傅里叶级数只管得了周期函数，而热在杆子里传开以后，温度分布并没有周期。傅里叶想把它推广到整条实数轴上去，办法是把周期放到无穷大，让求和变成积分，1811 年他靠这个思路拿了科学院的奖，评审意见里还是写着「缺少严格性」。这套积分后来被拆成两种工具，一种看频率，一种解方程，本章就把这两样拆开讲清楚。
一、把函数拆成波
周期为 \(2l\) 的函数能写成一列复指数波的叠加，\(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{in\pi t/l}\)，系数靠一个积分算出来，这就是傅里叶级数。它在热传导里够用，因为杆子上的温度常常被限制在有限的范围里。麻烦出在范围一放开的时候：周期变成无穷大，相邻两条谱线之间的距离趋于零，求和这套写法就失效了。
周期趋于无穷这一步，十九世纪的人做得很含糊，结果的形状却很清楚。求和变成积分，级数系数变成频率 \(\omega\) 的函数，原来的 \(f\) 由所有频率的分量重新叠回来。傅里叶 1807 年的论文里就是这么办的，他连收敛该怎么讲都还没有说清楚，拉格朗日不肯签字也不全是守旧，因为「任意函数都能拆成波」这句话当时还需要证明。
定理（傅里叶积分定理）
设 \(f\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上满足两条：一、在任一有限区间上分段光滑，只有有限个第一类间断点；二、在 \((-\infty,+\infty)\) 上绝对可积，即 \(\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|\,dt\) 收敛。那么 \[ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-i\omega\tau}\,d\tau\right]e^{i\omega t}\,d\omega \] 右端在 \(f\) 的连续点等于 \(f(t)\)，在第一类间断点等于 \(\frac{1}{2}\left[f(t+0)+f(t-0)\right]\)。
定义（傅里叶变换与逆变换）
对绝对可积的 \(f\)，称 \[ F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt \] 为 \(f\) 的傅里叶变换，记作 \(F(\omega)=\mathscr{F}[f]\)；称 \[ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega \] 为逆变换。变换把时间轴上的函数换成频率轴上的函数，装的是同一份信息。
\(F(\omega)\) 取复值，模给出这个频率上的振幅，辐角给出相位，所以读图看的是 \(|F(\omega)|\)。方波是最直观的例子：它只有奇次谐波，谱线立在 \(\omega=\pi,3\pi,5\pi\) 这些位置，高度按 \(1/k\) 递减，整串谱线落进一条 sinc 形的包络里。
上栏那条曲线是 15 项部分和，它在跳变附近上下振荡，最高点约 1.18，比方波高 9%。把项数加到 100 项，过冲还是 9% 左右，变窄的是振荡的范围，幅度不肯退。这个现象由吉布斯 1899 年写进《自然》杂志，所以叫吉布斯现象。它与逐点收敛不冲突，因为过冲的位置随项数增加越来越靠近跳变点，每一个固定点上部分和照样收敛到 \(\frac{1}{2}[f(t+0)+f(t-0)]\)。
绝对可积这一条拦住了谁
常数函数、\(\sin t\)、单位阶跃都不绝对可积，按上面的定理它们没有傅里叶变换，可这几个偏偏是工程里最常见的信号。绕过去的办法是先给 \(f(t)\) 乘上 \(e^{-\sigma t}\)，让它往无穷远处塌下去，算完再想办法还原，指数上的 \(\sigma\) 就是下一节的主角。
二、求导变乘法
傅里叶变换的性质有一串：线性、位移、相似、微分、积分、乘积、能量积分。做法都差不多，把定义里的积分做一个换元或者分部积分，看指数上的东西怎么变，于是新函数的像与老函数的像之间差一个显式的因子。用得最多的是两条，一条管求导，一条管卷积，其余几条在做题时现查表就行。
