前面五章把解析函数拆开来看，这一章反过来，拿解析函数去搬空间。积分要靠它换路径，方程要靠它换区域，机翼上的气流也靠它换形状。搬动的时候有两条硬规矩，角度不能变，一一对应不能丢，整章的目标就是学会自己造出这样的映射，拿到一个陌生区域时知道先搬哪三个点。
一、导数在说什么
设 \(f\) 在 \(z_0\) 解析且 \(f'(z_0)\neq0\)，取一个很小的增量 \(\Delta z\)，可导的定义给出 \(\Delta w=f'(z_0)\Delta z+o(\Delta z)\)，丢掉高阶小量，剩下的就是一个乘数。复数的乘法自带两件事，模相乘、辐角相加，所以这一步在几何上等于把长度放大 \(|f'(z_0)|\) 倍，再把所有方向一起转过 \(\arg f'(z_0)\)。放大倍数与转动角度都只跟这一点有关，跟曲线朝哪个方向走过来无关。
这件事在第二章的柯西-黎曼方程里已经埋好了。\(f=u+iv\) 解析时，雅可比矩阵用 \(u_x=v_y\)、\(u_y=-v_x\) 化成 \(\begin{pmatrix}a & -b\\ b & a\end{pmatrix}\)，其中 \(a=u_x\)、\(b=v_x\)。这种形状的矩阵作用在向量上，效果与乘复数 \(a+bi\) 一模一样：模乘 \(\sqrt{a^2+b^2}=|f'|\)，角加 \(\arctan(b/a)=\arg f'\)。
雅可比行列式是 \(a^2+b^2\)，在 \(f'(z_0)\neq0\) 时恒正，所以一个小图形转过去不会翻面，逆时针的方向还是逆时针，三条性质合起来就是一句话：解析映射在局部是一个旋转加一个相似，转动角度与放大倍数各由导数的一个分量决定。
定理（导数的几何意义）
设 \(w=f(z)\) 在 \(z_0\) 解析，\(f'(z_0)\neq0\)。过 \(z_0\) 的任一条有向曲线 \(C\)，其像 \(C'\) 在 \(w_0=f(z_0)\) 处的切线方向，等于 \(C\) 在 \(z_0\) 处的切线方向加上 \(\arg f'(z_0)\)；长度的伸缩率恒为 \(|f'(z_0)|\)。这两个数都只跟 \(z_0\) 有关，与 \(C\) 的取法无关。
图里的方格边长 0.15，经过 \(w=z^2\) 之后，竖线与横线变成两族抛物线，交点处仍是直角，小方格的四条边长短相差不到一成，看上去还是方格，只是转了角度、放大了 2.6 倍，拿格子里的每个交点去核对，转角与放大率都对得上。
二、保角与共形映射
术语从这里开始，若 \(w=f(z)\) 在 \(z_0\) 的一个邻域内是一一映射，并且把过 \(z_0\) 的任意两条曲线之间的夹角，映成过 \(w_0\) 的两条像曲线之间同样大小、同样转向的夹角，就说 \(f\) 在 \(z_0\) 保角。解析且导数不为零的映射，在每一点都自动满足这一条。
定义（共形映射）
设 \(f\) 在 \(z_0\) 的邻域内单叶，在 \(z_0\) 保角，且伸缩率 \(|f'(z_0)|\) 存在并与方向无关，则称 \(f\) 在 \(z_0\) 共形。若 \(f\) 在区域 \(D\) 内每一点共形，就称 \(f\) 是 \(D\) 上的共形映射。共形映射把区域映成区域，它的逆映射也共形。
定理（解析与共形）
若 \(f\) 在区域 \(D\) 内解析，且对每个 \(z\in D\) 都有 \(f'(z)\neq0\)，则 \(f\) 在 \(D\) 内是共形映射。
\(f'(z)\neq0\) 这一条不能省。看 \(w=z^2\) 在原点：把过原点的两条射线 \(z=re^{i\theta_1}\) 与 \(z=re^{i\theta_2}\) 映过去，得到辐角 \(2\theta_1\) 与 \(2\theta_2\) 的两条射线，夹角从 \(\theta_2-\theta_1\) 变成 \(2(\theta_2-\theta_1)\)，整整翻一倍，第一象限被拉成整个上半平面，原点那里也就谈不上保角。
