1828 年，诺丁汉一家磨坊的楼上，一个没上过大学的年轻人自费印了几十页小册子，白天他看磨盘转，夜里算电与磁，册子里那条公式把沿曲线走一圈的累积换成了区域内部的二重积分，可在他生前几乎无人问津。
一、源头：磨坊楼上的册子
乔治·格林生于 1793 年，家在诺丁汉附近的斯奈顿，只在私塾念过几年书，9 岁起就在磨坊做工，数学全靠自学。1817 年父亲替他建了一座风车磨坊，他在楼上腾出屋子做书房，夜里读布龙黑德替他借来的拉普拉斯与拉格朗日，后来也是布龙黑德劝他印出结果。
他关心的问题很具体：电荷在空间里按某种方式分布，怎样算出每一点的电位，为此他造了个词叫位势函数，而要把空间里电荷的作用加起来，就得把空间切碎再求和，也就是后来的三重积分。麻烦在于电荷只在区域内部，外面的场却由内部决定，边界上的条件又必须进到计算里去，于是他造出的连接物是一条把内部积分换成边界积分的恒等式。
1828 年他自己出钱在诺丁汉印行了《论数学分析在电磁理论中的应用》，订户只有 50 余人，大部分是本地乡绅，寄给学者也几乎没有回音。
1828 年，诺丁汉
一本靠预订印行的小册子
“An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism”
格林自费印行于诺丁汉，1828 年；原书长期无人引用，1850 年代经《克雷尔杂志》分期刊出。
格林不是学院里的数学家，写的也不是给同行看的论文，那条公式在他手里只是处理电磁时顺手用的一件工具，要等开尔文重新提起，剑桥的人才当定理来读。
他的公式今天写成这样：
\[ \oint_{L} P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. \]左边绕边界走一圈，右边在内部逐点累加，要读懂左边那种积分先得说清它是什么。格林 1841 年就去世了，47 岁，没能看到公式变成教科书里的一节。
二、成形：沿一条曲线累加
曲线上的积分有两种，一种只关心曲线的长短，一种还关心走的方向，教材叫第一类与第二类曲线积分，区别只有一个：刻度用弧长还是用坐标差。
定义（两类曲线积分）
第一类：\(f(x,y)\) 在光滑曲线弧 \(L\) 上有界，把 \(L\) 分成 \(n\) 个小段，第 \(i\) 段长记作 \(\Delta s_i\)，在其上任取一点 \((\xi_i,\eta_i)\)；若 \(\lambda=\max\Delta s_i\to 0\) 时 \(\sum f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i\) 的极限存在且与分法、取点无关，就叫它 \(f\) 在 \(L\) 上对弧长的曲线积分，记作 \(\int_L f\,\mathrm{d}s\)。
第二类：\(L\) 有向，第 \(i\) 段在两根坐标轴上的投影长记作 \(\Delta x_i\)、\(\Delta y_i\)，若 \(\lambda\to 0\) 时 \(\sum\big[P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i\big]\) 的极限存在且与分法、取点无关，就叫它对坐标的曲线积分，记作 \(\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\)。
第一类的性质直接来自定义：与方向无关，即 \(\int_{L^-}f\,\mathrm{d}s=\int_L f\,\mathrm{d}s\)；对路径可加；\(f\equiv 1\) 时积分就是弧长。第二类量的是做功，\(\vec F=(P,Q)\) 把质点从起点推到终点，功就是 \(\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\)，正好是两个分量各乘对应的坐标增量。
定理（两类曲线积分的计算）
设 \(L\) 由 \(x=\varphi(t),\ y=\psi(t)\) 给出。第一类取 \(\alpha\le t\le\beta\) 并要求 \(\alpha\lt\beta\)：
\[ \int_L f(x,y)\,\mathrm{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f\big(\varphi(t),\psi(t)\big)\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}\,\mathrm{d}t; \]
第二类让起点对应 \(\alpha\)、终点对应 \(\beta\)，不要求 \(\alpha\lt\beta\)，上下限照抄：
\[ \int_{L}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_{\alpha}^{\beta}\big[P(\varphi,\psi)\varphi'(t)+Q(\varphi,\psi)\psi'(t)\big]\mathrm{d}t. \]
