1691 年，巴黎。罗尔印出一本讲方程解法的书，里面有一条纯代数的命题：一个方程若有两个实根，它的「派生方程」在两根之间必有一个实根，130 年后这句话被改写成关于切线的定理，成了微分学的枢纽。
一、源头：一份没有导数的命题
米歇尔·罗尔（Michel Rolle，1652 至 1719）的日常工作是解方程：判断一个高次方程有几个实根、根落在哪里。当时没有求根公式，四次以上更无从下手，他只能先把根隔进很小的区间，再逐位逼近。
他的办法建立在一条引理上：若方程 \(p(x)=0\) 有两个实根，则 \(p'(x)=0\) 在两根之间至少有一个实根。罗尔把 \(p'\) 叫「派生的方程」，反复用下去，根的范围一层层压缩，后人叫罗尔级联。
1691 年，罗尔《代数方程解法》
一条纯代数的命题
“在两个根之间，方程的派生方程至少有一个实根。”
罗尔《代数方程解法》（Démonstration d'une méthode pour résoudre les égalités de tous les degrés），巴黎，1691 年。原文用纯代数语言，不含导数、极限与曲线。
罗尔要的是把根隔开，不找水平切线；那句「切线平行于弦」，是 100 多年后才接上去的。
罗尔当年真的没提切线吗
原文是纯代数语言：多项式在两个相邻的根之间，派生方程至少有一个根，全文没有曲线，也没有极限，那句几何解释是 19 世纪补上去的。
用今天的眼光看，这条命题把两种信息连了起来：两端函数值相等，管的是整段区间；某点导数为零，只看一个点。
同一时期巴黎还出了另一本书：1696 年，洛必达侯爵（Guillaume de l'Hôpital，1661 至 1704）自费印行《阐明曲线的无穷小分析》，这是第一部系统的微分学教科书，第九章专讲「两个都趋于零的量之比」，其中最有名的一道例题求的是曲线
\[ y=\frac{\sqrt{2a^{3}x-x^{4}}-a\sqrt[3]{a^{2}x}}{a-\sqrt[4]{ax^{3}}} \]在 \(x=a\) 处的纵坐标：代入后分子分母同为零，他两次取微分之比，得 \(y=\frac{16}{9}a\)，零比零从此变成了能算的东西。
署名还有一桩旧账：1694 年洛必达与约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667 至 1748）订了协议，每年付 300 里弗尔换他的新结果，零比零那条法则就在其中；1704 年伯努利公开说它属于自己，那时洛必达已经去世。
二、思想的成形：弦与切线
先补一块地基：函数在内部最高或最低的地方，斜率是多少。这个问题费马在 1630 年代碰过。
定理（费马引理）
设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域 \(U(x_0)\) 内有定义，并且在 \(x_0\) 处可导。若对一切 \(x\in U(x_0)\) 有 \(f(x)\le f(x_0)\)，则 \(f'(x_0)=0\)。不等式反向时结论相同。
看差商：\(\Delta x>0\) 时差商非正，令 \(\Delta x\to 0^{+}\) 得 \(f'_+(x_0)\le 0\)；\(\Delta x\lt 0\) 时差商非负，得 \(f'_-(x_0)\ge 0\)，可导又要求左右导数相等，一夹只能是零。
端点只有单侧导数，尖点没有导数，这两种情形都推不出导数为零。
定理（罗尔定理）
若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 内可导，且 \(f(a)=f(b)\)，则 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，使 \(f'(\xi)=0\)。
由最值定理，\(f\) 在 \([a,b]\) 上取到最大值 \(M\) 与最小值 \(m\)；若 \(M=m\)，\(f\) 是常数；若 \(M>m\)，两个最值里至少有一个在内部某点 \(\xi\) 取到，那是可导的内部极值点，由费马引理得 \(f'(\xi)=0\)。
定理（拉格朗日中值定理）
若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 内可导，则 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，使
\[ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \]
