第一章把复数搬到了平面上，每个 \(z\) 都成了平面上的一个点。接下来的问题是：在这样的平面上怎么求导。实函数在一点可导，只看左右两个方向，复变函数的差商却要接受无穷多个方向的检查，而多出来的条件只是一对偏微分方程。1752 年达朗贝尔在流体力学里已经写出了这对式子。
一、复变函数与它的极限
给定点集 \(D\)，给 \(D\) 里每个点 \(z\) 配一个复数 \(w\)，这个对应就叫 \(D\) 上的复变函数，记作 \(w=f(z)\)。把 \(z=x+iy\) 与 \(w=u+iv\) 摊开，一个复变函数就变成两个二元实函数 \(u(x,y)\) 与 \(v(x,y)\)，本章的判别条件最后都要落回这两个实函数身上。
点集里最常用的是区域：它是开集，集合里每个点都带着一个足够小的圆盘，圆盘整个落在集合内；它连通，集合里任意两点都能用一条完全落在集合内的折线连起来。区域添上边界叫闭区域，能被一个圆盘装下的叫有界区域。
极限的写法与实函数一致，只是 \(z\to z_0\) 表示 \(z\) 从平面上任何方向、沿任何路径靠近 \(z_0\)。要让 \(\lim_{z\to z_0}f(z)=A\) 成立，就得让 \(z\) 无论走哪条路靠近时 \(f(z)\) 都往 \(A\) 跑，有一条路跑偏，极限就不存在，连续与可导都从这个约定接下去。
定义（复变函数、极限与连续）
设 \(D\) 是复平面上的点集，若对 \(D\) 内每个 \(z\)，按某种法则有一个确定的复数 \(w\) 与之对应，则称 \(w\) 是 \(D\) 上的复变函数，记作 \(w=f(z)\)，\(D\) 称为定义域。若 \(\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)\)，称 \(f\) 在 \(z_0\) 连续；在区域 \(D\) 内处处连续，称 \(f\) 是 \(D\) 内的连续函数。
二、导数：无穷多个方向给出同一个数
设 \(f\) 在 \(z_0\) 的某个邻域内有定义，如果差商 \(\dfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\) 当 \(\Delta z\to 0\) 时趋于一个确定的复数，就说 \(f\) 在 \(z_0\) 可导，这个极限记作 \(f'(z_0)\)。式子的外形与实函数逐字相同，可 \(\Delta z\) 是复数，它能从无穷多个方向、沿无穷多条曲线奔向 0。
定义（导数）
设 \(w=f(z)\) 在 \(z_0\) 的某邻域内有定义，若极限 \(\lim_{\Delta z\to 0}\dfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\) 存在，则称 \(f\) 在 \(z_0\) 可导，该极限称为 \(f\) 在 \(z_0\) 的导数，记作 \(f'(z_0)\) 或 \(\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}\)。
这一条差别带来的后果很大：实函数在 \(x_0\) 可导，只要求从左、右两个方向算出的差商趋于同一个数；复变函数的差商要在每一条路径上给出同一个极限，方向多到没法逐个检查。加在复可导身上的条件因此重得多，回报也大得多：只要可导，就自动可以求无穷多次导，还能在邻域内展成幂级数，这两件事在第三章与第四章分别兑现。
拿 \(f(z)=\bar z\) 试一下就看得出强在哪里。\(\Delta z\) 取实数 \(h\) 时，差商是 \(\dfrac{\bar z_0+h-\bar z_0}{h}=1\)；\(\Delta z\) 取纯虚数 \(ih\) 时，差商是 \(\dfrac{\bar z_0-ih-\bar z_0}{ih}=-1\)。两条路给出 1 与 \(-1\)，极限不存在，所以 \(\bar z\) 在平面上任何一点都不可导，尽管它只是把点上下翻了一下。