定理（微分性质与卷积定理）
若 \(f\) 与 \(f'\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 上绝对可积、\(f\) 分段光滑，则 \(\mathscr{F}[f']=i\omega\,\mathscr{F}[f]\)，反复用得到 \(\mathscr{F}[f^{(n)}]=(i\omega)^n\mathscr{F}[f]\)。又若 \(f,g\) 都绝对可积，它们的卷积 \((f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau\) 满足 \(\mathscr{F}[f*g]=\mathscr{F}[f]\cdot\mathscr{F}[g]\)。
微分性质来自分部积分，边界项要它消失，条件就是 \(f\) 在无穷远处趋于零，而分段光滑加绝对可积正好能推出这一点。有了这条，求一次导在频率轴上只是乘一个 \(i\omega\)，求 \(n\) 次导就是乘 \((i\omega)^n\)。第五节解方程全靠它。
卷积先把两个函数翻转、平移，再相乘积分，直接算要积两层，除了少数几种函数根本积不出来。取了变换以后，时域里的卷积分在频域里变成逐点相乘，于是滤波、平滑、系统响应这些问题都可以先乘、再还原回去。举个具体的例子：线性系统对输入 \(f\) 的响应等于 \(f\) 与系统的脉冲响应 \(g\) 的卷积，在频域里就是 \(F(\omega)\) 乘上系统的传递函数 \(\mathscr{F}[g]\)。
卷积这个名字从哪来
英文 convolution 来自拉丁文 convolvere，意思是卷在一起。早期中文译作「褶积」，因为把一个函数翻转后沿另一个函数滑过去，两个图形的乘积叠出一块面积，像布被卷起来。名字不好听，算法只有三步：翻转、平移、相乘再积分，第四章的柯西乘积其实也是这个动作。
三、多一个衰减因子
上一节的绝对可积让一大批函数出局：常函数、阶跃、按指数增长的信号都不合格，而电路里的电压、开关的接通全是这些形状。补救的办法很朴素，先给 \(f(t)\) 乘上衰减因子 \(e^{-\sigma t}\)，让它在无穷远处塌下去，积分能算了，再想办法把因子去掉。拉普拉斯 1782 年前后在概率论里用过同一招，把一个数列的整串信息压进一个函数，用积分变换处理生成函数。
定义（拉普拉斯变换与收敛域）
设 \(f(t)\) 在 \(t\ge 0\) 上有定义，\(p=\sigma+i\omega\) 是复数。若积分 \(\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-pt}\,dt\) 在某个 \(p\) 处收敛，称 \[ F(p)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-pt}\,dt \] 为 \(f(t)\) 的拉普拉斯变换，记作 \(F(p)=\mathscr{L}[f(t)]\)。使积分收敛的那些 \(p\) 组成收敛域，它必须与 \(F(p)\) 一起写出来。
把 \(f\) 在 \(t<0\) 的那一段补成零，再把 \(p\) 拆成 \(\sigma+i\omega\)，拉普拉斯变换就成了乘过衰减因子的傅里叶变换：\(F(\sigma+i\omega)=\mathscr{F}\left[f(t)e^{-\sigma t}\right]\)。所以两套性质几乎逐条对应，差得最明显的是求导那一条，拉普拉斯变换会多带一个初值项，而这一项正是解微分方程时最要紧的。
定理（存在定理与解析性）
若存在常数 \(M>0\) 与 \(\sigma_0\ge 0\)，使对一切 \(t\ge 0\) 有 \(|f(t)|\le Me^{\sigma_0 t}\)，则 \(\mathscr{L}[f]\) 在半平面 \(\operatorname{Re}p>\sigma_0\) 内存在且解析，且 \(F'(p)=-\int_{0}^{+\infty}t\,f(t)e^{-pt}\,dt\)。这里的 \(\sigma_0\) 叫 \(f\) 的增长指数，收敛域至少包含这个半平面。