参数化是唯一的入口：曲线写成 \(y=y(x)\) 就取 \(x\) 为参数，极坐标 \(r=r(\theta)\) 时 \(\mathrm{d}s=\sqrt{r^2+r'^2}\,\mathrm{d}\theta\)。两类的差别全在方向：换方向走，两项同时变号，所以 \(\int_{L^-}=-\int_L\)，起点与终点写反答案就差一个负号。
两类积分能不能互相换算
能，只差一个方向余弦：\(\int_L P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=\int_L\big(P\cos\alpha+Q\cos\beta\big)\,\mathrm{d}s\)，其中 \(\cos\alpha\)、\(\cos\beta\) 是 \(L\) 在 \((x,y)\) 处切向量的方向余弦。因为 \(\mathrm{d}x=\cos\alpha\,\mathrm{d}s\)、\(\mathrm{d}y=\cos\beta\,\mathrm{d}s\)，坐标差就是弧长乘上朝向。
两类积分量的是同一段曲线，第一类只看长度，第二类还算方向，所以换方向时数会变号。做题先看题目给的是 \(\mathrm{d}s\) 还是 \(\mathrm{d}x\)、\(\mathrm{d}y\)，尺子选错后面全错。
三、严格化：边界等于内部
格林那条公式说的就是这件事：绕边界记的账，等于内部逐点累加的账，可要让这句话成为定理，先得规定边界往哪边走。
定理（格林公式）
设 \(D\) 由分段光滑的曲线 \(L\) 围成，\(P\)、\(Q\) 在 \(D\) 上有一阶连续偏导，则有
\[ \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\oint_{L}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y, \]
其中 \(L\) 取正向：沿 \(L\) 前进时 \(D\) 始终在左手边，外边界逆时针，区域有洞时内侧边界顺时针。
先设 \(D\) 既是 X 型又是 Y 型区域，即平行于坐标轴的直线与边界至多交于两点，两条边就可以分别算出来：
\[ \iint_{D}-\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\oint_{L}P\,\mathrm{d}x,\qquad \iint_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\oint_{L}Q\,\mathrm{d}y. \]
第一式对 \(y\) 先积，内层用牛顿-莱布尼茨公式得到上下边界之差，再把 \(x\) 积到另一端，正好凑成沿边界的一圈，第二式把 \(x\)、\(y\) 对调即可。
一般区域用辅助线切成有限个这样的区域，内部那条线从左边看是从下往上，从右边看是从上往下，一条线算两次，一次正一次负，两两抵消，这要求 \(D\) 能切成有限块。
条件是「在 \(D\) 上具有一阶连续偏导数」，范围包括边界：只在内部成立、边界上无定义时公式未必成立，因为分割要在边界上取值。
面积公式：让 P、Q 挑得巧
在格林公式里取 \(P=-y\)、\(Q=x\)，右边被积函数是 2，于是得面积公式 \(A=\frac{1}{2}\oint_{L}x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\)；取 \(P=0\)、\(Q=x\) 则得 \(A=\oint_{L}x\,\mathrm{d}y\)，面积就从二重积分变成了边界上的一圈。
什么时候与路径无关
格林公式还有一半用处：判断积分能不能绕开路径。若每条闭曲线上的积分都是零，从 \(A\) 到 \(B\) 的两条路拼成一圈，相减得零，积分就只由端点决定。
定理（四个等价命题）
\(G\) 是单连通区域，\(P\)、\(Q\) 在 \(G\) 内有一阶连续偏导，则以下四条等价：
(1) \(G\) 内任意分段光滑闭曲线 \(L\) 上，\(\oint_{L}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y=0\)；
(2) \(G\) 内任意两点 \(A\)、\(B\) 之间，\(\int_{A}^{B}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\) 与路径无关；
(3) 存在 \(u(x,y)\) 使 \(\mathrm{d}u=P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\)；
