第六章特征值与特征向量

拿一个矩阵去乘一支向量，结果通常拐向别处，方向变了，长度也变了。可是每个方阵都有几个特别的方向，向量落在这些方向上，乘完还留在原地，只是被拉长或压短，倍数由矩阵自己决定。欧拉 1743 年研究刚体转动时找的就是这几个方向，他管它们叫主轴。

一、有些方向不会被扳弯

把平面上的每一点都乘上同一个矩阵，等于对整个平面做一次动作。动作的品种不多：沿两个方向拉长或压扁，沿一条直线把半个平面翻个身，绕原点转一个角度，再把这几种叠起来用。拿单位圆当探针，看它被送到哪里，动作的样子就清楚了。

取 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，把单位圆上每一点 \(x\) 换成 \(Ax\)，圆变成椭圆（见下图）。圆上多数点被送出了原来的方向，\((1,0)\) 变成 \((2,1)\)，从横轴跑进了第一象限；只有四个点留在原方向上，\(A(1,1)^T=(3,3)^T\) 被拉长 3 倍，\(A(1,-1)^T=(1,-1)^T\) 的长度一点没动。

倍数可以看成这个方向上的伸缩率：大于 1 拉长，介于 0 与 1 之间压短，负数先掉头再伸缩，等于 1 就是原地不动。这几个方向和倍数由 \(A\) 自己决定，换一组坐标轴描述它们，向量还是那几支，所以值得单独给个名字。

定义（特征值与特征向量）

设 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵。若存在数 \(\lambda\) 与 \(n\) 维非零向量 \(x\)，使 \(Ax=\lambda x\)，则称 \(\lambda\) 是 \(A\) 的一个特征值，\(x\) 是 \(A\) 属于特征值 \(\lambda\) 的一个特征向量。

名字是译过来的。德语把这件事叫 Eigenwert，eigen 是自己的意思，说的是这个数属于矩阵本身，跟计算时挑哪组坐标无关；中文取了「特征」两个字，落点在这个矩阵特有的那上面。

同一个特征值挂着的向量不止一支：若 \(x\) 属于 \(\lambda\)，则 \(kx\) 也属于 \(\lambda\)，全体这样的向量再加上零向量凑成一个子空间，叫特征子空间。它的维数说明这个特征值有几个独立方向，第七章要用到这个数。

零向量为什么被排除在外

若允许 \(x=0\)，\(Ax=0=\lambda\cdot0\) 对任何 \(\lambda\) 都成立，每个数都成了特征值，这条定义就空了。排除零向量之后，一支向量只对应一个特征值：若 \(x\) 同时满足 \(Ax=\lambda x\) 与 \(Ax=\mu x\)，两式相减得 \((\lambda-\mu)x=0\)，\(x\) 非零就逼出 \(\lambda=\mu\)。

圆被送成椭圆，两条轴上的向量方向没变。长轴对应 \(\lambda=3\)，短轴对应 \(\lambda=1\)；虚线是变换前的单位圆。

二、把「方向不变」写成方程

定义只说清了什么是特征向量，要算出来还得靠行列式。把 \(Ax=\lambda x\) 右边的 \(\lambda x\) 写成 \(\lambda Ex\)，移项得到 \((A-\lambda E)x=0\)。这是一个齐次方程组，系数矩阵里带着参数 \(\lambda\)，它有非零解的条件，第五章已经给过了：系数行列式等于零。

定义（特征多项式与特征方程）

\(f(\lambda)=|\lambda E-A|\) 叫 \(A\) 的特征多项式，\(|\lambda E-A|=0\) 叫 \(A\) 的特征方程。\(n\) 阶方阵的特征方程是 \(n\) 次方程，在复数范围内恰有 \(n\) 个根（按重数计），这些根就是 \(A\) 的全部特征值。

定理（特征值的判别）

设 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵，\(\lambda\) 是一个数。\(\lambda\) 是 \(A\) 的特征值，当且仅当 \(f(\lambda)=|\lambda E-A|=0\)。这时 \((A-\lambda E)x=0\) 的每一个非零解，都是 \(A\) 属于 \(\lambda\) 的特征向量。

求特征值于是成了一条固定的路：写出行列式，展开成多项式，解出它的根；每拿到一个根，再回代去解齐次方程组，取基础解系当特征向量。中间这两步各自独立，根错了后面全废，算完拿 \(\lambda_1+\dots+\lambda_n\) 跟迹对一下最省事，下一节说为什么。