记 \(b=a+\Delta x\)，它就是有限增量公式 \(f(a+\Delta x)-f(a)=f'(\xi)\Delta x\)，其中 \(\xi=a+\theta\Delta x\)，\(0\lt \theta\lt 1\)。
构造 \(\varphi(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)，它两端取值为零，连续与可导都从 \(f\) 继承，用罗尔定理得 \(\varphi'(\xi)=0\)，展开就是所求；几何上 \(\varphi\) 是「曲线减去弦」。
弦的斜率是 \([f(b)-f(a)]/(b-a)\)，定理说至少有一点的切线跟它平行；要留神 \(\xi\) 只保证存在，既不唯一，也不告诉你在哪儿。
罗尔、拉格朗日、柯西讲的是同一件事：把两端的函数值之差，换成中间某一点的导数，那一点在哪儿，定理不管。
三条推论几乎每年都考：若 \(f'\equiv 0\) 则 \(f\) 为常数；若 \(f'\ge 0\) 则单调不减，\(f'>0\) 则严格增；若 \(|f'|\le M\) 则 \(|f(x)-f(x_0)|\le M|x-x_0|\)。
1797 年，拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736 至 1813）在巴黎出版《解析函数论》，这条定理就写在里面；序言里他说要把微分学从极限和无穷小里解脱出来，只用代数，这个野心留下了漏洞。
柯西与洛必达
柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789 至 1857）在 1823 年的《无穷小计算概论》里把它推广成两个函数的形式，今天求极限用的洛必达法则就是从这一步长出来的。
定理（柯西中值定理）
设函数 \(f(x)\) 与 \(F(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，在开区间 \((a,b)\) 内可导，且 \(F'(x)\) 在 \((a,b)\) 内恒不为零，则 \((a,b)\) 内至少存在一点 \(\xi\)，使
\[ \frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} \]
先说明 \(F(b)\ne F(a)\)，否则罗尔定理给出一点使 \(F'=0\)；再取 \(\varphi(x)=f(x)-f(a)-\dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}\big[F(x)-F(a)\big]\)，它两端为零，对 \(\varphi\) 用罗尔定理即得。
三个定理像套娃：柯西中取 \(F(x)=x\) 得拉格朗日，再要求 \(f(a)=f(b)\) 得罗尔，教材按这个顺序讲，是让证明一路继承下去。
洛必达法则就落在这里：把 \(f\) 与 \(F\) 在 \(a\) 处补上零值，在 \([a,x]\) 上用柯西中值定理，得 \(f(x)/F(x)=f'(\xi)/F'(\xi)\)，而 \(x\to a\) 时 \(\xi\to a\)。
定理（洛必达法则，\(\frac{0}{0}\) 型）
设 (1) 当 \(x\to a\) 时 \(f(x)\to 0\)，\(F(x)\to 0\)；(2) 在 \(a\) 的某去心邻域内 \(f'(x)\) 与 \(F'(x)\) 存在，且 \(F'(x)\ne 0\)；(3) \(\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}\) 存在或为无穷大。则 \(\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{F'(x)}\)。\(\frac{\infty}{\infty}\) 型只需把 (1) 换成两者都趋于无穷，结论相同。
三条条件里第 (2) 条最容易忘：分母的导函数在去心邻域里不能为零，否则柯西中值定理用不上；\(a\) 可以是有限点，也可以是无穷。用一次之后若还是未定式才能再用，每次都要重新核对类型。
泰勒与麦克劳林
泰勒公式讲的事情很朴素：拿多项式去模拟一个函数。1715 年，泰勒（Brook Taylor，1685 至 1731）在伦敦出版《正的和反的增量方法》；27 年后，麦克劳林（Colin Maclaurin，1698 至 1746）在《流数论》里写出了 \(x_0=0\) 的情形。
麦克劳林公式和泰勒公式是两个定理吗