收敛域由几条过极点的竖线围出一个半平面，或者围出一条竖条，边界一定落在极点所在的竖线上。\(F(p)\) 在收敛域里解析，所以收敛域内部一个极点都不能有，做题时先找极点，收敛域跟着就框定。这条限制在算反演积分时还要用一次，因为围道得整个落在收敛域里面。
收敛域不能省，因为光有 \(F(p)\) 定不下 \(f(t)\)。\(\dfrac{1}{p-1}\) 可以是 \(f(t)=e^{t}\)（\(t\ge 0\)）的像，收敛域为 \(\operatorname{Re}p>1\)；也可以是 \(f(t)=-e^{t}\)（\(t<0\)）、\(f(t)=0\)（\(t\ge 0\)）的像，收敛域为 \(\operatorname{Re}p<1\)。两个原函数一个往右长、一个往左长，像函数却一模一样，差别只在收敛域写的是哪半平面。
傅里叶变换问的是每个频率上有多少分量，拉普拉斯变换额外乘一个 \(e^{-\sigma t}\)，把不收敛的积分救回来。
增长指数 \(\sigma_0\) 怎么估
多项式乘指数的函数，\(\sigma_0\) 取指数上的系数就够了：\(t^2e^{3t}\) 的 \(\sigma_0=3\)，收敛域是 \(\operatorname{Re}p>3\)。\(t^n\) 与有界函数的 \(\sigma_0\) 取 0，收敛域是右半平面。遇到 \(e^{t^2}\) 这类涨得比任何指数都快的函数，\(\sigma_0\) 取不到，拉普拉斯变换不存在，\(\delta\) 函数那一类广义函数要另行处理。
四、逆变换与初值终值
从 \(F(p)\) 回到 \(f(t)\) 要算一个复变积分，叫反演积分或者黎曼–梅林公式：\[ f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(p)e^{pt}\,dp,\qquad \sigma>\sigma_0 \] 积分沿一条竖直线走，在左边补一个半圆弧围成闭路，被积函数在里面的极点各贡献一个留数，逆变换就算成了留数之和。第五章的留数定理在这里有了第二个用处。
定理（导数的像、初值定理与终值定理）
若 \(f\) 与 \(f'\) 都满足存在定理的条件，则 \(\mathscr{L}[f']=pF(p)-f(0)\)，\(\mathscr{L}[f'']=p^{2}F(p)-pf(0)-f'(0)\)。若 \(f\) 在 \(t=0\) 处右连续，则 \(\lim_{p\to\infty}pF(p)=f(0)\)；若 \(f(t)\) 当 \(t\to+\infty\) 有极限，且 \(pF(p)\) 的极点全在左半平面，则 \(\lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{p\to 0}pF(p)\)。
导数的像这条公式是解方程的关键：每求一次导多出一个 \(p\)，同时把初值 \(f(0)\) 从方程外面带进里面。二阶方程因此得到两个初值项，正好对应两个待定常数，常数变易法那套先求通解再代初值的流程被直接跳过。终值定理是一条便宜的检查手段，算出 \(F(p)\) 不用逆变换，就能先看一眼 \(f\) 在无穷远处落在哪里。
实际做题很少真的去算反演积分，因为像函数多半是有理函数，拆成部分分式以后每一项都能查表还原。反演积分的作用在于说明这件事为什么成立：它把查表这个动作变成一个复变积分，顺带证明表上的每一行都与性质里的每一条相容。
初值定理为什么要 \(f\) 右连续
若 \(f\) 在 0 点跳了一下，\(f(0)\) 与实际取到的右极限不是一回事，而 \(pF(p)\) 的极限给出的是右极限 \(f(0+)\)。所以课本写 \(\lim pF(p)=f(0+)\) 更稳妥。终值定理另有条件：\(f\) 必须真的有极限，\(\sin t\) 的像 \(F(p)=\dfrac{1}{p^{2}+1}\) 让 \(pF(p)\to 0\)，可 \(\sin t\) 根本没有极限，这时候定理的前提不成立，用出来的结果是假的。