可导一定连续，反过来不成立，这一点与实函数相同，证明只用一句：由可导的定义得 \(\Delta w=f'(z_0)\Delta z+o(\Delta z)\)，\(\Delta z\to 0\) 时 \(\Delta w\to 0\)。复平面上连续却不可导的函数很多，前面的 \(\bar z\) 是一例，\(|z|^2\) 也是，后者的可导点只剩原点一个。
差商为什么不能只沿一条直线趋于 0
可导要求所有路径给出同一个极限，所以判断可导时不能只看一条直线。反过来判断不可导很省事：找到两条路径给出不同的结果就够了，\(\bar z\) 用实轴与虚轴两条路就判完了。第三章估积分、第四章判级数，同一个挑两条路的做法还会再用。
三、柯西-黎曼方程
复可导这么苛刻，总得有个能动手的判别法。柯西与黎曼给出的办法是把条件翻译成偏导数：把 \(f\) 拆成 \(u+iv\)，可导就等价于 \(u,v\) 满足一对偏微分方程，四个偏导之间只差两条等式。
定理（可导的充要条件）
设 \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) 在 \(z=x+iy\) 的某邻域内有定义，则 \(f\) 在 \(z\) 可导的充要条件是：\(u,v\) 在该点可微，且满足 \(u_x=v_y\) 与 \(u_y=-v_x\)。这时 \(f'(z)=u_x+iv_x=v_y-iu_y\)。
这两条方程叫柯西-黎曼方程，简称 CR 方程。它的用处不止判别：由它可以从 \(u\) 反过来求 \(v\)；把 \(f'\) 的两种写法再求一次导，还能推出 \(u,v\) 都满足拉普拉斯方程，本章后面每一节都绕着这两条式子转。
CR 方程有一个很好看的几何解释。\(f\) 在一点附近的线性近似是一个实矩阵，CR 方程让它的两行正好是 \((a,-b)\) 与 \((b,a)\)，其中 \(a=u_x\)、\(b=v_x\)，整体相当于乘上复数 \(a+ib\)。乘复数在平面上只做两件事：把长度乘上 \(\sqrt{a^2+b^2}\)，把方向转动 \(\arctan(b/a)\)，图形之间的夹角一律不动。
图上过 \(z_0\) 的两条坐标曲线映过去还是两条曲线，交角仍是直角，两个切向量的长度同乘 \(|f'(z_0)|\)，方向同转 \(\arg f'(z_0)\)。这是解析映射「保角」的来源，第六章讲共形映射时把它当成主角。要留意 \(f'(z_0)\neq 0\) 这个前提，导数等于零时角度会塌陷，夹角不再保持。
1752 年，巴黎
流体里的那对方程
「要使 \(p\,\mathrm{d}x+q\,\mathrm{d}y\) 成为某个量的全微分，必须 \(\partial p/\partial y=\partial q/\partial x\)。」
欧拉 1755 年《流体运动理论续研究》，中译
达朗贝尔 1752 年在《流体阻力新论》里把无旋与不可压写成了 \(u_x=v_y\)、\(u_y=-v_x\)，欧拉 1755 年用全微分条件又推了一遍，两个人都只把它当作流体力学的工具。柯西 1814 年提交、1825 年发表的积分论系统使用了它，方程从此挂上柯西与黎曼的名字。
CR 方程拿来判别极快。\(f(z)=z^2\) 的 \(u=x^2-y^2\)、\(v=2xy\) 让两条方程处处成立，配上可微性就处处可导，\(f'(z)=u_x+iv_x=2x+2iy=2z\)，与用定义算出来的结果对得上；同一个办法用在 \(\bar z\) 上，\(u_x=1\) 与 \(v_y=-1\) 第一条就不成立，全平面不可导。
CR 方程的必要性是怎么从差商推出来的
沿实轴走，\(\Delta z=h\)，差商的实部趋于 \(u_x\)、虚部趋于 \(v_x\)；沿虚轴走，\(\Delta z=ik\)，实部趋于 \(v_y\)、虚部趋于 \(-u_y\)。可导要求两条路给出同一个数，于是 \(u_x=v_y\)、\(v_x=-u_y\)。充分性要用 \(u,v\) 可微的一阶展开，把差商凑成 \(u_x+iv_x\) 加一个趋于零的小量。
四、解析函数
