十六世纪的意大利，解三次方程是数学家吃饭的本事。卡丹在《大术》里公布了一个公式，任何形如 \(x^3=px+q\) 的方程都能套进去。他自己试了一道题：\(x^3=15x+4\)，代进公式，中间步骤里冒出 \(\sqrt{-121}\)。按当时的规矩，负数不能开平方，这道题就卡在这里了。可他硬着头皮把 \(\sqrt{-121}\) 当成数往下算，最后得出了正确答案 \(x=4\)。
一、三次方程逼出来的数
卡丹在书里写下了这道题，说这种数是「诡辩式地」算出来的，因为负数没有平方根；这句话把接下来三百年的处境说清楚了：虚数是解方程时绕不过去的副产品，你能用它算出正确结果，却说不清它是什么。
邦贝利 1572 年在《代数》里往前走了一步。他把这种数当成正常的对象，定出加减乘除的规则，还发现 \(\sqrt{-121}\) 那样的式子算到最后会自己消掉，留下一个实数。这一步的意义在于：只要运算规则自洽，中间出现什么都不要紧。
1545 年，米兰
卡丹写下「诡辩式地」
「既然负数没有平方根，就应该把这项设为不可能，可是……我们却诡辩式地求得了答案。」
卡丹《大术》，第 37 章
这句话后来被当成虚数诞生的标志。笛卡尔 1637 年才在《几何学》里造出 imaginary 这个词，语气并不友善：「想象中的根」。符号 \(i\) 则要等到欧拉 1777 年才出现，他一直用得很犹豫。
真正的疑问在于，\(i^2=-1\) 并没有违反什么逻辑。实数里之所以说负数不能开平方，是因为实数的平方永远非负，这是实数轴的性质，不是逻辑的禁令；换一个更大的数系，这条性质自然就不必保留。复数就是这样一种数系：加减乘除与三条运算律全部照旧，被拿掉的只有平方非负这一条。
为什么不矛盾反而是实数轴太窄
把数系从实数扩到复数，加法乘法、交换律结合律分配律、除法（分母非零）全部保留，只有「大小」没了。复数不能比大小，因为它不在一条直线上，没法给一个相协调的排序。丢掉比较大小的能力，换来了平方根随便开，这笔交易很划算。
二、从符号到点
转折发生在 1799 年前后，几乎同时出现在三个人身上：丹麦测量员韦塞尔用平面上的向量表示复数、把乘法解释成旋转；巴黎的簿记员阿尔冈画出了后来以他命名的阿尔冈图；高斯则把这件事确立为标准说法。
高斯的贡献在于记法和信任：1831 年他正式使用 \(a+bi\) 的写法，把这个平面称为复数平面，以他的声望，复数从此不再是需要辩护的东西。
定义（复数、实部与虚部）
形如 \(z=a+bi\) 的数称复数，其中 \(a,b\) 是实数，\(i^2=-1\)。\(a\) 叫实部，记作 \(\operatorname{Re}z\)；\(b\) 叫虚部，记作 \(\operatorname{Im}z\)。两个复数相等当且仅当实部与虚部分别相等。
复数集合记作 \(\mathbb{C}\)，作为集合它与实平面 \(\mathbb{R}^2\) 一一对应，但多了一套乘法，所以它不只是平面上的点，而是一个可以算的数系。
三、运算与它的几何意思
加减法跟向量一样，对应坐标分别相加；乘法不一样，\((a+bi)(c+di)=ac+bd\,i^2+(ad+bc)i\)，把 \(i^2\) 换成 \(-1\)，得 \((ac-bd)+(ad+bc)i\)。这条公式看着繁琐，配上极坐标就变得极为简洁。
定理（乘法的几何意义）
设 \(z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)\)，\(z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\)，则 \(z_1z_2=r_1r_2\left[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right]\)。也就是说，两个复数相乘，模相乘、辐角相加。
由此可以推出一条几乎全部的几何直觉：乘一个模为 1 的复数，就是把平面上的图形整体旋转。乘 \(i\) 是最简单的情形，相当于逆时针转 90 度，因为 \(i\) 的模是 1，辐角是 \(\pi/2\)。转两次就是 \(i^2=-1\)，把点送到关于原点的对称位置。