(4) \(G\) 内处处有 \(\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\)。
这四个条件为什么能来回推
按 (1) 到 (4) 绕一圈：(1) 推 (2)，两条路拼成闭曲线，绕一圈为零，两个积分相等；(2) 推 (3)，固定起点 \(M_0\)，令 \(u(M)=\int_{M_0}^{M}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\)，验证两个偏导就是 \(P\)、\(Q\)；(3) 推 (4)，二阶混合偏导相等；(4) 推 (1) 用格林公式，右边恒为零，这一环要求围成的区域整个落在 \(G\) 里。
求原函数的固定做法是走一条折线：
\[ u(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)\,\mathrm{d}x+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)\,\mathrm{d}y. \]第一段水平，第二段竖直：第一段里 \(y_0\) 是常数，求 \(u\) 对 \(y\) 的偏导只能从第二段来，两段各管一项。
单连通在这里有实在的用处，反例是 \(\dfrac{-y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y}{x^2+y^2}\)：挖掉原点的平面上两个偏导处处相等，可绕原点一圈的积分是 \(2\pi\)，两圈是 \(4\pi\)。
四、曲面与场
从曲线抬到曲面，两类积分的区分原封不动重复一遍：一种只量面积，一种还量方向，区别仍只有一个因子，这次是法向量与 \(z\) 轴夹角的余弦。
面积与第一类曲面积分
定理（曲面面积与第一类曲面积分）
设 \(\Sigma\) 由 \(z=z(x,y)\) 给出，在 \(xOy\) 面上的投影为 \(D\)，\(z(x,y)\) 在 \(D\) 上有连续偏导，则曲面面积是
\[ A=\iint_{D}\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. \]
第一类曲面积分给曲面加权：分成小块、每块取一点、函数值乘该块面积再求和取极限，记作 \(\iint_{\Sigma}f\,\mathrm{d}S\)，它与侧无关，\(f\equiv 1\) 时就是面积。
来路与弧长公式一样：切小块，每块面积约等于它在切平面上的投影除以与 \(z\) 轴夹角的余弦，再求和取极限，算的时候把 \(\mathrm{d}S\) 换成 \(\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) 即可。
通量与第二类曲面积分
定义（第二类曲面积分）
\[ \iint_{\Sigma}P\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_{\Sigma}\big(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma\big)\mathrm{d}S, \]
其中 \(\cos\alpha\)、\(\cos\beta\)、\(\cos\gamma\) 是 \(\Sigma\) 在指定一侧的法向量的方向余弦。
它量的是流量：流体以速度 \(\vec F\) 穿过 \(\Sigma\)，单位时间通过的体积是 \(\iint_{\Sigma}\vec F\cdot\vec n\,\mathrm{d}S\)，取另一侧，三个方向余弦全变号，流量也变号。
投到哪个坐标面，正负又怎么定
先看曲面方程写成谁是谁的函数，再投到对应坐标面：\(z=z(x,y)\) 算 \(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) 项，\(x=x(y,z)\) 算 \(\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\) 项；代入被积函数后定号，法向量与坐标轴成锐角取正，成钝角取负。投影重叠的曲面要分片。
高斯公式：把包围面换成体积
定理（高斯公式）
设空间闭区域 \(\Omega\) 由分片光滑闭曲面 \(\Sigma\) 围成，\(P\)、\(Q\)、\(R\) 在 \(\Omega\) 上有一阶连续偏导，则
\[ \iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}v=\oiint_{\Sigma}P\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y, \]
其中 \(\Sigma\) 取外侧。