一点可导还不够用，因为一点的性质管不住附近。复分析里真正有用的对象要求更强：\(f\) 在 \(z_0\) 的某个邻域内处处可导，这时才说 \(f\) 在 \(z_0\) 解析。区域 \(D\) 内每点都解析，就说 \(f\) 是 \(D\) 内的解析函数；整个复平面上解析的函数叫整函数。
定义（解析函数、奇点、整函数）
若 \(f\) 在 \(z_0\) 的某个邻域内处处可导，则称 \(f\) 在 \(z_0\) 解析，\(z_0\) 称为 \(f\) 的解析点，否则称 \(z_0\) 为 \(f\) 的奇点。若 \(f\) 在区域 \(D\) 内处处解析，称 \(f\) 是 \(D\) 内的解析函数；在整个复平面上解析的函数称为整函数。
一点可导与解析的差别，用 \(f(z)=|z|^2\) 看得最清楚。这里 \(u=x^2+y^2\)、\(v=0\)，CR 方程要求 \(2x=0\) 且 \(2y=0\)，只有原点满足，所以 \(f\) 只在 \(z=0\) 可导，此时 \(f'(0)=0\)。原点周围一圈全是不可导的点，于是这个函数在任何点都不解析。
1851 年，哥廷根
把「解析」当成出发点
「我把复变函数定义为一个规律，它给这个变量的每一个值指定另一个变量的一个确定的值。」
黎曼博士论文《单复变函数的一般理论基础》，1851 年
柯西从积分出发，黎曼从对应出发。1851 年这篇博士论文先把函数当成一个对应规律，再把可导性加上去，解析函数从此是几何对象，映射、保角、黎曼面都从这个视角长出来。柯西的积分论比它早 26 年，两条线索在第三章合流。
常用解析函数记住几个就够用：多项式在整个平面上解析，有理函数在分母不为零处解析，\(z^n\)、\(e^z\)、\(\sin z\)、\(\cos z\) 都是整函数。解析函数的和、差、积、商（分母非零）与复合仍然解析，求导法则照抄实函数的：\((z^n)'=nz^{n-1}\)，\((fg)'=f'g+fg'\)，商的导数、链式法则也一样。
图里的小方格过一遍 \(z^2\)，格子被弯了，四个角一个没塌，因为解析映射在局部只做旋转与伸缩，模拟平面电场与做地图投影靠的就是这一条。
解析函数在一点附近做的事，就是把平面转一下、按同一个倍数放大，角度一个不动。
五、调和函数
解析函数的实部与虚部很规矩，各自满足一个二阶方程。把 CR 的第一条对 \(x\) 求导、第二条对 \(y\) 求导，两式相加得 \(u_{xx}+u_{yy}=0\)；把第一条对 \(y\) 求导、第二条对 \(x\) 求导再相减，得到 \(v\) 的同一个方程。满足这个方程的函数叫调和函数，流体里的速度势、静电场里的电势都归它管。
定义与定理（调和函数、共轭调和函数）
若 \(u(x,y)\) 在区域 \(D\) 内二阶连续可偏导且满足 \(u_{xx}+u_{yy}=0\)，称 \(u\) 为 \(D\) 内的调和函数。解析函数 \(f=u+iv\) 的实部与虚部都是调和函数；若 \(u,v\) 都调和且满足 CR 方程，称 \(v\) 是 \(u\) 的共轭调和函数，此时 \(u+iv\) 在 \(D\) 内解析。
反过来也补得起来：在单连通区域里给定调和函数 \(u\)，总能找到它的共轭调和函数 \(v\)，使 \(u+iv\) 在那里解析，求法是把 CR 方程当成积分条件。\(v\) 只确定到相差一个实常数，常数不影响导数，这跟不定积分差一个常数是同一回事。
单连通这个条件不能省。区域里有一个洞的时候，绕洞一圈的积分可能回不到出发值，\(u\) 就凑不出单值的 \(v\)。典型例子是 \(u=\ln|z|\) 在去掉原点的圆环里，它自己调和，共轭调和函数却是多值的辐角 \(\arg z\)，绕原点一圈多出 \(2\pi\)，下一节的多值对数出于同一个原因。
解析函数的实部虚部为什么一定是调和函数
上面把 \(f'\) 的两种写法再求一次导时，用到了 \(u,v\) 有二阶连续偏导。第二章只能先假设这一条，严格证明要到第三章：柯西积分公式推出解析函数有任意阶导数，二阶偏导的存在与连续就自动有了。