公式只有一条，区别在展开点：泰勒公式在任意 \(x_0\) 处展开，麦克劳林公式取 \(x_0=0\)，是它的特例。18 世纪的人习惯按 \(x\) 的幂次写，才给特例单独立了个名字。
定理（泰勒公式）
若 \(f(x)\) 在含 \(x_0\) 的开区间 \((a,b)\) 内具有直到 \(n+1\) 阶的导数，则对任一 \(x\in(a,b)\) 有
\[ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \]
其中 \[ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]，\(\xi\) 介于 \(x_0\) 与 \(x\) 之间，这叫拉格朗日余项；若只要求 \(f\) 在 \(x_0\) 处有 \(n\) 阶导数，余项只能写成 \(R_n(x)=o\big((x-x_0)^n\big)\)，叫佩亚诺余项，它没有可算的上界。
固定 \(x\)，令 \(R(t)=f(x)-P_n(t)\)，对 \(R(t)\) 与 \((x-t)^{n+1}\) 在 \([x_0,x]\) 上用柯西中值定理，分子分母各降一阶，做满 \(n+1\) 次后分子剩 \(f^{(n+1)}(\xi)\)，分母剩 \((n+1)!\)。
麦克劳林公式是特例，下面六个展开要熟到能随手写出，都在 \(x\to 0\) 时成立：
\[ e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n}) \] \[ \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+o(x^{2m-1}) \] \[ \cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots+(-1)^{m}\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m}) \] \[ \ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n}) \] \[ (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2}+\cdots+o(x^{n}) \] \[ \frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+o(x^{n}) \]两种余项不能混用：佩亚诺余项够用来求极限、定无穷小的阶；要估计误差得换拉格朗日余项，代价是多要求一阶导数。
构造辅助函数
三个中值定理的证明只有一个动作：把要证的等式整理成「某个函数在两端相等」，再交给罗尔，这叫构造辅助函数。常考的配方是：结论形如 \(f'(\xi)=k\) 时直接对 \(f\) 用拉格朗日定理；含 \(f'+\lambda f\) 时取 \(F(x)=e^{\lambda x}f(x)\)；含 \(\xi f'+f\) 或 \(f'/f\) 时取 \(F(x)=xf(x)\) 或 \(F(x)=\dfrac{f(x)}{x}\)。
三、严格化：拉格朗日的赌注
拉格朗日写《解析函数论》，想把微分学整个架在代数上：不设极限，不设无穷小，只设「函数能展开成幂级数」，把 \(f(x+h)\) 展开成 \(f(x)+ph+qh^{2}+\cdots\)，系数 \(p\) 就算导数。好处是不涉及「趋近」，坏处是它假定展开存在且收敛，当时没人证得出来。
1820 年代，这个假定被两头夹住。一头是柯西：1821 年的《分析教程》与 1823 年的《无穷小计算概论》改用极限定义导数，把中值定理和泰勒公式重证一遍，不再假定级数收敛。另一头是反例：柯西注意到 \(f(x)=e^{-1/x^{2}}\)（补 \(f(0)=0\)）在原点各阶导数全为零，展开恒为零而函数不为零；1826 年阿贝尔指出二项级数只在 \(|x|\lt 1\) 内收敛，1872 年魏尔斯特拉斯给出处处连续却处处不可导的函数。
1821 年，柯西《分析教程》
把无穷小请出去
“至于方法，我力求使它们具有几何学所要求的全部严格性，绝不诉诸无穷小代数所提供的理由。”
柯西《分析教程》（Cours d'analyse），巴黎，1821 年，导言，据通行英译转译。
柯西没有否定无穷小，只是不再把它当理由；中值定理能写成今天的样子，靠的就是把「无限接近」换成不等式。
每个定理前面都挂着一串必须核对的条件，本章的难点就在这四条。
- 罗尔定理的三个条件缺一不可。\(f(x)=|x|\) 在 \([-1,1]\) 上连续，两端都等于 \(1\)，但 \(0\) 处不可导，结论不成立。