它与格林公式是同一句话：格林把平面区域的边界降成一维，高斯把空间区域的边界升成二维，被积函数从两个偏导变成三个。高斯 1813 年研究引力时得到的就是这个形式。
斯托克斯公式：把环流换成旋度
定理（斯托克斯公式）
\[ \iint_{\Sigma}\begin{vmatrix}\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z & \mathrm{d}z\,\mathrm{d}x & \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\[2pt] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\[4pt] P & Q & R\end{vmatrix}=\oint_{\Gamma}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y+R\,\mathrm{d}z, \]
其中 \(\Gamma\) 是 \(\Sigma\) 的边界曲线，\(\Gamma\) 的方向与 \(\Sigma\) 的侧符合右手规则。
按第一行展开就是三项之和，第一项是 \(\iint_{\Sigma}\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\)，另两项轮换字母；若 \(\Sigma\) 取 \(xOy\) 面上的一块、法向量朝上，只余第三项，公式就退化成格林公式。
散度、旋度与场的两种性质
散度是每一点新产生了多少，旋度是每一点附近转得多快，都是局部量：小块缩成一点，净流出除以体积的极限是散度；小圈缩成一点，环流除以面积的极限是旋度。
散度和旋度的坐标公式怎么记
\[ \operatorname{div}\vec F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z},\qquad \operatorname{rot}\vec F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right). \]
引入 \(\nabla=\vec i\,\dfrac{\partial}{\partial x}+\vec j\,\dfrac{\partial}{\partial y}+\vec k\,\dfrac{\partial}{\partial z}\) 之后，\(\operatorname{div}\vec F=\nabla\cdot\vec F\)、\(\operatorname{rot}\vec F=\nabla\times\vec F\)，符号长得像内积与叉积，运算规则也一样，所以按内积与叉积去记不会错。
格林、高斯、斯托克斯讲的是同一句话：边界上的累积等于内部的变化之和。格林是一维边界配二维内部，高斯是二维边界配三维内部，斯托克斯是封闭曲线配它张成的曲面，积分形式说整体，微分形式说每一点。
空间里有同一套结论：\(G\) 单连通，\(\vec F=(P,Q,R)\) 有一阶连续偏导，则沿任意闭曲线的环流为零、积分与路径无关、存在 \(u\) 使 \(\vec F=\nabla u\)、\(\operatorname{rot}\vec F=\vec 0\) 同时成立，这样的场叫保守场。
1873 年，牛津
从一道考题到一本书
“A Treatise on Electricity and Magnetism”
麦克斯韦，两卷本，牛津，1873 年；1880 年代经海维赛德改写为向量形式。
斯托克斯从未正式发表以他命名的公式，他在信里写下结果，又把它出成史密斯奖考题，1854 年麦克斯韦是考生之一，二十年后《电磁通论》引用它，名称固定下来。
五、方法手册
曲线积分：三步走
先写曲线的参数式，再把 \(x\)、\(y\)、\(\mathrm{d}s\) 或 \(\mathrm{d}x\)、\(\mathrm{d}y\) 全换掉，最后定上下限：第一类的下限必须小于上限，第二类由起点定下限、终点定上限。
格林公式与高斯公式：先补，再用
边界不封闭时先补一条辅助线接成闭曲线，用格林公式算出闭曲线的积分，再减掉辅助线上的积分，补的线多半取坐标轴上的线段；反向也常用，被积函数若是某个 \(Q_x-P_y\)，就换成边界上的一圈积分。
高斯公式要求曲面封闭，不封闭时照样补面：补一块平面，算出封闭曲面的通量，再扣掉补上的那一块，扣减时注意符号。
六、例题
例 1 计算 \(\oint_{L}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}s\)，其中 \(L\) 是圆周 \(x^2+y^2=a^2\)。