六、对数函数与它的分支
指数函数 \(e^z\) 是单值的，把它倒过来解 \(e^w=z\)，麻烦立刻出现。写 \(w=u+iv\)，则 \(e^w=e^u(\cos v+i\sin v)\)，要它等于 \(z\)，就得 \(e^u=|z|\)，也就是 \(u=\ln|z|\)，而 \(v\) 只要是 \(z\) 的一个辐角就行。辐角有无限多个，彼此差 \(2\pi\) 的整数倍，所以 \(w\) 也有无限多个。
定义（对数函数、主值与分支）
满足 \(e^w=z\)（\(z\neq 0\)）的一切 \(w\) 称为 \(z\) 的对数，记作 \(Ln\,z=\ln|z|+i(\arg z+2k\pi)\)，\(k=0,\pm1,\pm2,\dots\)，它是多值函数。取辐角主值 \(\arg z\in(-\pi,\pi]\) 得到的单值支称为对数的主值，记作 \(\ln z=\ln|z|+i\arg z\)。
把辐角限制在主值范围里得到的是主值分支，它在去掉原点和负实轴的区域内解析，导数是 \(1/z\)。换一个区域、换一个连续的辐角就是另一支，各支之间差 \(2\pi i\) 的整数倍，要它单值又要解析，只能先把平面割开。
绕原点转一圈的后果值得单独说：\(z\) 回到原处，\(\ln|z|\) 一点没变，辐角却加了 \(2\pi\)，函数值抬高 \(2\pi i\)。所以去心平面上取不到单值连续的 \(Ln\,z\)，只能一支一支地取，每一支都挡着一条割线。
对数的主值在负实轴上为什么断开
主值把辐角压进 \((-\pi,\pi]\)，负实轴上方的点辐角接近 \(\pi\)，下方的点辐角接近 \(-\pi\)，两侧相差 \(2\pi\)，函数值的虚部从 \(\pi\) 直接跳到 \(-\pi\)。所以负实轴必须从定义域里挖掉，主值分支才连得上。
七、指数函数与复数三角函数
有了对数，指数函数的性质才好交代。\(e^z=e^x(\cos y+i\sin y)\) 的模是 \(e^x\)，辐角是 \(y\)，于是它在整个平面上解析、导数还是 \(e^z\)、以 \(2\pi i\) 为周期，并且永远不等于 0。
定理（指数函数与复数三角函数）
\(e^z=e^x(\cos y+i\sin y)\) 是整函数，\((e^z)'=e^z\)，\(e^{z+2\pi i}=e^z\)，且 \(e^z\neq 0\)。由此定义 \(\cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\)、\(\sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\)，二者都是整函数，在实轴上与实余弦、实正弦一致，和角公式与欧拉公式照旧成立。
与实数的差别集中在无界性上：\(\sin(iy)=i\sinh y\)，\(y\) 变大时模跟着变大，实轴上那条 \(|\sin x|\le 1\) 在复平面上没有了。实函数的结论不能照搬，这里就是一例；后面刘维尔定理说「有界的整函数必为常数」，那里的有界是整个复平面上的有界。
\(e^z\) 为什么永远取不到 0
\(e^z\) 的模是 \(e^x\)，而 \(e^x\) 对任何实数 \(x\) 都是正数，0 因此不在值域里。这一条与实指数函数相同，它带来的后果是：\(e^z\) 的值域是整个复平面去掉原点，对数只能在 \(z\neq 0\) 上讨论。
怎么算
- 判可导分两步。先看 \(u,v\) 是否可微，再代 CR 方程，两条都满足才可导。
- 求 \(f'\) 有两个写法。用 \(f'(z)=u_x+iv_x\) 算一遍，再用 \(v_y-iu_y\) 核一遍，省一半出错的机会。
- 圆对称的函数用极坐标。极坐标下的 CR 方程是 \(u_r=\dfrac{1}{r}v_\theta\) 与 \(v_r=-\dfrac{1}{r}u_\theta\)，遇上 \(z^n\)、\(\ln z\) 一类函数比直角坐标省事。
