是让它消失，得 \(x=b/2\)，两段相等时乘积最大。
问题出在过程里：除法要求 \(e\neq 0\)，令它消失又要求 \(e=0\)，费马两头都占，中间没有交代；他清楚这一点，所以用了 adaequalitas 一词，既不说相等也不说趋近，中文通常译作「近似相等」。
1636 年，他在致罗贝瓦尔的信里把同一套办法搬到切线上：取相邻两点，令纵横坐标的两个增量近乎成比例，解出一条弦，再让第二点滑向第一点；这与今天的求切线只差一层解释，缺的还是那句话，这个过程凭什么有终点。
费马的算法今天还在用，只是他没说清为什么能先除以 \(e\)、再让 \(e\) 等于零，这个缺口后来由极限补上。
二、思想的成形：割线与记号
费马的办法经由书信传遍欧洲，剑桥的巴罗在 1670 年的《几何讲义》里画出更清楚的图形：把一小段弧当作直线，由相似三角形，切线斜率等于两个小增量之比。
巴罗的那个三角形是怎么拼出来的？
巴罗把弧、切线、两个坐标增量摆成一个特征三角形，很像今天的微分三角形，但他靠相似三角形比边长，没有算极限；那条弧同时被当成切线和弦，严格讲不通，他也只拿它当画图的辅助。
这两个小增量记作 \(a\) 与 \(e\)，含它们的二次以上的项在最后被丢掉，这还算不上极限，只能算一条作业规定：高阶小量不算；1669 年巴罗辞去卢卡斯讲座，接替他的是 26 岁的牛顿。
牛顿此前在伍尔索普独自想过这些问题：他把随连续运动而变的量叫流量，把它的变化速度叫流数，在字母上加一个点，\(x\) 是流量时 \(\dot{x}\) 就是流数，他处理的对象是正在生成的量。
1704 年，牛顿《论曲线求积》
量是由运动生成的
“我在此不把数学量看作由极小的部分拼合而成，而看作由连续运动生成。”
牛顿《论曲线求积》（Tractatus de Quadratura Curvarum）引言，1704 年作为《光学》附录出版。
拼合出来的量可以被切碎，切碎的东西没有「此刻的速度」，由运动生成的量有此刻，也有此刻的速度，牛顿的题目来自力学，所以他要的是后者。
1671 年，牛顿写成《流数法与无穷级数》，直到 1736 年才有英译本，他用最初比与最终比描述增量之比在消失前后的状态，说最初比取在量正在消失的那个瞬间，这句话后来成了把柄；1687 年《自然哲学的数学原理》出版，他把微积分藏进几何证明，全书没有出现一个 \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\)。
莱布尼茨从另一头进入，本职是外交官和图书馆长，关心的是记号能不能自动给出答案；1675 年 10 月至 11 月的手稿里他先后写下 \(\mathrm{d}x\)、\(\mathrm{d}y\) 与积分号，11 月 11 日那页出现了 \(\int f(x)\,\mathrm{d}x\)。
1684 年，他在莱比锡的《教师学报》上发表了六页的《求极大极小与切线的新方法》，给出了和、差、积、商、幂与根式的微分法则。
他的长处是符号：\(\mathrm{d}y\) 与 \(\mathrm{d}x\) 能搬来搬去，\(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\) 就是两个微分相除，换元时 \(\mathrm{d}x\) 可以整个替换，所以链式法则看上去像分数相乘；英国一方坚持点记号与几何论证，此后 100 多年在分析上落后于欧陆。
1712 年皇家学会成立委员会裁定两人的优先权，结论有利于牛顿，次年公布的《通报》其实是他本人匿名起草的；两人处理的终归是同一件事，一个比值在增量趋于零时往哪儿走，课本里的定义就把它写成一个等式。
定义（导数）
设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个邻域内有定义。当自变量在 \(x_0\) 处取得增量 \(\Delta x\)（\(\Delta x\neq 0\)，\(x_0+\Delta x\) 仍在邻域内）时，函数取得增量 \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)。若极限
\[ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]
存在，则称 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，并称此极限为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数，记作 \(f'(x_0)\)、\(\left.y'\right|_{x=x_0}\) 或 \(\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}\)。
比值 \(\Delta y/\Delta x\) 叫差商，它只是导数的候选，能不能当上答案要看它有没有唯一的走向；把 \(\Delta x>0\) 与 \(\Delta x<0\) 分开取极限，得右导数 \(f'_+(x_0)\) 与左导数 \(f'_-(x_0)\)，函数在 \(x_0\) 可导的充要条件是两者都存在且相等，端点上谈可导，指的就是那一个单侧导数。