展开式里那些系数到底是什么

\(n\) 阶时 \(f(\lambda)=\lambda^n-(a_{11}+\dots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\dots+(-1)^n|A|\)，次高项的系数带着迹，常数项带着行列式。3 阶时中间那项是全部二阶主子式之和：\(f(\lambda)=\lambda^3-(\mathrm{tr}\,A)\lambda^2+(A_{11}+A_{22}+A_{33})\lambda-|A|\)，其中 \(A_{ii}\) 是划掉第 \(i\) 行第 \(i\) 列剩下的 2 阶行列式。

三、和等于迹，积等于行列式

阶数一高，逐个解根就费时间，可是有两样东西不用解方程就能拿到手：\(n\) 个特征值的和，\(n\) 个特征值的积。它们各等于 \(A\) 身上一个熟悉的量。

看法是把特征多项式从两头各写一遍。按行列式展开，\(\lambda^{n-1}\) 的系数只可能由主对角线上 \(n\) 个元素相乘得来，等于 \(-(a_{11}+\dots+a_{nn})\)；常数项是 \(\lambda=0\) 时的取值，也就是 \(|-A|=(-1)^n|A|\)。换到根这一边，多项式按根分解成 \((\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)\)，同一个位置上，\(\lambda^{n-1}\) 的系数是 \(-\sum\lambda_i\)，常数项是 \((-1)^n\prod\lambda_i\)。两边逐项对上，结论就出来了。

定理（根与系数的关系）

设 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的特征值（按重数计，允许是复数）为 \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\)，则 \(\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}\)，这个和叫 \(A\) 的迹，记作 \(\mathrm{tr}\,A\)；并且 \(\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|\)。

2 阶时这条结论最好用。\(f(\lambda)=\lambda^2-(\mathrm{tr}\,A)\lambda+|A|\)，两个特征值就是它的两个根，和与积都是现成的；判别式 \((\mathrm{tr}\,A)^2-4|A|\) 的正负，还直接告诉你根是实的、重的还是复的。

行列式那一半带一个常用推论：\(|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\)，所以 \(A\) 可逆当且仅当没有一个特征值为零，\(A\) 不可逆时 0 必定是它的特征值。判断矩阵能不能对角化时，还要回到这条推论上。

和与积都写在 \(A\) 身上。取 \(A=\begin{pmatrix}1&b\\b&1\end{pmatrix}\)：特征值是 \(1\pm b\)，和恒为 2，积随 \(b\) 走抛物线。

四、三种情形

2 阶矩阵的判别式 \((\mathrm{tr}\,A)^2-4|A|\) 把情形分成三类，三类对应的动作样子完全不同，认出属于哪一类，就知道平面上会看见什么。

判别式为正，两个特征值不相等，各管一个方向。对角矩阵最直白：\(\mathrm{diag}(1.9,0.55)\) 把横轴方向拉长 1.9 倍，把竖轴方向压到 0.55 倍，单位正方形变成一块扁长方形，两条边的方向都还在（见下图左）。

判别式为零，两个特征值相同，方向却未必有两个。\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) 的特征值 1 是二重根，代回 \((A-E)x=0\) 只剩一个方程 \(x_2=0\)，解空间是一维的；正方形被推成面积不变的平行四边形，只有横轴那一个方向留在原地（见下图中）。

判别式为负，两个特征值是一对共轭复数，平面上一个不动方向也没有。\(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) 的特征值是 \(\pm i\)，每支向量都被转走，一支都留不下（见下图右）。这类动作里带着转动，伸缩的倍数由复数的模给出，模是 1 的时候就只剩转了。

定理（不同特征值的特征向量线性无关）

设 \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m\) 是 \(A\) 的互不相同的特征值，\(x_i\) 是 \(A\) 属于 \(\lambda_i\) 的特征向量，则 \(x_1,x_2,\dots,x_m\) 线性无关。

这条定理省掉一道手续：特征值互不相同时，找出来的特征向量自动线性无关，不必另外验。重根要单独看，见下面的折叠块。

重根时为什么会缺方向

\(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) 的 \(\lambda=1\) 是二重根，解 \((A-E)x=0\) 只约化出 \(x_2=0\) 一个条件，特征子空间是一维的，只能取出一支独立向量。代数重数是 2，几何重数是 1，缺的那个方向补不上。几何重数永远不超过代数重数，两者相等时矩阵才有 \(n\) 支独立特征向量。