- 求共轭调和函数。先验 \(u_{xx}+u_{yy}=0\)，再由 \(v_y=u_x\)、\(v_x=-u_y\) 积分，最后加一个实常数。
- 算对数先写极坐标式。把 \(z\) 写成 \(re^{i\theta}\)，主值取 \(\theta\in(-\pi,\pi]\)；题目问全部值时，答案末尾带上 \(2k\pi i\)。
例题
例 1 用定义求 \(f(z)=z^2\) 的导数。
差商 \(\dfrac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z}=\dfrac{2z\Delta z+(\Delta z)^2}{\Delta z}=2z+\Delta z\)。\(\Delta z\to 0\) 时它趋于 \(2z\)，与走哪条路无关，所以 \(f'(z)=2z\)，全平面可导。
例 2 求 \(f(z)=|z|^2\) 的可导点，并说明它是否解析。
\(u=x^2+y^2\)、\(v=0\)，CR 方程给出 \(2x=0\) 与 \(2y=0\)，只有原点满足，其余点都不可导。\(f\) 在 \(z=0\) 可导且 \(f'(0)=0\)，可是原点周围全是不可导的点，所以它处处不解析。
例 3 求 \(Ln(-1)\) 的全部值，指出主值，并说明相邻两值相差多少。
\(-1=e^{i(\pi+2k\pi)}\)，故 \(Ln(-1)=i(\pi+2k\pi)\)，\(k=0,\pm1,\pm2,\dots\)。主值是 \(\ln(-1)=i\pi\)，其余各值比它多或少 \(2\pi i\) 的整数倍，实部全是 0。
习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题五分钟内
1. 用定义求 \(f(z)=z^3\) 的导数。
看答案
差商展开成 \(3z^2+3z\Delta z+(\Delta z)^2\)，令 \(\Delta z\to 0\) 得 \(f'(z)=3z^2\)。
2. 用 CR 方程验证 \(f(z)=z^2+3z\) 处处可导，并求 \(f'(z)\)。
看答案
\(u=x^2-y^2+3x\)，\(v=2xy+3y\)。\(u_x=2x+3=v_y\)，\(u_y=-2y=-v_x\)，两式成立，\(f'(z)=2x+3+i2y=2z+3\)。
3. 求 \(f(z)=z\,\mathrm{Im}\,z\) 的可导点。
看答案
\(u=xy\)，\(v=y^2\)。\(u_x=y=v_y=2y\) 只在 \(y=0\) 成立，\(u_y=x=-v_x=0\) 只在 \(x=0\) 成立，只有原点可导，\(f'(0)=0\)。
4. 判断 \(f(z)=x+2iy\) 在哪些点可导。
看答案
\(u=x\)，\(v=2y\)，\(u_x=1\) 与 \(v_y=2\) 不等，CR 方程处处不成立，所以它在任何点都不可导。
5. 求 \(\ln(1+i)\) 与 \(\ln(-2)\) 的主值。
看答案
\(|1+i|=\sqrt2\)，\(\arg(1+i)=\pi/4\)，得 \(\tfrac12\ln2+\tfrac{\pi}{4}i\)。\(|-2|=2\)，\(\arg(-2)=\pi\)，得 \(\ln2+\pi i\)。
6. 说明 \(e^z\) 是整函数，并求它的导数。
看答案
\(u=e^x\cos y\)，\(v=e^x\sin y\)，\(u_x=v_y=e^x\cos y\)，\(u_y=-e^x\sin y=-v_x\)，CR 处处成立且偏导连续，故整函数，\(f'=u_x+iv_x=e^z\)。
B 档 综合题，接近期末与考研难度
1. 证明 \(f(z)=\dfrac{1}{z}\) 在 \(z\neq 0\) 可导，并求导数。
看答案
差商 \(\dfrac{1}{\Delta z}\left(\dfrac{1}{z+\Delta z}-\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{-1}{z(z+\Delta z)}\)，令 \(\Delta z\to 0\) 得 \(-\dfrac{1}{z^2}\)。\(z=0\) 处函数无定义，是奇点。