几何上 \(f'(x_0)\) 是曲线在点 \((x_0,f(x_0))\) 处切线的斜率，切线方程 \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)，下一张图画成三条割线的叠影。
物理里的速度 \(s'(t)\)、电流 \(q'(t)\) 和经济学的边际成本 \(C'(q)\)，写出来都是同一个差商的极限。
定理（可导必连续）
若函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，则 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处连续。
由可导，\(\Delta y/\Delta x\to f'(x_0)\)，把它写成 \(\Delta y=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x\)，前一个因子有极限、后一个趋于零，所以 \(\Delta y\to 0\)，也就是 \(f(x_0+\Delta x)\to f(x_0)\)。
反过来不成立：\(y=|x|\) 在 \(0\) 处连续，可是差商在原点两侧恒为 \(1\) 与 \(-1\)，极限不等，所以不可导，这个例子后面还要用。
三、严格化：消失量的鬼魂
费马让 \(e\) 消失，牛顿说「正在消失的瞬间」，莱布尼茨用无穷小量，三句话描述的是同一个说不清的动作，1734 年一位主教把漏洞摆到了桌面上。
1734 年，贝克莱主教《分析家》
消失量的鬼魂
“这些流数究竟是什么？是消失的增量的速度。而这些消失的增量又是什么？它们既不是有限量，也不是无限小量，更不是零。难道不能称它们为消失量的鬼魂吗？”
贝克莱《分析家》（The Analyst），1734 年。
他不是外行：增量不为零，差商就是普通的比，还没到导数，增量为零，差商是 \(0/0\)，什么也不是，中间那个既非零又非不零的状态他叫鬼魂。
第一个补丁是把「瞬间」换成一个不等式：差商只对 \(\Delta x\neq 0\) 有定义，在 \(\Delta x=0\) 处压根没有值，导数问的是 \(\Delta x\) 无限接近零时它是否无限接近某个数，第一章把这句白话写成了 \(\varepsilon\)-\(\delta\) 定义，里面根本不出现 \(\Delta x\) 等于零。
第二个补丁针对连续与可导的混淆：魏尔斯特拉斯在 1872 年造出一个处处连续而处处不可导的函数，说明可导比连续强得多，不过最容易记的反例还是最简单的那个。
第三个补丁藏在链式法则的证明里：若机械地写 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\)，只要 \(\Delta u=0\) 右端第一个因子就没有意义，而只要 \(g\) 在一段区间上取常值，取小一点的 \(\Delta x\) 就能碰上。
定理（链式法则）
若 \(u=g(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，\(y=f(u)\) 在点 \(u_0=g(x_0)\) 处可导，则复合函数 \(y=f[g(x)]\) 在点 \(x_0\) 处可导，且
\[ \left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}=f'(u_0)\,g'(x_0) \]
由 \(f\) 在 \(u_0\) 可导，增量可写成
\[ \Delta y=f'(u_0)\,\Delta u+\varepsilon(\Delta u)\,\Delta u,\qquad \varepsilon(\Delta u)\to 0\ (\Delta u\to 0) \]
再规定 \(\varepsilon(0)=0\)，这一步是关键，因为 \(\Delta u=0\) 时两端都是零，等式照样成立，于是不必再假设 \(\Delta u\neq 0\)；两边除以 \(\Delta x\)，得 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u_0)\frac{\Delta u}{\Delta x}+\varepsilon(\Delta u)\frac{\Delta u}{\Delta x}\)，\(g\) 可导所以连续，\(\Delta x\to 0\) 时 \(\Delta u\to 0\)，于是 \(\varepsilon(\Delta u)\to 0\)，又 \(\Delta u/\Delta x\) 有极限所以有界，第二项趋于零，第一项趋于 \(f'(u_0)g'(x_0)\)。
反函数把差商上下颠倒：\(\left[f^{-1}\right]'(y_0)=1/f'(x_0)\)，条件是单调可导且 \(f'(x_0)\neq 0\)，缺了这一条，反函数的切线竖直。
为什么反函数的导数正好是原函数导数的倒数？