为什么导数等于零就保不住角
在 \(z_0\) 附近展开，若 \(f'(z_0)=\cdots=f^{(k-1)}(z_0)=0\) 而 \(f^{(k)}(z_0)\neq0\)，则 \(f(z)-f(z_0)\approx c\,(z-z_0)^k\)。\(k\) 次方把辐角乘以 \(k\)，夹角就变成原来的 \(k\) 倍。\(k=1\) 时角度才不变，这就是要求 \(f'\neq0\) 的全部原因。
三、分式线性变换
共形映射有无穷多，先用得上的是形状最简单的一类：\(w=\dfrac{az+b}{cz+d}\)。分母在 \(z=-d/c\) 处为零，这一点被送到无穷远；而 \(z\to\infty\) 时 \(w\to a/c\)。把 \(\infty\) 也算进来，它就成了一一映射，定义域与值域都是扩充复平面，没有例外点可挑。
定义（分式线性变换）
形如 \(w=\dfrac{az+b}{cz+d}\) 的映射称分式线性变换，也叫莫比乌斯变换，其中 \(a,b,c,d\) 是复常数且 \(ad-bc\neq0\)。约定 \(z=-d/c\) 对应 \(w=\infty\)，\(z=\infty\) 对应 \(w=a/c\)。逆映射 \(z=\dfrac{-dw+b}{cw-a}\) 仍是分式线性变换，所以这类映射可以随便复合、随便求逆。
任何一个分式线性变换都能拆成三个基本动作：平移 \(w=z+\beta\)、旋转与相似 \(w=\alpha z\)（\(\alpha\neq0\)）、反演 \(w=1/z\)。前两个把圆映成圆、把直线映成直线，保角也是显然的。反演要算一下，\(w=1/z=\bar z/|z|^2\)，它把以原点为心的圆映成以原点为心的圆，把不过原点的圆映成圆，把过原点的圆映成一条不过原点的直线。
定理（保圆性）
分式线性变换把圆周映成圆周，把直线映成圆周或直线。把直线看成过无穷远点的圆之后，这条性质只剩一句话：分式线性变换把圆映成圆。
这句话在平面上要分情形说，在复球面上只有一种情形。按第一章的办法把平面卷成球，平面直线补上无穷远点之后，在球面上就是一个过北极的圆，与普通圆地位相同。分式线性变换在球面上甚至对应球面的一次旋转，球的圆转过之后还是圆，所以把直线算作圆这条约定，在球面上是自然成立的。
分式线性变换在球面上真的是旋转吗
用球极投影把扩充复平面搬到黎曼球面上，每个分式线性变换都对应球面绕某条轴转过一个角度，反过来每个旋转也都给出一个分式线性变换。这一步解释了它为什么处处保角、为什么把圆映成圆，也解释了为什么编不出更多花样：球面上的刚体运动只有旋转。
四、三个点定一个变换
分式线性变换的系数有四个，整体乘一个非零常数不改变映射，所以真正要紧的只有三个比值，三个未知数配三个条件，条件是一串点的像。这一节的定理说明，三个点只要对得上，整个映射就定死了。
定理（三点唯一确定分式线性变换）
设 \(z_1,z_2,z_3\) 是 \(z\) 平面上三个互不相同的点，\(w_1,w_2,w_3\) 是 \(w\) 平面上三个互不相同的点，则存在唯一的分式线性变换 \(f\)，使 \(f(z_k)=w_k\)（\(k=1,2,3\)）。
算它的通用工具是交比。四个点的交比记作 \((z,z_1,z_2,z_3)=\dfrac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}\)，任何分式线性变换都不改变它。要把 \(z_k\) 映成 \(w_k\)，只要解方程 \((w,w_1,w_2,w_3)=(z,z_1,z_2,z_3)\)，把 \(w\) 解出来就是一个分式线性变换。