取 \(x=a\cos t\)、\(y=a\sin t\)，\(0\le t\le 2\pi\)，被积函数在整条曲线上恒等于 \(a^2\)，而 \(\mathrm{d}s=\sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t}\,\mathrm{d}t=a\,\mathrm{d}t\)。于是积分为 \(a^2\cdot 2\pi a=2\pi a^3\)。被积函数是常数就不必逐点代入，先认出常数再乘弧长更快。
例 2 用格林公式计算 \(\oint_{L}(2x-y+4)\,\mathrm{d}x+(5y+3x-6)\,\mathrm{d}y\)，\(L\) 是顶点为 \((0,0)\)、\((3,0)\)、\((3,2)\) 的三角形，取正向。
这里 \(P=2x-y+4\)、\(Q=5y+3x-6\)，所以 \(Q_x-P_y=3-(-1)=4\) 是常数，积分等于 \(4\) 乘三角形面积 \(\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3\)，得 \(12\)。沿三条边直接算，斜边还得单独参数化，麻烦得多。
例 3 用高斯公式计算 \(\oiint_{\Sigma}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)，\(\Sigma\) 是球面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 的外侧。
这里 \(P=x\)、\(Q=y\)、\(R=z\)，散度等于 \(3\)，通量等于 \(3\) 乘球体体积 \(\frac{4}{3}\pi a^3\)，得 \(4\pi a^3\)；复核时球面上 \(\vec F\cdot\vec n=a\) 处处相等，乘面积 \(4\pi a^2\) 也是这个数。
七、习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题 5 分钟内
1. 计算 \(\int_{L}(x+y)\,\mathrm{d}s\)，\(L\) 为连接 \(O(0,0)\) 与 \(A(1,1)\) 的直线段。
看答案
取 \(x=t\)、\(y=t\)，\(0\le t\le 1\)，\(\mathrm{d}s=\sqrt2\,\mathrm{d}t\)。积分为 \(\int_0^1 2t\sqrt2\,\mathrm{d}t=\sqrt2\)。检查一下量纲：被积函数是无量纲的，答案是长度，合理。
2. 计算 \(\int_{L}x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\)，\(L\) 为折线 \(O(0,0)\to(1,0)\to(0,1)\)。
看答案
第一段 \(y=0\)、\(\mathrm{d}y=0\)，两项都是零。第二段取 \(x=1-t\)、\(y=t\)，\(t\) 从 \(0\) 到 \(1\)，则 \(\mathrm{d}x=-\mathrm{d}t\)、\(\mathrm{d}y=\mathrm{d}t\)，被积式为 \((1-t)\mathrm{d}t+t\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}t\)，积分得 \(1\)。合计 \(1\)，正好是这条折线围成的三角形面积的两倍。
3. 判断 \(\int_{L}(2xy+3)\,\mathrm{d}x+(x^2-4y)\,\mathrm{d}y\) 是否与路径无关；若无关，求原函数。
看答案
\(P_y=2x\)，\(Q_x=2x\)，在全平面上处处相等，而全平面单连通，故与路径无关。原函数 \(u=x^2y+3x-2y^2\)，验算 \(u_x=2xy+3\)、\(u_y=x^2-4y\) 即可。答案可差一个常数。
4. 用曲线积分求椭圆 \(x=a\cos t\)、\(y=b\sin t\) 围成的面积。
看答案
用 \(A=\frac{1}{2}\oint x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x\)。\(x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x=ab\cos^2t\,\mathrm{d}t+ab\sin^2t\,\mathrm{d}t=ab\,\mathrm{d}t\)，从 \(0\) 积到 \(2\pi\) 得 \(2\pi ab\)，再乘 \(\frac{1}{2}\) 得 \(\pi ab\)。取 \(a=b\) 时退回 \(\pi a^2\)，说明没有算错。
5. 计算 \(\iint_{\Sigma}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+y\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)，\(\Sigma\) 是平面 \(x+y+z=1\) 在第一卦限的部分，取上侧。