反函数在 \(y_0\) 附近连续且单调，\(\Delta y\to 0\) 时 \(\Delta x\to 0\) 且不为零，于是 \(\Delta x/\Delta y\) 正好是 \(\Delta y/\Delta x\) 的倒数，分母趋于 \(f'(x_0)\neq 0\)，取极限就得到 \(1/f'(x_0)\)。参数方程求导是同一句话的变形，\(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x=\psi'(t)/\varphi'(t)\)。
导数是一个比值的极限，微分是另一个东西，一个能单独写出来的量。
定义（微分）
设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域内有定义，给自变量一个增量 \(\Delta x\)。若函数增量可以写成
\[ \Delta y=A\,\Delta x+o(\Delta x) \]
其中 \(A\) 与 \(\Delta x\) 无关，则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微，并称 \(A\,\Delta x\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的微分，记作 \(\mathrm{d}y=A\,\Delta x\)。
可以证明 \(A=f'(x_0)\)，所以可微与可导是同一件事；又规定 \(\mathrm{d}x=\Delta x\)，于是 \(\mathrm{d}y=f'(x)\,\mathrm{d}x\)，导数成了两个微分之比。
几何上 \(\mathrm{d}y\) 是切线纵坐标的增量，\(\Delta y\) 是曲线纵坐标的增量，差 \(\Delta y-\mathrm{d}y=o(\Delta x)\) 就是以直代曲的误差，图中深色月牙形画的就是它。
一阶微分形式不变性说的是不论 \(u\) 是自变量还是中间变量，都有 \(\mathrm{d}y=f'(u)\,\mathrm{d}u\)，因为 \(\mathrm{d}u=g'(x)\,\mathrm{d}x\) 代进去就是链式法则，所以写 \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\) 时不必先声明 \(x\) 的身份。这份自由到二阶就没了，\(u=g(x)\) 时 \(\mathrm{d}^2y\) 会多出一项 \(f'(u)\,\mathrm{d}^2u\)。
真实增量 \(\Delta y\) 里有一块是线性的，那块就是微分，剩下的误差比 \(\Delta x\) 消失得更快，所以 \(\Delta x\) 很小时用 \(\mathrm{d}y\) 顶替 \(\Delta y\) 才靠得住。
四、方法手册
四则运算
设 \(u\)、\(v\) 都可导，四则运算的法则只有三条，其余的规则都是它们跟链式法则拼出来的：
\[ (u\pm v)'=u'\pm v',\qquad (uv)'=u'v+uv',\qquad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\ (v\neq 0) \]链式法则为什么可以乘起来
复合函数一层一层往外剥，每剥一层乘一次内层导数，之所以能乘，是因为每个因子都在干同一件事：\(\frac{\Delta u}{\Delta x}\) 把 \(x\) 的变化换成 \(u\) 的变化，\(\frac{\Delta y}{\Delta u}\) 再把 \(u\) 换成 \(y\)，中间的 \(\Delta u\) 约掉，剩下的就是 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)。三层四层也一样，所以 \((\sin 2x)'\) 里的 2、\((e^{x^2})'\) 里的 \(2x\) 都是这么来的；写成微分更省事，\(\mathrm{d}y=f'(u)\,\mathrm{d}u\)，因为 \(\mathrm{d}u\) 可以整体替换。
基本初等函数的导数
- 幂与指数：\((x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}\)，\((a^x)'=a^x\ln a\)，\((e^x)'=e^x\)。
- 对数：\((\ln x)'=\frac{1}{x}\)，\((\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\)。
- 三角：\((\sin x)'=\cos x\)，\((\cos x)'=-\sin x\)，\((\tan x)'=\sec^2 x\)。
- 反三角：\((\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，\((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\)。
反函数、参数方程与隐函数