除法是乘法的逆运算，模相除、辐角相减。要注意辐角不唯一：同一个点可以写成 \(\theta+2k\pi\)，这是复变函数里许多麻烦的源头。
模有一个常用性质值得单独记下来：\(|z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|\)，等号只在两个向量同向时成立。几何上就是三角形两边之和不小于第三边，所以叫三角不等式。它被用来估计复变函数的大小，第四章判断级数收敛、第五章估计积分，用的都是这一条。
定义（模、辐角、共轭）
设 \(z=a+bi\)。模 \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)；辐角 \(\theta\) 满足 \(a=|z|\cos\theta\)，\(b=|z|\sin\theta\)，它的主值记作 \(\arg z\)，通常取 \((-\pi,\pi]\)；共轭 \(\bar z=a-bi\)。
辐角的多值到底麻烦在哪
点 z 在平面上只有一个，可它的辐角有无限多个，彼此差 \(2\pi\) 的整数倍。写成 \(\theta+2k\pi\) 时一切安全，可一旦开方或者取对数，不同的 k 会给出不同的结果，而且都是对的。第五章讲多值函数时会再回到这一点。
四、欧拉公式
把指数函数、正弦余弦和复数连成一体的，是欧拉 1748 年给出的一个等式。它的证明有几条路，最直接的一条是把 \(e^{i\theta}\) 按泰勒级数展开，再把实部和虚部分开。
定理（欧拉公式）
对任意实数 \(\theta\)，有 \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)。由此复数可以写成指数式 \(z=re^{i\theta}\)，乘法就是 \(r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)。
欧拉公式有几个常用推论：取 \(\theta=\pi\) 得 \(e^{i\pi}+1=0\)，五个常数挤在一个式子里；把 \(\theta\) 换成 \(n\theta\) 得到棣莫弗公式 \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)，开方、求根都靠它。指数式还有一个好处：乘除加减指数的运算变成加减，算 \(z^{100}\) 时尤其明显。
指数式真正的好处是把复数的运算全部归到指数的运算上：乘法是模相乘、角相加，除法是模相除、角相减，乘方是模的幂、角乘 n，开方是模开 n 次、角除以 n 再配上 \(n\) 个不同的起点。四条规则其实是同一条，它们都在说模与辐角各管各的。后面讲复变函数时，凡是能写成指数式的量，先写指数式。
欧拉公式怎么从级数得到
把 \(e^{x}\)、\(\cos x\)、\(\sin x\) 各展成麦克劳林级数，代入 \(x=i\theta\)，利用 \(i^2=-1\)、\(i^3=-i\)、\(i^4=1\) 循环，实部正好是余弦的级数，虚部正好是正弦的级数。这一步在十九世纪才被认为严格，欧拉当年是靠形式演算得到的。
五、复球面
复平面缺一个「无穷远」。放大到很大时，平面上的点向四个方向散开，没有一个统一的地方可去。黎曼 1857 年给出的办法是把平面卷成一个球：在原点放一个球，从北极向南极投影，平面上的每个点都落在球面上一点，而球面比平面多出的那个点，就是北极。
定义（扩充复平面）
把复平面加上一个无穷远点 \(\infty\)，得到扩充复平面 \(\mathbb{C}\cup\{\infty\}\)。它与复球面一一对应，球极投影把平面上的点映到球面上除北极外的点。
这件事的作用不止是让函数在无穷远处也有定义：分式线性变换、留数在无穷远点的行为、整函数的分类，都要在复球面上才说得干净。第六章讲分式线性变换时，你会看到它正好是复球面上的旋转。
具体做法是：把球放在平面上，南极与原点重合，从北极往球面上的点引一条直线，延长后与平面相交于一点，这个交点就是该点的像。原点映到南极，离原点越远的点映到越靠近北极的位置，所以平面上向任何方向走到很远，在球面上都挤向同一个北极。用这套对应，「趋于无穷」就不再是分别讨论四个方向，而是与讨论普通点一样，只看它是否靠近北极。