看答案
法向量为 \(\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)\)，被积式化成 \(\frac{1}{\sqrt3}(x+y+z)\,\mathrm{d}S=\frac{1}{\sqrt3}\mathrm{d}S\)。三角形三顶点为 \((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)，边长 \(\sqrt2\)，面积 \(\frac{\sqrt3}{2}\)。积分等于 \(\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{1}{2}\)。
B 档 综合题，接近考试难度
6. 用格林公式计算 \(\int_{L}(e^x\sin y-2y)\,\mathrm{d}x+(e^x\cos y-2)\,\mathrm{d}y\)，\(L\) 为上半圆周 \(y=\sqrt{a^2-x^2}\) 上从 \(A(a,0)\) 到 \(B(-a,0)\) 的那段弧。
看答案
补上 \(x\) 轴上从 \(B\) 到 \(A\) 的线段，与 \(L\) 合成逆时针的闭曲线，围成上半圆盘。\(Q_x-P_y=e^x\cos y-(e^x\cos y-2)=2\)，闭曲线上的积分为 \(2\cdot\frac{\pi a^2}{2}=\pi a^2\)。补的那段上 \(y=0\)、\(\mathrm{d}y=0\)，而 \(P(x,0)=0\)，积分为零。所以原积分等于 \(\pi a^2\)。要点是补线段的积分恰好为零，这需要事先看出来。
7. 用高斯公式计算 \(\oiint_{\Sigma}x^3\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z+y^3\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x+z^3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)，\(\Sigma\) 为球面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 的外侧。
看答案
散度为 \(3(x^2+y^2+z^2)\)。用球坐标，\(\mathrm{d}v=r^2\sin\varphi\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta\)，被积函数中的 \(x^2+y^2+z^2=r^2\)，于是积分为 \(3\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi\int_0^{a}r^4\,\mathrm{d}r=3\cdot 4\pi\cdot\frac{a^5}{5}=\frac{12\pi a^5}{5}\)。两个角度积分合起来是 \(4\pi\)，这一步若只写 \(\pi\) 就漏了一半。
8. 用斯托克斯公式计算 \(\oint_{\Gamma}(z-y)\,\mathrm{d}x+(x-z)\,\mathrm{d}y+(x-y)\,\mathrm{d}z\)，\(\Gamma\) 为平面 \(x+y+z=1\) 与三个坐标面的交线，方向与该平面上侧符合右手规则。
看答案
\(P=z-y\)、\(Q=x-z\)、\(R=x-y\)。逐项算：\(R_y-Q_z=-1+1=0\)，\(P_z-R_x=1-1=0\)，\(Q_x-P_y=1+1=2\)，故旋度为 \((0,0,2)\)。\(\Sigma\) 取平面的三角形部分，单位法向量 \(\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)\)，点积为 \(\frac{2}{\sqrt3}\)，面积 \(\frac{\sqrt3}{2}\)，积分等于 \(1\)。旋度只有 \(z\) 分量，说明这个场的旋转轴垂直于 \(xOy\) 面。
9. 判断 \(\vec F=(2xyz,\ x^2z,\ x^2y)\) 是否为保守场；若是，求势函数。
看答案
三个分量轮换取偏导后两两相消：\(R_y-Q_z=x^2-x^2=0\)，\(P_z-R_x=2xy-2xy=0\)，\(Q_x-P_y=2xz-2xz=0\)，故 \(\operatorname{rot}\vec F=\vec 0\)。全空间单连通，所以是保守场。由 \(u_x=2xyz\) 得 \(u=x^2yz+\varphi(y,z)\)，再用 \(u_y=x^2z\) 与 \(u_z=x^2y\) 定出 \(\varphi\) 为常数，故 \(u=x^2yz\)。这题的关键是三个偏导都要验，只验一个不算证明。