反函数的导数等于原函数导数的倒数，\((\arcsin x)'=1/(\sin y)'=1/\cos y=1/\sqrt{1-x^2}\)，把 \(\cos y\) 换回 \(x\) 时得看清 \(y\) 的取值范围；参数方程 \(x=\varphi(t)\)、\(y=\psi(t)\) 确定 \(y\) 是 \(x\) 的函数，于是
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)},\qquad \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right)\cdot\frac{1}{\varphi'(t)} \]二阶导最容易错的地方是漏掉右端第二个因子，因为一阶导仍是 \(t\) 的函数，对 \(x\) 求导得再乘 \(1/\varphi'(t)\)；隐函数求导把 \(y\) 看成 \(x\) 的函数，两边对 \(x\) 求导，遇含 \(y\) 的项乘一个 \(y'\)，\(x^2+y^2=1\) 给出 \(2x+2yy'=0\)，于是 \(y'=-x/y\)。
什么时候该先取对数再求导？
幂指函数 \(u(x)^{v(x)}\)、一长串连乘连除、根号套根号，都可以先取对数，把乘除变成加减、把指数搬到前面，求完导再乘回 \(y\)，比如 \(y=x^x\) 得 \(y'=x^x(\ln x+1)\)。
高阶导数与莱布尼茨公式
\(y'\) 仍是 \(x\) 的函数，再求导得 \(y''\)，一般记 \(y^{(n)}\)，常用的几条是 \((e^x)^{(n)}=e^x\)、\((\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+n\frac{\pi}{2}\right)\)、\((\ln(1+x))^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}\)。
乘积求 \(n\) 阶导，怎么长得像二项式定理？
\((uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}\)，系数与二项式展开一样，因为每求一次导，导数的次数就在 \(u\) 与 \(v\) 之间分一次；\(v\) 取多项式时它求够阶数后全为零，级数自动截断。
微分与相关变化率
求微分就是求导后再乘 \(\mathrm{d}x\)，用它做近似计算时 \(f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x\)，误差是 \(o(\Delta x)\)。相关变化率把各量写成时间 \(t\) 的函数，找出联系它们的等式，两边对 \(t\) 求导再代入数值，关键是分清哪些量在变。
常见错法
- 把 \(f'(x_0)\) 与 \([f(x_0)]'\) 混为一谈：前者是一个数，后者恒为零。
- 写成 \((uv)'=u'v'\) 或 \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'}{v'}\)，乘除的法则不长这样。
- 讨论接头处的可导性时只验证连续，连续不断不代表有切线。
五、例题
例 1 用定义求 \(f(x)=\frac{1}{x}\) 在 \(x=2\) 处的导数。
先写差商：\(\Delta y=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}\)，除以 \(\Delta x\) 得 \(-\frac{1}{2(2+\Delta x)}\)，令 \(\Delta x\to 0\)，得 \(f'(2)=-\frac{1}{4}\)。
例 2 设 \(f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}\)（\(x\neq 0\)），\(f(0)=0\)。证明 \(f\) 在 \(x=0\) 处可导，并说明 \(f'\) 在 \(0\) 处不连续。
在原点只能用定义：\(\left|\frac{\Delta y}{\Delta x}\right|=\left|\Delta x\sin\frac{1}{\Delta x}\right|\leq|\Delta x|\to 0\)，故 \(f'(0)=0\)；\(x\neq 0\) 时 \(f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\)，后一项在 \(x\to 0\) 时来回振荡、没有极限，所以 \(f'\) 在 \(0\) 处不连续。
例 3 摆线的参数方程 \(x=t-\sin t\)，\(y=1-\cos t\)，求 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) 与 \(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\)。