五、微分方程变成代数方程
流程只有三步：对等式两边取拉普拉斯变换，用导数的像把 \(y'\)、\(y''\) 换成 \(pY-y(0)\) 这一类，得到一个只含 \(Y\) 的代数方程，解出 \(Y\) 再取逆变换。初值在第一步就自动进了方程，不必先求齐次解再拿初值定常数。这套办法只对常系数线性方程顺手，变系数与非线性的情形另外再想办法。
右端输入 \(f(t)\) 的像 \(F(p)\) 除过去，一般乘在一个传递函数上，逆变换回时域就是一个卷积，所以线性系统的响应可以写成输入与脉冲响应的卷积。反过来说，测出输入与响应就能反推传递函数，这是系统辨识在做的事。
这套算法在 1890 年代先由赫维赛德用电报方程做出来。他把 \(d/dt\) 当成一个字母 \(p\) 做代数运算，算出结果再按一条「展开定理」还原成时间函数，中间完全不解释为什么可以这样算。数学家对这种做法很不满意，因为它既没有收敛性的讨论，也没有说明算子除法是什么意思，可它给出的答案一次次都对上了实验。
1893 年，伦敦
赫维赛德替运算微积辩护
「难道因为我不完全懂消化的过程，就要拒绝吃饭吗？」
赫维赛德《电磁理论》第二卷
他用电报方程算出电缆里的信号衰减，办法是把微分算子当字母做代数。这套运算微积在 20 世纪被翻译成拉普拉斯变换，算子 \(p\) 就是复变量 \(p\)，展开定理就是部分分式，于是当年没有基础的做法全部获得了解释。
1822 年，巴黎
《热的解析理论》出版
「热像引力一样，穿透宇宙中的一切物体，它的射线占据空间的每一个角落。」
傅里叶《热的解析理论》导言
1807 年的那篇论文被拉格朗日挡了下来，1811 年的获奖论文也被评为「缺少严格性」，傅里叶干脆写成书。书里把三角级数当成通用工具使用，1829 年狄利克雷补上收敛条件，这套办法才算是定理。
怎么算
- 先看积分区间。傅里叶变换从 \(-\infty\) 积到 \(+\infty\)，拉普拉斯变换从 0 积到 \(+\infty\)，区间不同，能用的函数就不同。
- 像函数后面一定要跟收敛域。算完 \(F(p)\) 顺手写一句「\(\operatorname{Re}p>\sigma_0\)」，否则原函数定不下来。
- 导数的像要带初值。\(\mathscr{L}[f']=pF(p)-f(0)\)，漏掉 \(f(0)\) 是最常见的错，尤其初值不为零的时候。
- 解方程先整理成 \(Y\) 的代数式。把所有含 \(Y\) 的项并到一边，右端单独算，再一次性除过去，别中途代入。
- 逆变换从部分分式入手。真分式先拆成 \(\dfrac{A}{p-a}\) 这样的项，再逐项查表；假分式先做除法分出多项式。
为什么先做部分分式再查表
表上能查到的像函数只有十几种，单极点、重极点、二次不可约因子各占几行。部分分式把一个复杂的有理函数拆成这几种基本块的线性组合，逆变换就可以逐块进行、再相加。拆之前要把分母在复数范围内分解到底，重极点按 \((p-a)^k\) 逐次降幂写全。
例题
例 1 求 \(f(t)=e^{at}\)（\(t\ge 0\)）的拉普拉斯变换与收敛域。
按定义算 \(\int_{0}^{+\infty}e^{(a-p)t}\,dt\)，这积分要收敛就得 \(\operatorname{Re}p>a\)，收敛时等于 \(\dfrac{1}{p-a}\)。所以 \(F(p)=\dfrac{1}{p-a}\)，收敛域 \(\operatorname{Re}p>a\)。把 \(a\) 换成 \(i\omega\) 就得到正弦余弦的像，实部虚部分开即可。
例 2 求 \(\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{p(p+1)}\right]\)。