C 档 拓展与历史原题
10. （格林，1828）用 \(A=\oint_{L}x\,\mathrm{d}y\) 求椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 的面积，并说明这个公式为什么对任何分段光滑的简单闭曲线都成立。
看答案
参数化后 \(\oint x\,\mathrm{d}y=\int_0^{2\pi}ab\cos^2t\,\mathrm{d}t=\pi ab\)。对任何分段光滑的简单闭曲线都对，因为格林公式里取 \(P=0\)、\(Q=x\) 时 \(Q_x-P_y=1\)，右边就是 \(\iint_D\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)。格林 1828 年的小册子里最先做的就是这类换算。
11. （高斯，1813）设 \(\Omega\) 是不含原点的闭区域，\(\Sigma\) 为其边界的外侧，\(\vec r=(x,y,z)\)、\(r=|\vec r|\)。证明 \(\iint_{\Sigma}\frac{\vec r\cdot\vec n}{r^3}\,\mathrm{d}S=0\)，并说明当 \(\Omega\) 含原点时这个积分等于 \(4\pi\)。
看答案
\(\vec F=\vec r/r^3\) 的散度是 \(\frac{3}{r^3}-\frac{3r^2}{r^5}=0\)，在 \(r\ne 0\) 处恒为零，用高斯公式即得积分为零。含原点时先挖去半径 \(\varepsilon\) 的小球，剩下的区域上散度仍为零，原积分等于小球面上的积分，而那里 \(\vec r\cdot\vec n/r^3=1/\varepsilon^2\)，面积 \(4\pi\varepsilon^2\)，乘积 \(4\pi\) 与 \(\varepsilon\) 无关。高斯 1813 年研究引力时得到的就是这个形式。
12. （斯托克斯，1854 年考题）设 \(\Sigma\) 是区域 \(D\) 上方的曲面片 \(z=z(x,y)\)，\(\Gamma\) 是它的边界。用斯托克斯公式把 \(\oint_{\Gamma}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y\) 化成 \(D\) 上的二重积分，并说明格林公式是它的特例。
看答案
取 \(R=0\) 并假定 \(P\)、\(Q\) 与 \(z\) 无关，旋度只剩第三分量 \(Q_x-P_y\)，右边化成 \(\iint_{\Sigma}(Q_x-P_y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)，投影到 \(D\) 上就是 \(\iint_D(Q_x-P_y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)。与 \(z\) 无关这个假定不能省，否则曲面上的偏导与平面上的偏导不是一回事。方向也要对上：\(\Gamma\) 的正向由 \(\Sigma\) 的法向按右手规则定出。
思考题 不设标准答案，只给提示
13. 格林公式要求 \(P\)、\(Q\) 在闭区域上（包括边界）有一阶连续偏导。若只在内部成立、在边界上没有定义，公式还能用吗？
看提示
把边界换成区域内一条贴近边界的曲线，在缩小的区域上用公式，再让这条曲线逼近边界。能否取极限，取决于被积函数在边界附近是否有界。想一想 \(P=1/\sqrt{1-x^2-y^2}\) 在单位圆盘上的情形。
14. 第一类曲线积分与方向无关，第二类换方向变号。如果把第一类也定义成有向的，会失去什么？
看提示
弧长元素必须非负，「分割、求和、取极限」才可能收敛到一个与分法无关的数。若允许 \(\Delta s_i\) 取负，同样一条曲线按不同分法就能得到不同答案，「长度」这个概念本身就散了。
15. 四个等价命题里，「单连通」出现在哪一环？删掉它，哪几条仍然成立？
看提示
从 (4) 推 (1) 用了格林公式，而闭曲线围成的区域必须落在 \(G\) 里，断的就是这一环。用 \(\frac{-y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y}{x^2+y^2}\) 检验：在挖掉原点的平面上 (4) 成立而 (1) 不成立，说明 (1)、(2) 与 (4) 不再等价。
延伸阅读
- 同济大学数学系《高等数学》第七版下册，第十一章。
- 格林《论数学分析在电磁理论中的应用》，诺丁汉，1828 年。
- 麦克斯韦《电磁通论》，牛津，1873 年，第一册关于向量与场的几节。
- 克莱因《古今数学思想》，第四十章，十九世纪的分析与场论。