\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\cot\frac{t}{2}\)；再对 \(x\) 求导，\(\cot\frac{t}{2}\) 对 \(t\) 求导得 \(-\frac{1}{2}\csc^2\frac{t}{2}\)，乘 \(\frac{1}{1-\cos t}\)，化简得 \(-\frac{1}{4\sin^4\frac{t}{2}}\)，它在 \(t\to 0\) 时趋于负无穷，对应摆线上的尖点。
六、习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题 5 分钟内
1. 用定义求 \(f(x)=\sqrt{x}\) 在 \(x=4\) 处的导数。
看答案
差商为 \(\frac{\sqrt{4+\Delta x}-2}{\Delta x}\)，分子有理化得 \(\frac{1}{\sqrt{4+\Delta x}+2}\)，极限为 \(\frac{1}{4}\)。
2. 求导数：(1) \(y=x^3-3x+1\)；(2) \(y=\frac{x}{1+x^2}\)；(3) \(y=\sin(2x+1)\)。
看答案
(1) \(3x^2-3\)；(2) 商法则给出 \(\frac{(1+x^2)-2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\)；(3) 链式法则，\(2\cos(2x+1)\)。
3. 求 \(y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\) 的导数。
看答案
\(y'=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)。
4. 设 \(y=x^2e^x\)，求 \(y''\)。
看答案
\(y'=(x^2+2x)e^x\)，再求导得 \(y''=(x^2+4x+2)e^x\)。
5. 求 \(y=x^2\) 在 \(x=1\) 处当 \(\Delta x=0.01\) 时的 \(\Delta y\) 与 \(\mathrm{d}y\)，比较两者。
看答案
\(\Delta y=2\Delta x+\Delta x^2=0.0201\)，\(\mathrm{d}y=2\Delta x=0.02\)。差为 \(\Delta x^2=0.0001\)，是 \(\Delta x\) 的高阶无穷小，误差以平方的速度缩小。
B 档 综合题，接近考试难度
1. 方程 \(x^2+xy+y^2=3\) 确定 \(y=y(x)\)。求 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)，以及曲线在 \((1,1)\) 处的切线。
看答案
两边对 \(x\) 求导，\(2x+y+xy'+2yy'=0\)，得 \(y'=-\frac{2x+y}{x+2y}\)。在 \((1,1)\) 处 \(y'=-1\)，切线为 \(y-1=-(x-1)\)，即 \(x+y=2\)。
2. 设 \(x=\ln(1+t^2)\)，\(y=\arctan t\)，求 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) 与 \(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\)。
看答案
\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{2t}{1+t^2}\)，\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{1+t^2}\)，故 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2t}\)。再对 \(x\) 求导：\(-\frac{1}{2t^2}\cdot\frac{1+t^2}{2t}=-\frac{1+t^2}{4t^3}\)。
3. 设 \(f\) 在 \(x_0\) 可导且 \(f(x_0)\neq 0\)。用定义证明 \(\left(\frac{1}{f}\right)'(x_0)=-\frac{f'(x_0)}{f^2(x_0)}\)。
看答案
差商写成 \(\frac{1}{\Delta x}\left(\frac{1}{f(x_0+\Delta x)}-\frac{1}{f(x_0)}\right)=-\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\frac{1}{f(x_0+\Delta x)f(x_0)}\)。第一因子趋于 \(-f'(x_0)\)；由可导必连续，第二因子趋于 \(1/f^2(x_0)\)。难点在说明分母不为零且两个极限可以分开取。
4. 球形气球充气，体积以 \(100\,\mathrm{cm^3/s}\) 增加。求半径达到 \(5\,\mathrm{cm}\) 时半径与表面积的增长速度。
看答案