- \(\xi\) 与区间绑定：换个区间，\(\xi\) 就换个位置；同一区间上也可能有多个 \(\xi\)。
- 洛必达法则的三条要逐条验。不是未定式就动手是常见错：\(\lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}+1}{x+1}=1\)，若误用法则会得 \(\dfrac{2x}{1}=2\)。
- 法则的结论不能反用。导数之比的极限不存在，原比值仍可能有极限，下面的图就是。
取 \(f(x)=x+\sin x\)、\(g(x)=x\)，\(x\to+\infty\) 时两者都趋于无穷，属 \(\infty/\infty\) 型；原比值 \(1+\frac{\sin x}{x}\) 趋于 \(1\)，导数之比 \(1+\cos x\) 却在 \(0\) 与 \(2\) 之间振荡，没有极限，照抄法则只能得出「原极限不存在」。
更隐蔽的误用是循环论证：求 \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\) 若用洛必达，得先知 \((\sin x)'=\cos x\)，而这个公式的推导本身就要用这个极限。
泰勒公式也有条件：佩亚诺余项只在 \(x\to x_0\) 的有效范围内能用，估不了误差；求极限时分子分母要展开到同阶，展少了分不出主部。
这些定理只保证「有这么一点」，不告诉你在哪儿，也算不出它的值。
四、方法手册
单调性、极值与作图
单调性只看 \(f'\) 的符号：区间内 \(f'>0\) 严格增，\(f'\lt 0\) 严格减，导数不存在的点要单列。可导的极值点必是驻点，反过来不成立，\(x^{3}\) 在 \(0\) 处是驻点却不是极值，\(|x|\) 在 \(0\) 处不可导却取极小，所以候选点是驻点、不可导点、端点。
判定极值有两套充分条件。第一套看 \(f'\) 在 \(x_0\) 两侧的符号：左正右负取极大，左负右正取极小，两侧同号不是极值，它不要求二阶导数存在。第二套看 \(f''(x_0)\)：\(f'(x_0)=0\) 且 \(f''(x_0)\lt 0\) 取极大，\(f''(x_0)>0\) 取极小；\(f''(x_0)=0\) 时它说不出来，\(x^{4}\) 与 \(x^{3}\) 在 \(0\) 处都满足 \(f'=f''=0\)，前者是极值，后者不是。
闭区间上的最值，把驻点、不可导点和端点的函数值算出来比大小。
凹凸、拐点与渐近线
教材用中点不等式定义凹凸：恒有 \(f\big(\frac{x_1+x_2}{2}\big)\lt \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\) 时称图形凹，即开口向上，判定看 \(f''>0\) 凹、\(f''\lt 0\) 凸，这套命名跟有些教材相反，答卷时写明「开口向上」最稳。拐点是凹凸改变的点，先找 \(f''=0\) 与 \(f''\) 不存在的点再看两侧是否变号，\(x^{4}\) 在 \(0\) 处两侧同号，不是拐点。
渐近线有三种：\(\lim_{x\to\infty}f(x)=b\) 给出水平线；\(x\to x_0\) 时函数趋于无穷给出铅直线，多在分母的零点；斜渐近线先算 \(k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}\)，再算 \(b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-kx\big]\)。作图按定义域、符号表、渐近线、截距的顺序走，符号表是评分点。
曲率
设 \(y=f(x)\) 二阶可导，一小段弧长近似等于它在切线上对应的线段，于是弧微分
\[ \mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^{2}}\,\mathrm{d}x \]曲率是切线倾角 \(\alpha\) 对弧长 \(s\) 的变化率的绝对值，把 \(\mathrm{d}\alpha\) 换算成 \(\mathrm{d}s\) 就得到教材的公式
\[ K=\left|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}\right|=\frac{|y''|}{\big(1+y'^{2}\big)^{3/2}} \]参数方程 \(x=\varphi(t)\)、\(y=\psi(t)\) 时，把公式里的导数换成对 \(t\) 的导数即可。