同一个单位正方形，三种命运。左：两条边都留在原方向；中：只留一条；右：一条也不留，转过去 40°。

五、换个矩阵，特征值怎么变

知道 \(A\) 的特征值以后，一串相关矩阵的特征值不用重算，因为它们挂的是同一批特征向量。

定理（特征值的传递）

设 \(\lambda\) 是 \(A\) 的特征值，\(x\) 是相应的特征向量。则 \(k\lambda\)、\(\lambda^m\) 分别是 \(kA\)、\(A^m\) 的特征值，对任意多项式 \(f\)，\(f(\lambda)\) 是 \(f(A)\) 的特征值，特征向量都还是 \(x\)。若 \(A\) 可逆，则 \(\lambda\ne0\)，\(\lambda^{-1}\) 是 \(A^{-1}\) 的特征值，\(|A|/\lambda\) 是 \(A^{*}\) 的特征值。

理由是同一条式子反复用。\(Ax=\lambda x\) 两边左乘 \(A\) 得 \(A^2x=\lambda Ax=\lambda^2x\)，乘 \(m\) 次就到 \(A^mx=\lambda^mx\)；多项式那一串把 \(A\) 一处一处换成 \(\lambda\)，\(x\) 从头到尾不动。可逆的情形反着做，两边乘 \(A^{-1}\) 得 \(x=\lambda A^{-1}x\)，\(\lambda\) 不为零时除过去就完了。

几个数顺带也一起有了：\(|A|=\lambda_1\cdots\lambda_n\)，\(|A^{-1}|=1/|A|\)，\(|A^{*}|=|A|^{n-1}\)。另外 \(A\) 与 \(A^T\) 的特征多项式相同，因为 \(|\lambda E-A^T|=|(\lambda E-A)^T|=|\lambda E-A|\)，所以两者特征值一样，特征向量通常不同。

矩阵还满足一条更强的等式：把特征多项式里的 \(\lambda\) 整个换成 \(A\)，得到的是零矩阵。

定理（凯莱-哈密顿）

设 \(f(\lambda)=|\lambda E-A|=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\dots+a_n\) 是 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的特征多项式，则 \(f(A)=A^n+a_1A^{n-1}+\dots+a_nE=O\)。也就是 \(A\) 满足自己的特征方程。

用处是把高次幂压回低次：\(n\) 阶方阵的 \(A^n\) 能用 \(A^{n-1},\dots,A,E\) 线性表出，任何多项式都能一路降到 \(n-1\) 次以下。求逆也走这条路，把常数项挪到等号另一边，再提出一个 \(A\)，得 \(A^{-1}=-\dfrac{1}{a_n}\left(A^{n-1}+a_1A^{n-2}+\dots+a_{n-1}E\right)\)，其中 \(a_n=(-1)^n|A|\) 不为零，所以这式子只在 \(A\) 可逆时说得通。

1858 年，剑桥

矩阵满足自己的方程

「每个方阵都满足它自己的特征方程。」（转述）

凯莱《矩阵论》（A Memoir on the Theory of Matrices），1858 年

凯莱在这篇论文里第一次把矩阵当成能加能乘的对象，顺手写下 2 阶与 3 阶情形的这条恒等式；哈密顿在四元数的工作里碰到了同一件事。定理的一般证明要等到 1870 年前后，而考场上用它求逆，只需要把常数项挪到另一边再提一个 \(A\) 出来。

六、实对称矩阵

前面几节允许特征值落在复平面上。有一类矩阵的根一定在实轴上，而且不同根上的特征向量互相垂直，这类矩阵满足 \(A^T=A\)，叫实对称矩阵。

定理（实对称矩阵的特征值与特征向量）

实对称矩阵的特征值都是实数；属于不同特征值的特征向量互相正交。

正交这一条给计算带来方便。把 \(n\) 个特征向量各自单位化，再横着拼成一个矩阵 \(P\)，\(P\) 的列两两垂直、长度都是 1，满足 \(P^TP=E\)；用 \(P\) 换一组基，\(A\) 就变成对角矩阵，对角线正是那些特征值。第七章会把这件事写成相似对角化的完整判据。

现实里的对称矩阵很多：二次型的矩阵、刚体的惯性张量、数据的协方差矩阵。欧拉找主轴，找的就是惯性张量的特征向量，只是他的论文里这些词一个都还没有。

1743 年，柏林

刚体绕哪条轴转得最省事

「求三条互相垂直的轴，使刚体关于各轴的惯性积都为零。」（意译）

欧拉 1743 年关于刚体转动的论文，此处按通行叙述转述

这三条轴就是惯性张量（一个实对称矩阵）的特征向量，欧拉用它们把转动方程拆成三个互不牵连的式子，算起来一下子轻了。拉格朗日 1774 年、拉普拉斯 1780 年处理天体力学里的同类问题时也做过这件事，柯西 1829 年把二次型的对角化写成一般方法，主轴才从力学里独立出来。