拆成 \(\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{p+1}\)，逐项还原得 \(1-e^{-t}\)。用卷积定理也对：\(\dfrac{1}{p(p+1)}\) 是两个像函数的乘积，对应 1 与 \(e^{-t}\) 的卷积 \(\int_{0}^{t}e^{-\tau}\,d\tau=1-e^{-t}\)，两条路给出同一个答案。
例 3 解 \(y'+2y=1\)，\(y(0)=0\)。
两边取变换，\(pY+2Y=\dfrac{1}{p}\)，即 \(Y=\dfrac{1}{p(p+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{p+2}\right)\)。逆变换得 \(y=\dfrac{1}{2}\left(1-e^{-2t}\right)\)。用终值定理验一下：\(pY\to\dfrac{1}{2}\)，与 \(t\to+\infty\) 时 \(y\to\dfrac{1}{2}\) 一致。
习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题五分钟内
1. 求 \(f(t)=t\)（\(t\ge 0\)）的拉普拉斯变换，写出收敛域。
看答案
分部积分得 \(\int_{0}^{+\infty}te^{-pt}dt=\dfrac{1}{p^{2}}\)，收敛域 \(\operatorname{Re}p>0\)。
2. 求 \(f(t)=\sin\omega t\)（\(t\ge 0\)）的拉普拉斯变换。
看答案
由 \(\mathscr{L}[e^{i\omega t}]=\dfrac{1}{p-i\omega}\) 取虚部，得 \(\dfrac{\omega}{p^{2}+\omega^{2}}\)，收敛域 \(\operatorname{Re}p>0\)。
3. 求矩形脉冲 \(f(t)=1\)（\(0\le t\le a\)）、\(f(t)=0\)（其余）的傅里叶变换。
看答案
\(\int_{0}^{a}e^{-i\omega t}dt=\dfrac{1-e^{-i\omega a}}{i\omega}=e^{-i\omega a/2}\dfrac{2\sin(\omega a/2)}{\omega}\)，模是 sinc 形。
4. 用位移性质求 \(\mathscr{L}\left[e^{-3t}t^{2}\right]\)。
看答案
\(\mathscr{L}[t^{2}]=\dfrac{2}{p^{3}}\)，乘以 \(e^{-3t}\) 相当于把 \(p\) 换成 \(p+3\)，得 \(\dfrac{2}{(p+3)^{3}}\)，收敛域 \(\operatorname{Re}p>-3\)。
5. 求 \(f(t)=\cos\omega t\)（\(t\ge 0\)）的拉普拉斯变换。
看答案
得 \(\dfrac{p}{p^{2}+\omega^{2}}\)，收敛域 \(\operatorname{Re}p>0\)。与正弦的像只差分子上的一个 \(p\)。
6. 写出 \(\mathscr{L}[f']\) 与 \(\mathscr{L}[f'']\)，并说明 \(f(0)\) 从哪一步冒出来。
看答案
分别为 \(pF(p)-f(0)\) 与 \(p^{2}F(p)-pf(0)-f'(0)\)。分部积分时下限那一段留下 \(f(0)\)。
B 档 综合题，接近期末与考研难度
1. 求 \(f(t)=te^{-t}\)（\(t\ge 0\)）的像与收敛域。
看答案
\(\mathscr{L}[t]=\dfrac{1}{p^{2}}\)，位移后得 \(\dfrac{1}{(p+1)^{2}}\)，收敛域 \(\operatorname{Re}p>-1\)。
2. 用卷积定理求 \(\mathscr{L}^{-1}\left[\dfrac{1}{(p-1)(p-2)}\right]\)。
看答案