复平面还有一个实数域没有的好处：方程一定有解。高斯 1799 年的博士论文证明了代数基本定理，任何一个 \(n\) 次多项式方程在复数里恰好有 \(n\) 个根（重根按重数算）。实数域里 \(x^2+1=0\) 就没有根，复数域里不但有，而且个数刚好。这也是「复数」这个名字的讽刺之处：它并不比实数更虚，只是更大。
怎么算
- 加减用直角式，乘除用指数式。这是全章最实用的一条经验。
- 先看辐角落在哪一象限。由 \(\tan\theta=b/a\) 求辐角时，一定要回到点所在的位置判断，不然会差 \(\pi\)。
- 共轭是常用工具。求模、把分母实数化、验证一个数是不是实数，都靠乘共轭。
- 高次幂先化成指数式。直接用棣莫弗公式，比连乘省事得多。
- 开方要写全。\(n\) 次方根有 \(n\) 个，均匀分布在以原点为圆心的圆上，间隔 \(2\pi/n\)。
分母实数化的标准做法
算 \(\dfrac{a+bi}{c+di}\) 时，上下同乘 \(c-di\)，分母变成 \(c^2+d^2\)，分子乘开即可。这与微积分里给根式分母有理化是同一招，都是把不好处理的部分乘成实数。
例题
例 1 计算 \((3+2i)(1-4i)\)，并求它的模。
乘开得 \(3-12i+2i-8i^2=3-10i+8=11-10i\)。模为 \(\sqrt{121+100}=\sqrt{221}\)。用模相乘验证：\(|3+2i|=\sqrt{13}\)，\(|1-4i|=\sqrt{17}\)，乘积的模是 \(\sqrt{221}\)，一致。
例 2 求 \((1+i)^{10}\)。
写成指数式：\(1+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4}\)，于是 \((1+i)^{10}=(\sqrt2)^{10}e^{i10\pi/4}=32e^{i5\pi/2}=32e^{i\pi/2}=32i\)。若硬乘十次，麻烦不止十倍。
例 3 解方程 \(z^3=1\)，并在复平面上说明三个根的位置。
\(1=e^{i2k\pi}\)，取三次方根得 \(z=e^{i2k\pi/3}\)，\(k=0,1,2\)，即 \(1\)、\(-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i\)、\(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt3}{2}i\)。三点在单位圆上均匀分布，相邻两点与原点成的角都是 \(120\) 度。
习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题五分钟内
1. 计算 \((2-i)(3+2i)\)。
看答案
乘开得 \(6+4i-3i-2i^2=6+i+2=8+i\)。
2. 求 \(z=-1+\sqrt3 i\) 的模与主辐角。
看答案
模为 \(\sqrt{1+3}=2\)。点在第二象限，\(\tan\theta=-\sqrt3\)，故主辐角 \(\theta=2\pi/3\)。
3. 把 \(\dfrac{1}{1+i}\) 写成 \(a+bi\)。
看答案
上下同乘 \(1-i\)，得 \(\dfrac{1-i}{2}=\dfrac12-\dfrac12 i\)。
4. 计算 \(|3+4i|^2\) 与 \((3+4i)(3-4i)\)。
看答案
模为 5，平方 25；共轭相乘得 \(9+16=25\)。两者相等，这正是 \(z\bar z=|z|^2\)。
5. 求 \(z^2=-4\) 的全部根。
看答案
\(-4=4e^{i\pi}\)，开方得 \(2e^{i\pi/2}=2i\) 与 \(2e^{i3\pi/2}=-2i\)。
6. 说明 \(\overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2\) 为什么成立。
看答案
用指数式看最清楚：乘法让模相乘、辐角相加，共轭把辐角变号。两边都等于「模相乘、辐角和的相反数」，所以相等。
B 档 综合题，接近期末与考研难度
1. 证明 \(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)\)，并说明它的几何意义。