曲率半径为什么是曲率的倒数
\(K\) 量的是切线转得多快，单位是「弧度每单位弧长」，所以 \(1/K\) 是一个长度，正好是那一点贴得最紧的圆的半径 \(\rho\)。直线 \(K=0\)，半径无穷。抛物线 \(y=x^{2}\) 在 \((1,1)\) 处算得 \(K\approx 0.179\)、\(\rho\approx 5.59\)。
二分法与牛顿法
二分法只要求连续：\(f(a)f(b)\lt 0\) 时每次取中点、留下变号的那一半，第 \(n\) 步后误差不超过 \((b-a)/2^{n+1}\)，它慢，但一定收敛。牛顿切线法在根附近取 \(x_0\)，用过 \((x_0,f(x_0))\) 的切线与 \(x\) 轴的交点作新的近似，迭代式是
\[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]几何上就是沿切线滑到 \(x\) 轴，误差大致按平方缩小，代价是 \(f'\) 要好算且不为零、初值要在根附近。
牛顿法什么时候保证收敛
常用的一条充分条件是：\(f'\) 不为零、\(f''\) 不变号，初值取在使 \(f(x_0)f''(x_0)>0\) 的那一端，迭代数列就单调收敛到根。初值太远，切线可能把点甩到区间外，迭代就发散了。
常见错法
- 把 \(f'(x_0)=0\) 当作极值的充分条件。\(x^{3}\) 在 \(0\) 处是反例。
- 用中值定理时不写条件，或默认 \(\xi\) 是区间中点。
- 没验证类型就用洛必达，或在导数之比不存在时断言原极限不存在。
- 求凹凸区间时把 \(f''=0\) 的点一律当拐点，不看两侧符号。
五、例题
例 1 证明当 \(x>0\) 时 \(\dfrac{x}{1+x}\lt \ln(1+x)\lt x\)。
在 \([0,x]\) 上对 \(\ln(1+t)\) 用拉格朗日中值定理，得 \(\ln(1+x)=\dfrac{x}{1+\xi}\)，其中 \(0\lt \xi\lt x\)。于是 \(\dfrac{1}{1+x}\lt \dfrac{1}{1+\xi}\lt 1\)，三边同乘正数 \(x\) 就得证。
例 2 求 \(\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x-x}{x-\sin x}\)。
代入为 \(\frac{0}{0}\) 型，用一次法则得 \(\dfrac{\sec^{2}x-1}{1-\cos x}\)，还是 \(\frac{0}{0}\) 型；再用一次得 \(\dfrac{2\sec^{2}x\tan x}{\sin x}\)，这已经不是未定式，化简得 \(2\sec^{3}x\to 2\)。也可以走等价无穷小：\(\sec^{2}x-1\sim x^{2}\)，\(1-\cos x\sim\frac{x^{2}}{2}\)，商同样趋于 2。
例 3 求 \(\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x-e^{-x^{2}/2}}{x^{4}}\)。
两个函数都展开到 \(x^{4}\)：\(\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4})\)，\(e^{-x^{2}/2}=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{8}+o(x^{4})\)。相减后前两项抵消，剩下 \(-\frac{x^{4}}{12}+o(x^{4})\)，故极限为 \(-\frac{1}{12}\)。
六、习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题 5 分钟内
1. 验证 \(f(x)=x^{2}-2x-3\) 在 \([-1,3]\) 上满足罗尔定理的条件，并求出定理中的 \(\xi\)。
看答案
\(f\) 是多项式，在 \([-1,3]\) 上连续、在 \((-1,3)\) 内可导，而 \(f(-1)=1+2-3=0\)、\(f(3)=9-6-3=0\) 两端相等，由 \(f'(x)=2x-2=0\) 得 \(\xi=1\)，确实落在 \((-1,3)\) 内。
2. 用拉格朗日中值定理证明：对任意实数 \(a,b\)，有 \(|\sin a-\sin b|\le|a-b|\)。
看答案