拆成 \(\dfrac{1}{p-2}-\dfrac{1}{p-1}\)，还原得 \(e^{2t}-e^{t}\)。卷积定理的说法是 \(e^{t}\) 与 \(e^{2t}\) 的卷积，算出同一个式子。
3. 解初值问题 \(y''+y=1\)，\(y(0)=0\)，\(y'(0)=0\)。
看答案
取变换得 \((p^{2}+1)Y=\dfrac{1}{p}\)，即 \(Y=\dfrac{1}{p}-\dfrac{p}{p^{2}+1}\)，逆变换得 \(y=1-\cos t\)。
4. 设 \(F(p)=\dfrac{1}{p(p+1)}\)，先用终值定理求 \(f(+\infty)\)，再逆变换核对。
看答案
\(pF(p)=\dfrac{1}{p+1}\)，令 \(p\to 0\) 得极限 1。逆变换是 \(1-e^{-t}\)，当 \(t\to+\infty\) 趋于 1，两者一致。
C 档 拓展与历史原题
1.（赫维赛德，1890 年代）他把算子当字母做代数：对方程 \(y'+2y=f\) 写出 \((p+2)y=f\)，于是 \(y=\dfrac{1}{p+2}f\)。用拉普拉斯变换说明这一步为什么合法。
看答案
零初值时取变换，原方程正好变成 \((p+2)Y=F(p)\)，与他的写法一致。\(\dfrac{1}{p+2}\) 的原函数是 \(e^{-2t}\)，所以他的结果就是卷积 \(\int_{0}^{t}e^{-2(t-\tau)}f(\tau)d\tau\)。
2.（RC 电路）阶跃电压 \(U\) 加在 R、C 串联电路上，\(u_C(0)=0\)，方程 \(RC\,u_C'+u_C=U\)，求 \(u_C(t)\)。
看答案
取变换得 \((RC\,p+1)U_C=\dfrac{U}{p}\)，即 \(U_C=\dfrac{U}{p(1+RC\,p)}\)。还原得 \(u_C=U\left(1-e^{-t/RC}\right)\)，时间常数 \(RC\) 决定充电快慢。
3.（傅里叶，1807）把方波 \(f(t)=1\)（\(0<t<\pi\)）、\(f(t)=-1\)（\(-\pi<t<0\)）展成三角级数，问 \(t=0\) 处级数收敛到什么值。
看答案
偶次系数全为零，级数是 \(\dfrac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\sin(2k-1)t}{2k-1}\)。\(t=0\) 时每一项都是零，级数和为零，正等于两侧极限的平均值。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 傅里叶变换要求绝对可积，拉普拉斯变换不要求，这个差别落在公式的哪一处？
看提示
落在积分区间与指数上。傅里叶变换沿整条实轴积，被积函数得自己衰减；拉普拉斯变换从 0 开始，还乘了 \(e^{-\sigma t}\)，衰减由这个因子提供。代价是只看得到 \(t\ge 0\) 的那一段。
2. 同一个像函数 \(\dfrac{1}{p-1}\) 对应两个不同的原函数，收敛域在变换里到底管什么？
看提示
收敛域记录积分在哪一块收敛，也记录原函数朝哪边长。像函数只说极点在 1，收敛域说取右半边还是左半边，两样合起来才能把原函数钉死。
3. 方波的部分和一直过冲 9%，加到一万项也不消失，这与「部分和收敛到 \(f\)」矛盾吗？
看提示
不矛盾。逐点收敛说的是固定一点上部分和趋于 \(f\)，而过冲点随项数增加越来越贴近跳变，每一个固定点的过冲最后都会消失。跳变点上极限函数不连续，级数收敛到两个单侧极限的平均值。
延伸阅读
- 钟玉泉《复变函数论》第四版，第七章。本章的记号、定理条件与例题口径以这本为准。
- 傅里叶《热的解析理论》（1822），导言里讲他为什么相信任意函数都能拆成三角级数。
- 莫里斯·克莱因《古今数学思想》第 2 册，关于傅里叶级数与算子运算严格化的部分。
- R. N. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, 第 1 至 6 章。查表与工程口径最全。