怎么算

先看阶数和主对角线。把迹和行列式算出来记在草稿角上，后面要拿它们对答案。
写 \(|\lambda E-A|\)，不要写 \(A-\lambda E\) 之后又改符号。行列式先按行或按列降阶，再展开成多项式。
3 阶先试整根。常数项是 \(|A|\)，整根只可能是 \(|A|\) 的因数，从 \(\pm1,\pm2,\pm3\) 试起，试出一个就做多项式除法降次。
每个根回代解 \((A-\lambda E)x=0\)。化行阶梯形，取基础解系；同一个 \(\lambda\) 只取线性无关的那几支。
三角矩阵不用算。上三角、下三角、对角矩阵的特征值就是主对角线上的数，行列式那一步省掉。

手算最容易错的三处

一是把 \(A-\lambda E\) 里某一行的符号抄反，整条多项式跟着错；二是解出 \(\lambda\) 就交卷，忘了回代求特征向量；三是同一个特征值下把两支成比例的向量都写上去，把一维的特征子空间当成了二维。前两处直接扣分，第三处往往被判成概念不清。

例题

例 1　求 \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&4\end{pmatrix}\) 的特征值与特征向量。

\(f(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-4)+2=\lambda^2-5\lambda+6\)，根是 2 与 3，和 5 是迹，积 6 是 \(|A|\)，都对得上。\(\lambda=2\) 时 \((A-2E)x=0\) 给出 \(x_1+x_2=0\)，特征向量取 \((1,-1)^T\)；\(\lambda=3\) 时给出 \(2x_1+x_2=0\)，取 \((1,-2)^T\)。

例 2　求 \(A=\begin{pmatrix}-1&1&0\\-4&3&0\\1&0&2\end{pmatrix}\) 的特征值与特征向量。

\(|\lambda E-A|\) 沿第三列展开得 \((\lambda-2)(\lambda-1)^2\)，特征值是 2 与二重根 1。\(\lambda=2\) 时 \((A-2E)x=0\) 逼出 \(x_1=x_2=0\)，特征向量取 \((0,0,1)^T\)；\(\lambda=1\) 时得 \(x_2=2x_1\)、\(x_3=-x_1\)，只有一支独立向量 \((1,2,-1)^T\)。

例 3　求 \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\) 的特征值，并说明它在平面上做了什么。

\(f(\lambda)=(\lambda-1)^2+1=\lambda^2-2\lambda+2\)，判别式 \(4-8<0\)，根是 \(1+i\) 与 \(1-i\)。迹 2、行列式 2 都对得上。没有实特征值，平面上没有不动方向；这个矩阵把平面转 45°，再放大 \(\sqrt2\) 倍。

习题

A 档巩固定义与基本计算，每题五分钟内

1. 写出 \(\mathrm{diag}(2,-3,1)\) 的全部特征值，并说明为什么不必算行列式。

看答案

对角矩阵把三个坐标轴方向分别乘上 2、−3、1，\(e_1,e_2,e_3\) 就是特征向量，特征值是 2、−3、1。\(|\lambda E-A|\) 也直接拆成 \((\lambda-2)(\lambda+3)(\lambda-1)\)。

2. 求 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) 的特征值与特征向量。

看答案

\(f(\lambda)=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)\)，特征值 3 与 −1。\(\lambda=3\) 时 \(x_1=x_2\)，取 \((1,1)^T\)；\(\lambda=-1\) 时 \(x_1=-x_2\)，取 \((1,-1)^T\)。

3. 求上三角矩阵 \(\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-1&4\\0&0&5\end{pmatrix}\) 的特征多项式与特征值。

看答案

三角矩阵的 \(|\lambda E-A|\) 等于对角元相乘：\((\lambda-2)(\lambda+1)(\lambda-5)\)。特征值是 2、−1、5，和 6 等于迹，积 −10 等于行列式。

4. 设 2 阶矩阵 \(A\) 的特征值是 2 与 5，写出 \(\mathrm{tr}\,A\) 与 \(|A|\)；反过来，只给迹 7、行列式 10，两个特征值是多少。

看答案

\(\mathrm{tr}\,A=7\)，\(|A|=10\)。反过来两个特征值是 \(\lambda^2-7\lambda+10=0\) 的根，还是 2 与 5。

5. 判断 \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) 有没有实特征值，并说出它对平面做了什么。

看答案

\(f(\lambda)=\lambda^2+1\)，根是 \(\pm i\)，没有实特征值。它把平面绕原点转 90°，没有哪支向量留在原方向上。

6. 设 \(x\) 是 \(A\) 属于 \(\lambda\) 的特征向量，\(k\ne0\)。验证 \(kx\) 也是特征向量；再验证 \(A^2\) 的特征值是 \(\lambda^2\)。