不妨设 \(a\lt b\)，在 \([a,b]\) 上对 \(\sin x\) 用中值定理得 \(\sin b-\sin a=(b-a)\cos\xi\)，两边取绝对值并用 \(|\cos\xi|\le 1\) 即得；\(a=b\) 时两端都是零。
3. 求 \(\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1-x}{x^{2}}\)。
看答案
这是 \(\frac{0}{0}\) 型，用一次洛必达得 \(\dfrac{e^{x}-1}{2x}\)，仍是 \(\frac{0}{0}\) 型，再用一次得 \(\dfrac{e^{x}}{2}\to\frac{1}{2}\)；用麦克劳林公式更快：\(e^{x}-1-x=\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\)，商为 \(\frac{1}{2}+o(1)\)。
4. 求 \(f(x)=x^{3}-3x^{2}+1\) 的单调区间与极值。
看答案
\(f'(x)=3x(x-2)\)，在 \((-\infty,0)\) 与 \((2,+\infty)\) 上 \(f'>0\) 函数增，在 \((0,2)\) 上 \(f'\lt 0\) 函数减，故 \(f(0)=1\) 为极大值，\(f(2)=-3\) 为极小值。
5. 写出 \(e^{2x}\) 与 \(\cos x\) 到 \(x^{4}\) 项的麦克劳林公式，带佩亚诺余项。
看答案
\(e^{2x}=1+2x+2x^{2}+\frac{4}{3}x^{3}+\frac{2}{3}x^{4}+o(x^{4})\)，把 \(e^{u}\) 中的 \(u\) 换成 \(2x\) 即可；\(\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4})\)。
6. 求曲线 \(y=x^{3}\) 在点 \((1,1)\) 处的曲率与曲率半径。
看答案
\(y'=3x^{2}\)、\(y''=6x\)，在 \(x=1\) 处 \(y'=3\)、\(y''=6\)，代入 \(K=\frac{|y''|}{(1+y'^{2})^{3/2}}\) 得 \(K=\frac{3\sqrt{10}}{50}\approx 0.190\)，曲率半径 \(\rho=\frac{5\sqrt{10}}{3}\approx 5.27\)。
B 档 综合题，接近考试难度
1. 证明当 \(x>0\) 时 \(x-\dfrac{x^{2}}{2}\lt \ln(1+x)\lt x\)。
看答案
右边见例 1；左边令 \(\varphi(x)=\ln(1+x)-x+\frac{x^{2}}{2}\)，则 \(\varphi(0)=0\) 而 \(\varphi'(x)=\frac{x^{2}}{1+x}>0\)，故 \(x>0\) 时 \(\varphi(x)>0\)。
2. 讨论 \(g(x)=x^{2}e^{-x}\) 的单调区间、极值、凹凸区间、拐点与渐近线。
看答案
\(g'=x(2-x)e^{-x}\) 的驻点是 \(0\) 与 \(2\)，\(g''=(x^{2}-4x+2)e^{-x}\) 的零点是 \(2\pm\sqrt{2}\)；增区间 \((0,2)\)，减区间 \((-\infty,0)\) 与 \((2,+\infty)\)，\(g(0)=0\) 是极小值、\(g(2)=4e^{-2}\) 是极大值；\(g''>0\) 于 \((2-\sqrt{2},2+\sqrt{2})\) 图形凹，其余两段凸，两个零点都是拐点；\(x\to+\infty\) 时 \(g\to 0\)，水平渐近线 \(y=0\)。
3. 用泰勒公式求 \(\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e^{x}-1}\right)\)。
看答案
通分得 \(\dfrac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)}\)，分子 \(=\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\)，分母里 \(e^{x}-1=x+o(x)\) 故分母 \(=x^{2}+o(x^{2})\)，商为 \(\frac{1}{2}+o(1)\)，极限是 \(\frac{1}{2}\)。
4. 用牛顿切线法求 \(x^{3}-x-1=0\) 在 \([1,1.5]\) 内的根，取 \(x_1=1.5\)，算出 \(x_2\) 与 \(x_3\)，并与二分法比较步数。
看答案