2. 求 \(f(z)=x^2+iy^2\) 的可导点，并求这些点上的导数。
看答案
\(u_x=2x\)，\(v_y=2y\)，第一条要求 \(x=y\)；\(u_y=0\)，\(v_x=0\)，第二条恒成立。可导点集是直线 \(y=x\)，在这条线上 \(f'(z)=u_x+iv_x=2x\)。
3. 求 \(u=x^3-3xy^2\) 的共轭调和函数 \(v\)，并写出对应的解析函数。
看答案
由 \(v_y=u_x=3x^2-3y^2\) 得 \(v=3x^2y-y^3+\varphi(x)\)，再由 \(v_x=6xy+\varphi'(x)=-u_y=6xy\) 得 \(\varphi'=0\)。\(v=3x^2y-y^3+C\)，\(f=z^3+iC\)。
4. 说明 \(Ln(z_1z_2)=Ln\,z_1+Ln\,z_2\) 在什么意义下成立，并给一个主值不成立的例子。
看答案
两边都是集合，按集合相等成立，因为辐角相加后仍可差 \(2\pi\) 的整数倍。主值一般不成立：取 \(z_1=z_2=-1\)，左边 \(\ln 1=0\)，右边 \(2\ln(-1)=2\pi i\)。
C 档 拓展与历史原题
1.（黎曼，1851）把 \(w=z^2\) 看成从 \(z\) 平面到 \(w\) 平面的映射，说明它把过 \(z_0=1+i\) 的两条坐标曲线映成两条正交的曲线，并算出切向量被放大到原来的几倍。
看答案
\(f'(z_0)=2+2i\)，模为 \(2\sqrt2\)，辐角 \(\pi/4\)。所以每个切向量长度乘 \(2\sqrt2\)、方向转 \(45^\circ\)，正交的两条曲线映过去仍然正交。
2. 判定 \(f(z)=\bar z\) 处处不可导，并说明这件事为什么说明解析性极强。
看答案
沿实轴差商为 1，沿虚轴差商为 \(-1\)，两条路不同，故处处不可导。\(\bar z\) 只是把平面翻了一下，改动最小，却没有导数。这说明复可导约束的是无穷多个方向，条件极紧。
3. 证明：在单连通区域 \(D\) 内，任一调和函数 \(u\) 都有共轭调和函数 \(v\)，使 \(u+iv\) 在 \(D\) 内解析。
看答案
令 \(P=-u_y\)、\(Q=u_x\)，则 \(P_y=-u_{yy}=u_{xx}=Q_x\)，单连通区域上这个微分式有原函数 \(v\)。于是 \(v_x=-u_y\)、\(v_y=u_x\)，CR 方程成立，\(u+iv\) 解析。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 复可导一次就保证无穷次可导，实可导没有这个结论，缺口出在哪一步？
看提示
实可导只约束一条线上的差商，函数可以在每点有切线而切线乱跳。复可导约束的是整个邻域里的所有方向，这条约束会通过 CR 方程传到导数的导数上去，第三章的积分表示会把它兑现成无穷次可导。
2. CR 方程在一点成立，能不能断定 \(f\) 在该点可导？
看提示
不能，还要 \(u,v\) 在该点可微。教材里有偏导存在、CR 成立却不可微的例子，差商沿某些路径不收敛。所以判别时要先看可微性，再看两条等式。
3. 对数函数能不能在去掉原点的整个平面上取到单值解析分支？
看提示
不能。绕原点一圈，函数值增加 \(2\pi i\) 而不回到原值，这与连续性冲突。要单值就得挖掉一条从原点通向无穷的割线，让区域单连通，第五章会把这个障碍画成黎曼面。
延伸阅读
- 钟玉泉《复变函数论》第四版，第二章。CR 方程、解析函数与初等函数的记号以这本为准。
- 黎曼《单复变函数的一般理论基础》，1851 年博士论文，收在《黎曼全集》里，有英译本。
- Tristan Needham, Visual Complex Analysis, 第二章。把 CR 方程画成保角变换的图，配图比本书还密。
- 莫里斯·克莱因《古今数学思想》，第三册中关于柯西与黎曼的部分。