由 \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) 得 \(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=4\pi r^2\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\)，故 \(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{100}{100\pi}=\frac{1}{\pi}\approx 0.318\,\mathrm{cm/s}\)。又 \(S=4\pi r^2\)，\(\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=8\pi r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=40\,\mathrm{cm^2/s}\)。
C 档 拓展与历史原题
1. 费马在 1636 年致罗贝瓦尔的信中用「近似相等」求切线。对 \(y=x^2\) 上的点 \(P(a,a^2)\)，设切线与 \(x\) 轴交于 \(T\)，次切距 \(s\) 是 \(P\) 到 \(T\) 在 \(x\) 轴上射影的长度。费马取邻近点 \(Q(a+e,(a+e)^2)\)，令 \(\frac{(a+e)^2}{a^2}\sim\frac{s+e}{s}\)，化简后令含 \(e\) 的项消失。求 \(s\) 与切线斜率，并指出哪一步今天不能照搬。
看答案
展开得 \(\frac{a^2+2ae+e^2}{a^2}\sim 1+\frac{e}{s}\)，两边减 1，除以 \(e\)，得 \(\frac{2}{a}+\frac{e}{a^2}\sim\frac{1}{s}\)。令 \(e\) 消失，\(s=\frac{a}{2}\)，斜率为 \(\frac{a^2}{a/2}=2a\)。不能照搬的是「除以 \(e\) 再令 \(e=0\)」，正确写法是取 \(\lim_{e\to 0}\)，这一步正是费马缺的。
2. 牛顿在《流数法与无穷级数》里求 \(x^n\) 的流数：把 \(x\) 换成 \(x+o\)，展开，减去 \(x^n\)，除以 \(o\)，再令含 \(o\) 的项消失。用 \(n=3\) 补全这个过程，并说明 \(o\) 与 \(\Delta x\) 的对应。
看答案
\((x+o)^3=x^3+3x^2o+3xo^2+o^3\)，减去 \(x^3\) 再除以 \(o\)，得 \(3x^2+3xo+o^2\)，令含 \(o\) 的项消失，得流数 \(3x^2\dot{x}\)。\(o\) 相当于 \(\Delta x\)，但牛顿没有让它趋于零，而是直接删去含它的项。删除与取极限在多项式上结果相同，在一般函数上不能保证。
3. 洛必达 1696 年的《阐明曲线的无穷小分析》是第一部系统的微分学教科书，书中把 \(\mathrm{d}y\) 与 \(\mathrm{d}x\) 当作真正的无穷小直接相除。用这种办法求 \(y^2=2px\) 的切线斜率，并说明它为什么不必先解出 \(y\)。
看答案
两边取微分，\(2y\,\mathrm{d}y=2p\,\mathrm{d}x\)，于是 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{p}{y}\)。在 \((x_0,y_0)\) 处斜率为 \(\frac{p}{y_0}\)，切线化简为 \(y_0y=p(x+x_0)\)。\(y\) 始终整体参与运算，不必开方，也不必讨论取哪一支。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 如果不取极限，而把差商在 \(\Delta x=0.001\) 时的值规定为导数，会失去什么？
看提示
换几个函数试试：\(x^2\) 在原点看不出毛病，\(|x|\) 会给出一个无意义的中间值，而 \(x^2\sin(1/x)\) 在 \(0.001\) 附近的值取决于具体的 \(\Delta x\)。再想一想，这样的「导数」还满足乘积法则吗。
2. 牛顿说「正在消失的瞬间」，贝克莱说「消失量的鬼魂」。用今天的语言，这两句话落在定义的哪个位置？
看提示
极限是一个数，不是过程，也不发生在某个瞬间。\(\varepsilon\)-\(\delta\) 语言里没有「瞬间」，只有「对任意 \(\varepsilon\) 存在 \(\delta\)」。那么被删掉的到底是什么。
3. 一阶微分形式不变性在二阶失效，这是符号的缺陷，还是对象本身的性质？
看提示
看 \(\mathrm{d}^2u\) 在 \(u\) 是自变量时等于什么。再考虑：能不能换一套记号让二阶也形式不变，代价又是什么。
延伸阅读
- 同济大学数学系《高等数学》第七版上册，第二章「导数与微分」。
- 莫里斯·克莱因《古今数学思想》第二册，十七世纪微积分部分。
- 卡尔·博耶《微积分概念史》，牛顿与莱布尼茨两章。
- 贝克莱《分析家》（The Analyst, 1734），关于流数与增量的段落。