不想记交比也不要紧，把三对点直接代进 \(w=\dfrac{az+b}{cz+d}\)，得到三个方程，再令其中一个系数为 1 就能解出其余三个。两条路得到的式子差一个常数倍，作为映射是同一个。
三个点为什么够，四个点为什么多余
分式线性变换在球面上是旋转，一个旋转由「绕哪条轴、转多少度」定住，一共三个实参数。一对点的像带来两个实数条件，三个点刚好六个，与三个复参数对上。第四个点不能再随便指定，它的像必须让交比保持不变。
五、边界搬对，区域就跟上
做题目时目标总是具体区域：把上半平面搬进单位圆，把角形搬进半平面。手艺只有一条，只搬边界上的三个点，剩下的交给下面这条原理，它把二维区域上的难题换成边界上的一维对点问题。
定理（边界对应原理）
设 \(D\) 与 \(G\) 的边界都由简单闭曲线组成，\(f\) 把 \(D\) 共形映成 \(G\)。则 \(f\) 可连续延拓到边界，把 \(\partial D\) 一一地映成 \(\partial G\) 并保持绕行方向；反过来，若在边界上已经指定了一一对应，则 \(D\) 的像就是边界像所围成的那个区域。
上半平面到单位圆的标准映射是 \(w=e^{i\theta_0}\dfrac{z-z_0}{z-\bar z_0}\)，其中 \(\operatorname{Im}z_0>0\)。道理从三点的像就能看出来：\(z_0\) 映成 0，实轴映成单位圆周。实轴上取一点 \(x\)，它到 \(z_0\) 与到 \(\bar z_0\) 的距离相等，分子分母的模相等，比值的模恒为 1，整条实轴就落在圆周上。
圆内那一半靠不等式补上：\(z\) 在上半平面时，\(|z-z_0| < |z-\bar z_0|\)，比值的模小于 1，整个上半平面落进圆内。式子里还剩一个自由参数 \(\theta_0\)，它管转多少度，也就是指定实轴上哪个点落到 \(w=1\)。
同一套路数还有两条常用的：单位圆到单位圆的映射是 \(w=e^{i\theta}\dfrac{z-z_0}{1-\bar z_0z}\)（\(|z_0| < 1\)），单位圆到上半平面是 \(w=i\dfrac{1+z}{1-z}\)。记住这几个模板，剩下的工作是把自己的区域摆成这三条标准边界之一，摆的时候只动边界上的点。
六、儒可夫斯基：圆变机翼
把 \(z=re^{i\theta}\) 代进 \(w=\dfrac12\left(z+\dfrac1z\right)\)，实部虚部分开得 \(w=\dfrac12\left(r+\dfrac1r\right)\cos\theta+\dfrac{i}{2}\left(r-\dfrac1r\right)\sin\theta\)。\(\theta\) 转一圈，这个式子描出一条椭圆，两个半轴分别是 \(\dfrac12\left(r+\dfrac1r\right)\) 与 \(\dfrac12\left(r-\dfrac1r\right)\)。
\(r\) 越靠近 1，短轴越短，\(r=1\) 时短轴为零，整个圆塌成实轴上的线段 \([-1,1]\)；\(r\) 越大，椭圆越接近圆。一圈同心圆因此变成一圈共焦椭圆，焦点都落在 \(z=\pm1\) 的像上。
圆心一离开原点，椭圆就歪成翼型。上缘鼓起来，下缘压平，前缘是圆的，后缘收成尖角。尖角的来路在导数上：\(w'=\dfrac12\left(1-\dfrac1{z^2}\right)\) 在 \(z=\pm1\) 处为零，圆只要经过 \(z=1\)，像在那一点的夹角就被压成零度。设计师就这样干，把圆心放在实轴上方一点，半径调到刚好过 \(z=1\)，后缘就尖锐，前缘就圆滑。
机翼外形定下来，绕流也跟着有了：在圆上解出的流动，用同一个变换搬回翼型，升力能写成公式。复变函数从这一年起进了飞机设计的手册，用的仍然是保角与三点对应这两件工具。