\(f'=3x^{2}-1\)，由 \(x_2=1.5-\frac{0.875}{5.75}=1.3478\) 得 \(f(1.3478)\approx 0.1006\)、\(f'(1.3478)\approx 4.450\)，故 \(x_3\approx 1.3252\)，真值 \(1.32472\)，两步已到四位有效数字；二分法达到同样精度约需十二步。
C 档 拓展与历史原题
1. 洛必达《阐明曲线的无穷小分析》（1696）第九章的原题：求曲线 \(y=\dfrac{\sqrt{2a^{3}x-x^{4}}-a\sqrt[3]{a^{2}x}}{a-\sqrt[4]{ax^{3}}}\) 在 \(x=a\) 处的纵坐标。书中把两个无穷小直接相除，请用今天的话把这一步说清楚。
看答案
令 \(x=at\)，则 \(y=a\cdot\dfrac{\sqrt{2t-t^{4}}-t^{1/3}}{1-t^{3/4}}\)，\(t\to 1\) 时分子分母同为零，属 \(\frac{0}{0}\) 型。分子分母对 \(t\) 求导，在 \(t=1\) 处分别得 \(-\frac{4}{3}\) 与 \(-\frac{3}{4}\)，比值 \(\frac{16}{9}\)，故 \(y=\frac{16}{9}a\)。洛必达说的「两个无穷小相除」，就是今天的「导数之比取极限」。
2. 用带拉格朗日余项的泰勒公式证明 \(e\) 是无理数。这一证法一般归于傅里叶 1815 年向巴黎科学院提交的报告，欧拉 1737 年已用连分数得到同一结论。
看答案
设 \(e=\frac{p}{q}\)，由麦克劳林公式 \(e=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+R_{n}\)，其中 \(0\lt R_{n}\lt \frac{3}{(n+1)!}\)。取 \(n\ge q\)，则 \(n!e\) 与 \(n!\sum_{k\le n}\frac{1}{k!}\) 都是整数，而它们的差 \(n!R_{n}\) 大于 0 小于 \(\frac{3}{n+1}\lt 1\)。整数夹在 0 与 1 之间不存在，矛盾。
3. 设 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导，\(0\lt a\lt b\)。证明存在 \(\xi\in(a,b)\)，使 \(f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)\ln\dfrac{b}{a}\)。
看答案
结论里的 \(\ln\frac{b}{a}\) 提示取 \(F(x)=\ln x\)，它在 \([a,b]\) 上连续、在 \((a,b)\) 内可导，且 \(F'\ne 0\)。于是 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\dfrac{f'(\xi)}{1/\xi}=\xi f'(\xi)\)，移项即得。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 罗尔定理为什么要求「闭区间上连续、开区间内可导」？把前者换成开区间上的连续，会失去什么？
看提示
回到证明里找：最值定理在哪一步被用到，用的时候区间是闭的还是开的；再取一个反例试试，比如 \(f(x)=x\) 在 \((0,1)\) 上，或者一个在端点附近无界的函数。
2. 洛必达法则要求导数之比的极限存在。这个条件不成立时，原比值的极限是否必然不存在？
看提示
本章那张双栏图就是反例：原比值趋于 \(1\)，导数之比振荡。柯西中值定理只说 \(f/F=f'(\xi)/F'(\xi)\)，而 \(\xi\) 随 \(x\) 跑，右端剧烈变化时左端仍可平稳。
3. 拉格朗日想用「可以展开成幂级数」来定义导数。用今天的语言看，这条假设在哪类函数上失败？丢掉它之后，导数还剩下什么？
看提示
看 \(e^{-1/x^{2}}\) 在原点处的各阶导数，以及它展开出来的级数；再想想魏尔斯特拉斯那个处处不可导的函数，它连切线都没有。
延伸阅读
- 同济大学数学系《高等数学》第七版上册，第三章「微分中值定理与导数的应用」，§3.1 至 §3.8。
- 卡尔·博耶《微积分概念史》，中值定理的成形一章。
- 洛必达《阐明曲线的无穷小分析》（Analyse des infiniment petits, 1696），第九章。
- 拉格朗日《解析函数论》（Théorie des fonctions analytiques, 1797），第一部分。