看答案

\(A(kx)=kAx=k\lambda x=\lambda(kx)\)，所以 \(kx\) 属于同一个 \(\lambda\)。\(A^2x=A(\lambda x)=\lambda Ax=\lambda^2x\)，特征向量还是 \(x\)。

B 档综合题，接近期末与考研难度

1. 求 \(A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}\) 的特征值与特征向量。

看答案

\(f(\lambda)=(\lambda-5)(\lambda+1)^2\)，特征值 5 与二重根 −1。\(\lambda=5\) 时 \(x_1=x_2=x_3\)，取 \((1,1,1)^T\)；\(\lambda=-1\) 时只剩 \(x_1+x_2+x_3=0\)，取 \((1,-1,0)^T\) 与 \((1,0,-1)^T\)，共 3 支独立向量。

2. 设 \(A\) 可逆，\(\lambda\) 是 \(A\) 的特征值。写出 \(A^{-1}\)、\(A^{*}\)、\(A^2+2A+E\) 的特征值，并说明 \(A\) 可逆与 0 不是特征值是一回事。

看答案

依次是 \(\lambda^{-1}\)、\(|A|/\lambda\)、\((\lambda+1)^2\)。\(|A|=\lambda_1\cdots\lambda_n\)，所以 \(A\) 可逆时每个特征值都不为零，反过来也成立。

3. 证明 \(A\) 与 \(A^T\) 的特征多项式相同，由此说明两者特征值一样、特征向量一般不同。

看答案

\(|\lambda E-A^T|=|(\lambda E-A)^T|=|\lambda E-A|\)，转置不改变行列式，两个多项式逐项相同。特征值是多项式的根，当然一样；特征向量是各自方程组的解，一般不同。

4. 已知 3 阶矩阵 \(A\) 的特征值为 1、2、3，求 \(\mathrm{tr}\,A\)、\(|A|\)、\(|A^{*}|\) 与 \(|A^{-1}+E|\)。

看答案

\(\mathrm{tr}\,A=6\)，\(|A|=6\)，\(|A^{*}|=|A|^{2}=36\)。\(A^{-1}+E\) 的特征值是 \(1/\lambda_i+1\)，三个都为正，行列式是 \(2\cdot\frac32\cdot\frac43=4\)。

C 档拓展与历史原题

1.（欧拉，1743）刚体的惯性张量是 3 阶实对称矩阵。用本章的定理说明它的三个特征值都是实数，三条主轴两两垂直。

看答案

实对称矩阵的特征值全为实数，属于不同特征值的特征向量正交，所以三条实主轴存在且互相垂直。三个特征值就是绕三条主轴转动的惯性矩。

2.（凯莱-哈密顿，1858）取 \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，验证 \(f(A)=O\)，并由此求 \(A^{-1}\)。

看答案

\(f(\lambda)=\lambda^2-5\lambda-2\)，算出 \(A^2-5A-2E=O\)，直接验算成立。把 \(-2E\) 挪到右边再乘 \(A^{-1}\)，得 \(A^{-1}=(A-5E)/2=\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}\)。

3. 求 \(A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\) 的特征值与特征向量，并检验不同特征值的特征向量是否正交。

看答案

\(f(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+1)^2\)，\(\lambda=2\) 对应 \((1,1,1)^T\)，\(\lambda=-1\) 对应 \((1,-1,0)^T\) 与 \((1,0,-1)^T\)。三支向量两两点积皆为零，因为 \(A\) 是实对称矩阵。

思考题不设标准答案，只给提示

1. 特征向量能不能是零向量？如果允许，每个数会变成什么。

看提示

若允许 \(x=0\)，\(Ax=0=\lambda\cdot0\) 对任何 \(\lambda\) 都成立，任何数都成了特征值，特征值这个概念就失去分辨力。定义里那句「非零」是拿来撑住整条定理的。

2. 一个 \(n\) 阶矩阵最多有几支线性无关的特征向量？重根时为什么可能凑不够。

看提示

最多 \(n\) 支。重根的特征子空间维数可能小于重数，\(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) 就只给出一支。这件事决定矩阵能否对角化，第七章展开。

3. 迹在换一组基之后为什么不变？这件事对相似矩阵意味着什么。

看提示

迹等于特征值之和，而特征值是特征多项式的根，换基不改变特征多项式。所以相似矩阵的迹与行列式都相同，它们是最省事的两个不变量。

特征值与特征向量