七、黎曼映射定理
前面那些映射都是人造的，一个区域配一条公式。黎曼 1851 年在博士论文里换了个问法：随便给一个单连通区域，能不能找到映射把它搬进单位圆？他给的回答是能，只要边界不止一个点。
定理（黎曼映射定理，1851）
设 \(D\) 是扩充复平面上边界多于一点的单连通区域，\(z_0\in D\)。则存在唯一的共形映射 \(f\)，把 \(D\) 映成单位圆 \(|w| < 1\)，并且满足 \(f(z_0)=0\)、\(f'(z_0)>0\)。加上这两个归一化条件之后，映射就唯一了。
结论让人意外的地方在于它对 \(D\) 的形状毫无要求。多边形的、带尖角的、无限长的带子、螺旋形的区域，全都能搬成一模一样的圆盘，而且搬法唯一。解析函数本来是极硬的对象，一个开集上的值定下来就处处定下来，可它居然允许把形状随意揉捏。
代价是定理只说存在，不给公式，真做题目还得回到第五节，自己挑三点、自己凑模板。它还要求区域单连通，边界也不能缩成一点：整个复平面上的单叶解析函数只有 \(az+b\)，那是刘维尔定理的推论，值域铺满全平面，压不进有界的圆盘。
1851 年，哥廷根
黎曼写下映射定理
「两个给定的单连通曲面，总能相互一一地、保持角度不变地对应起来。」
黎曼 1851 年博士论文《单复变函数的一般理论基础》
这是论文里的核心结论，黎曼用它把任意区域上的问题搬到圆盘上做。他的证明依赖一条当时还不严格的变分原理，缺口挂了 40 多年，1912 年由卡拉泰奥多里与科贝各自补全。
1867 年，柏林、苏黎世
多边形区域的显式公式
\(\dfrac{dw}{dz}=K(z-x_1)^{\alpha_1-1}(z-x_2)^{\alpha_2-1}\cdots(z-x_n)^{\alpha_n-1}\)
施瓦茨与克里斯托费尔 1867 年前后给出的公式
公式把多边形到上半平面的映射写成有限个因子的乘积，内角 \(\alpha_k\pi\) 直接出现在指数上。茹科夫斯基 1910 年前后用同类的初等变换研究机翼绕流，复变函数从此进了航空。
为什么定理要求边界多于一点
边界为空或只有一个点的两种区域，整个复平面与去掉一点的复平面，上面不存在有界的单叶解析函数，压不进单位圆。这是定理仅有的两个例外，其余单连通区域一律合格，包括边界是无限长折线的那些。
怎么算
- 先画两个区域，标出边界上的三个好点。角点、切点、对称轴上的点最好用，它们在两边都容易写出来。
- 半平面到圆用 \(w=e^{i\theta_0}\dfrac{z-z_0}{z-\bar z_0}\)。圆到圆换成 \(1-\bar z_0z\) 那个分母，圆到半平面再乘一个 \(i\dfrac{1+z}{1-z}\)。
- 系数不确定就解三点。代进 \(w=\dfrac{az+b}{cz+d}\) 令一个系数为 1，或者直接用交比，两条路一样长。
- 算完取一个内点验算。看它的像落在目标区域里还是外面，一次就能发现符号错。
- 检查极点位置。\(cz+d=0\) 的点必须落在区域外，否则像会跑到无穷远，区域就被撕开。
例题
例 1 求把上半平面映成单位圆，且 \(f(i)=0\)、\(f(1)=1\) 的分式线性变换。
模板是 \(w=e^{i\theta_0}\dfrac{z-i}{z+i}\)，要把 \(i\) 映成 0，分子就得在 \(i\) 处为零。代入 \(z=1\) 得 \(e^{i\theta_0}\dfrac{1-i}{1+i}=-ie^{i\theta_0}\)，要它等于 1，取 \(e^{i\theta_0}=i\)，于是 \(w=i\dfrac{z-i}{z+i}\)。
例 2 \(w=\dfrac{z-1}{z+1}\) 把右半平面 \(\operatorname{Re}z>0\) 映成什么区域？