看答案
把左边看成 \((z_1+z_2)(\bar z_1+\bar z_2)+(z_1-z_2)(\bar z_1-\bar z_2)\)，展开后交叉项抵消，剩下 \(2|z_1|^2+2|z_2|^2\)。几何上是平行四边形两条对角线平方和等于四条边平方和。
2. 求 \((\sqrt3 i-1)^{6}\)。
看答案
\(-1+\sqrt3 i=2e^{i2\pi/3}\)，六次方得 \(2^6e^{i4\pi}=64\)。
3. 求 \(z^4+16=0\) 的四个根，并说明它们的几何位置。
看答案
\(z^4=-16=16e^{i(\pi+2k\pi)}\)，四根为 \(2e^{i(\pi+2k\pi)/4}\)，模都是 2，辐角为 \(\pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4\)。落在半径 2 的圆上，构成一个正方形。
4. 用棣莫弗公式把 \(\cos 3\theta\) 展开成 \(\cos\theta\) 的多项式。
看答案
由 \((\cos\theta+i\sin\theta)^3\) 展开取实部：\(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta\)，再用 \(\sin^2=1-\cos^2\) 得 \(4\cos^3\theta-3\cos\theta\)。
C 档 拓展与历史原题
1.（卡丹，1545）用公式解 \(x^3=15x+4\)，说明中间出现的 \(\sqrt{-121}\) 最后如何消掉。
看答案
套公式得 \(x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}\)。注意 \(2+11i=(2+i)^3\)，所以两项分别是 \(2+i\) 与 \(2-i\)，相加得 4。虚部正好抵消，留下一根实根。
2. 证明复数不能像实数那样定义全序：不存在一个排序，使任意两数可比，且加法乘法都保序。
看答案
设 \(i>0\)，两边乘 \(i\) 得 \(-1>0\)，与 \(1>0\) 矛盾（两者相加应为正）；设 \(i \lt 0\)，乘 \(i\) 不等号反向得 \(-1>0\)，同样矛盾。所以复数只有模，没有大小。
3.（欧拉，1748）用泰勒级数推出 \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)。
看答案
把三个函数的级数写出来，代入 \(i\theta\) 后按 \(i\) 的幂次分组，偶数项凑成余弦的级数、奇数项凑成 \(i\) 乘正弦的级数。要说明重排是合法的，需要级数绝对收敛，这一步在十九世纪才补上。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 为什么「乘 i 是旋转」这件事，用坐标公式很难看出来，用极坐标一眼就能看出。
看提示
坐标式 \((a+bi)(0+1i)=-b+ai\) 只是把两个坐标换了个位置再变号，看不出几何。极坐标把点拆成「离原点多远」和「朝哪个方向」两件事，乘法恰好一件管缩放一件管转，各管各的。
2. 复球面上，北极对应平面上什么？平面上的直线在球面上是什么？
看提示
北极对应无穷远点。平面上每个方向都通向同一个北极，所以平面上的「方向」在球面上全部挤在一点附近。平面上的直线投影到球面是一族过北极的圆，这也解释了为什么分式线性变换把直线与圆当成同一类东西。
3. 虚数被接受了三百年才获得几何解释，为什么数学可以先有算法后有对象？
看提示
因为算法只需要自洽，不需要解释。只要规则不导出矛盾，中间对象就可以当符号用，邦贝利就是这样干的。几何解释来得晚，作用不是让计算成立，而是让它变得可以想象，从而能推广。
延伸阅读
- 钟玉泉《复变函数论》第四版，第一章。本章记号与例题口径以这本为准。
- 卡丹《大术》第 37 章，英译本可查，看他自己怎么写那道三次方程。
- 莫里斯·克莱因《古今数学思想》，第一册关于复数与代数方程的部分。
- Tristan Needham, Visual Complex Analysis, 第一章。把复数运算当几何变换讲，图比本书还多。