先看边界：\(z=iy\) 时分子与分母的模相等，\(|w|=1\)，所以虚轴映成单位圆周。再取内点 \(z=1\)，得 \(w=0\)，落在圆内。边界对了、内点也对了，像就是单位圆内部 \(|w|<1\)。
例 3 \(w=\dfrac12\left(z+\dfrac1z\right)\) 把 \(|z|=2\) 映成什么曲线？
代入 \(z=2e^{i\theta}\)，得 \(w=\dfrac54\cos\theta+i\dfrac34\sin\theta\)，消去 \(\theta\) 得到椭圆 \(\dfrac{u^2}{25/16}+\dfrac{v^2}{9/16}=1\)。两个半轴 \(5/4\) 与 \(3/4\)，正好是 \(\dfrac12\left(r\pm\dfrac1r\right)\) 在 \(r=2\) 处的值。
习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题五分钟内
1. 求 \(w=z^2\) 在 \(z=1+i\) 处的伸缩率与转动角。
看答案
\(f'(z)=2z\)，\(f'(1+i)=2+2i\)，模 \(2\sqrt2\)，辐角 \(\pi/4\)。所以长度放大 \(2\sqrt2\) 倍，方向转 \(45\) 度。
2. 说明 \(w=z^3\) 在 \(z=0\) 处为什么不共形。
看答案
\(f'(0)=0\)。把辐角为 \(\theta\) 的射线映成辐角 \(3\theta\) 的射线，夹角一律变成三倍，角没有保住。
3. 把 \(w=\dfrac{z-1}{z+1}\) 拆成三个基本映射的复合。
看答案
先写成 \(1-\dfrac{2}{z+1}\)：\(z\mapsto z+1\) 平移，\(\mapsto\dfrac1{z+1}\) 反演，\(\mapsto-\dfrac{2}{z+1}\) 旋转相似，最后 \(\mapsto 1-\dfrac{2}{z+1}\) 平移。
4. 求 \(w=1/z\) 把圆 \(|z-1|=1\) 映成什么曲线。
看答案
由 \(|z-1|=1\) 与 \(z=1/w\) 得 \(|1-w|=|w|\)，即 \((1-u)^2+v^2=u^2+v^2\)，化简得 \(u=1/2\)。圆过原点，所以像是一条直线。
5. 求把上半平面映成单位圆、且把 \(2i\) 映成 0 的全部映射。
看答案
取 \(z_0=2i\)，得 \(w=e^{i\theta}\dfrac{z-2i}{z+2i}\)，\(\theta\) 是任意实数。不同的 \(\theta\) 对应实轴上不同的点落到 \(w=1\)。
6. 求分式线性变换，把 \(z=0,1,\infty\) 依次映成 \(w=i,0,\infty\)。
看答案
\(z=\infty\) 对应的像是 \(a/c=\infty\)，故 \(c=0\)。余下 \(w=\alpha z+\beta\)，代入两点得 \(\beta=i\)、\(\alpha=-i\)，所以 \(w=-iz+i\)。
B 档 综合题，接近期末与考研难度
1. 求把单位圆 \(|z|<1\) 映成上半平面、且把 \(z=0\) 映成 \(w=i\) 的映射。
看答案
先用 \(i\dfrac{1+z}{1-z}\) 把单位圆送到上半平面，它把 0 送到 \(i\)，正好合用。若再要别的对应点，在前面乘一个上半平面的自映射即可。
2. 求分式线性变换，把 \(z=0,1,\infty\) 依次映成 \(w=1,i,-1\)。
看答案
设 \(w=\dfrac{az+b}{cz+d}\)。由 \(\infty\mapsto-1\) 得 \(a=-c\)，由 \(0\mapsto1\) 得 \(b=d\)，再由 \(1\mapsto i\) 得 \(d(1-i)=c(1+i)\)，取 \(d=1\)、\(c=-i\)，得 \(w=\dfrac{1+iz}{1-iz}\)。
3. 证明分式线性变换把圆周映成圆周或直线：把 \(|z-z_0|=R\) 代入 \(z=\dfrac{-dw+b}{cw-a}\)，整理后说明二次项系数相同。
看答案
代入后两边乘 \(|cw-a|^2\)，得到一个关于 \(u,v\) 的方程，\(|w|^2\) 的系数在两边相等，剩下的是 \(u,v\) 的一次项与常数项。这种方程表示圆，特殊情形退化成直线。
4. 证明 \(w=\dfrac12\left(z+\dfrac1z\right)\) 把 \(|z|=r>1\) 映成半轴为 \(\dfrac12\left(r+\dfrac1r\right)\)、\(\dfrac12\left(r-\dfrac1r\right)\) 的椭圆，并说明 \(r\to1\) 时像变成什么。
看答案
令 \(z=re^{i\theta}\)，分离实虚部得 \(u=\dfrac12\left(r+\dfrac1r\right)\cos\theta\)、\(v=\dfrac12\left(r-\dfrac1r\right)\sin\theta\)，消去 \(\theta\) 即得椭圆方程。\(r\to1\) 时短轴趋于 0，像退化成线段 \([-1,1]\)。
C 档 拓展与历史原题
1.（黎曼，1851）写出映射定理的条件与结论，并说明它为什么让人意外。
看答案
边界多于一点的单连通区域都能共形映成单位圆，归一化之后映射唯一。意外之处是它对区域形状毫无要求，任何古怪的单连通区域都被搬成同一个圆盘。黎曼当年的证明有缺口，1912 年才由卡拉泰奥多里与科贝补全。
2. 求把上半平面映成单位圆的一般分式线性变换，并说明三个点为何够用。
看答案
一般式是 \(w=e^{i\theta_0}\dfrac{z-z_0}{z-\bar z_0}\)，\(\operatorname{Im}z_0>0\)。三个点带来六个实数条件，正好定住三个复参数，所以三对点就能定死一个映射。
3.（茹可夫斯基，1910）说明机翼尾缘的尖角是从哪里来的。
看答案
\(w'=\dfrac12\left(1-\dfrac1{z^2}\right)\) 在 \(z=\pm1\) 处为零，映射在这两点不保角。圆经过 \(z=1\) 时，像在该点把夹角压成零度，后缘就成了尖的。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 共形映射保角，它保长度吗？举一个例子说明。
看提示
只保角度，长度按 \(|f'(z_0)|\) 放大。拿 \(w=z^2\) 在 \(|z|=2\) 上看，同一个小圆上的不同点放大倍数从 2 到 6 不等，长度撑开了。
2. 把直线和圆合成一类，对理解分式线性变换有什么好处？
看提示
合并之后保圆性只有一句话，不必再分过原点与不过原点两种情形。复球面上直线与圆都是球的圆，分式线性变换是球的旋转，一切自然。
3. 黎曼映射定理只保证存在，不给公式，这对实际计算还有什么用？
看提示
有存在性才敢去找，定理保证这样的映射一定在，不必担心白费力气。归一化之后它还唯一，于是任何人算出的答案只要满足条件就是同一个，可以互相校对。
延伸阅读
- 钟玉泉《复变函数论》第四版，第六章。本章的定理编号口径与例题难度都照这本。
- 黎曼 1851 年博士论文《单复变函数的一般理论基础》，英译收在《黎曼全集》里，看他自己怎么写那条存在性结论。
- Lars Ahlfors, Complex Analysis, 第 6 章。黎曼映射定理的现代证明，正规族那一步讲得最细。
- Tristan Needham, Visual Complex Analysis, 关于莫比乌斯变换的几章。把分式线性变换画成球面旋转，图比本书多得多。