第六章算出了特征值与特征向量，那是「找方向」的工作：矩阵沿某些方向作用，只把向量拉长或压短，方向原地不动。接下来的问题很直接：能不能把这几个方向当成新坐标轴，让矩阵在新坐标里就剩对角线上的几个数。1858 年凯莱先把这件事写成了矩阵之间的等价关系，12 年后若尔当补上了对不了角的那一批，再往后西尔维斯特与雅可比用它把二次型化成了平方和。
一、换一组基，矩阵跟着变
第五章算过坐标：同一支箭头，换一组基去量，得到的读数整列都换。矩阵是给线性变换配的记录，也躲不开这件事。变换本身不动，它把一支箭头送到另一处，这跟你怎么量没有关系，可一旦挑定基，前后的坐标都得用这组基来写，写出来的数字表就跟着变了。
设变换在旧基下的矩阵是 \(A\)，在新基下的矩阵是 \(B\)，\(P\) 是从新基到旧基的过渡矩阵，那么 \(B=P^{-1}AP\)。这个式子第五章推过一次，这里只要记住它描述的动作：先用 \(P\) 把新坐标翻译成旧坐标，让 \(A\) 干活，再用 \(P^{-1}\) 把结果翻译回去。三步连起来，效果等于在新基下直接用 \(B\)。
定义（相似矩阵）
设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶矩阵。若存在可逆矩阵 \(P\)，使 \(P^{-1}AP=B\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 相似，记作 \(A\sim B\)，\(P\) 叫相似变换矩阵。
相似是一个等价关系。\(A\) 与自己相似，取 \(P=E\) 即可；\(A\) 与 \(B\) 相似，把式子反过来写就得到 \(B\) 与 \(A\) 相似，那个矩阵是 \(P^{-1}\)；至于传递性，两个相似变换矩阵乘起来还是可逆矩阵。所以相似类里的矩阵地位完全平等，挑哪一个当代表都行。
挑选代表的标准很好定：哪个好算就用哪个。对角阵在这一项上无人能敌，乘方只把对角线上的数各自乘方，求逆只把每个数取倒数，解方程组更是一眼到底。相似要回答的问题于是变得具体，这一个相似类里到底有没有对角阵，如果有，把它找出来。
1858 年，剑桥
凯莱把矩阵当成一个东西
「同一个线性变换，换一组坐标来写，得到的矩阵彼此只差一次相似变换。」（译文）
凯莱《矩阵论稿》，《纯粹与应用数学杂志》第 50 卷，1858 年
凯莱第一次把矩阵当成可以相加、相乘的对象，也注意到换基不改变它的特征方程。他的对角化只覆盖特征向量够用的那一批，西尔维斯特与雅可比后来把它铺到二次型上。
二、相似能保住什么
找代表之前，先弄清哪些东西换基也换不掉。特征多项式就换不掉：设 \(B=P^{-1}AP\)，则
\[ |\lambda E-B|=|P^{-1}(\lambda E-A)P|=|P^{-1}|\cdot|\lambda E-A|\cdot|P|=|\lambda E-A|, \]两个行列式逐项相等，特征值连同各自的重数一起相同。这条计算只用了一个事实：行列式对乘法可分，而 \(|P^{-1}|\) 与 \(|P|\) 互为倒数，乘起来是 1。
定理（相似不变量）
相似矩阵有相同的特征多项式，因而特征值相同；它们的行列式、迹、秩也相同。反过来不成立。
行列式与迹跟着特征多项式走，因为 \(|A|\) 等于全部特征值之积，\(\operatorname{tr}(A)\) 等于全部特征值之和，这两个数由多项式直接读得。秩要走另一条路：\(P\) 可逆，乘一个可逆矩阵不改变秩，所以 \(r(B)=r(A)\)。四条不变量都是「否证工具」，算出来对不上，立刻可以断定两个矩阵不相似，省掉找 \(P\) 的工夫。
反过来那一句要靠例子撑住。单位阵 \(E\) 与剪切阵 \(\left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) 的特征多项式都是 \((\lambda-1)^2\)，行列式都是 1，迹都是 2，秩都是 2，可它们并不相似：若 \(A\) 与 \(E\) 相似，则 \(P^{-1}EP=E\)，相似于 \(E\) 的矩阵只有 \(E\) 自己。要判相似，还得把特征子空间的维数搬出来，这件事留到下一节。
特征值一样却不相似，差的那一点在哪里
差在特征子空间的维数。剪切阵只有一条特征方向，解 \((\lambda E-A)x=0\) 得到的一维空间装不下两个线性无关的向量；单位阵的每个方向都是特征方向。下一节的两个重数正是给这个差别准备的刻度，可对角化的判据就写在它们身上。
三、什么时候能对角化
对角化的目标写出来很短：找一个可逆矩阵 \(P\)，使 \(P^{-1}AP=\Lambda\)，其中 \(\Lambda\) 是对角阵。两边左乘 \(P\)，得 \(AP=P\Lambda\)。设 \(P\) 的列是 \(p_1,\dots,p_n\)，\(\Lambda\) 的对角元是 \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\)，那么 \(AP\) 的第 \(j\) 列是 \(Ap_j\)，\(P\Lambda\) 的第 \(j\) 列是 \(\lambda_jp_j\)，逐列比较就得到 \(Ap_j=\lambda_jp_j\)。
这说明 \(P\) 的每一列都得是 \(A\) 的特征向量，\(\lambda_j\) 是对应的特征值。\(P\) 还要求可逆，也就是这 \(n\) 列线性无关。反方向也通：手上凑够 \(n\) 个线性无关的特征向量，按列排成 \(P\)，上面那串等式倒着推一遍，\(P^{-1}AP=\Lambda\) 自动成立，连 \(P^{-1}\) 的形状都不必先知道。
定理（对角化的充要条件）
\(n\) 阶矩阵 \(A\) 与对角阵相似，当且仅当 \(A\) 有 \(n\) 个线性无关的特征向量。此时 \(\Lambda\) 的对角元是这些特征向量对应的特征值，\(P\) 的列按同样的次序排列。
问题由此推回到一句数数的话：特征向量够不够 \(n\) 个。特征向量总是成堆出现的，属于 \(\lambda_0\) 的全部特征向量添上零向量，组成齐次方程组 \((\lambda_0E-A)x=0\) 的解空间，这个解空间的维数 \(n-r(\lambda_0E-A)\) 叫 \(\lambda_0\) 的几何重数，它数的就是能挑出的线性无关特征向量的个数。
另一个重数从特征多项式上读。代数重数是 \(\lambda_0\) 作为 \(|\lambda E-A|\) 的根出现的次数，也就是因式 \((\lambda-\lambda_0)\) 的幂次。两个重数通常不相等，比较它们的大小就能判断对角化的成败。
定理（两个重数的关系）
设 \(\lambda_0\) 是 \(A\) 的 \(k\) 重特征值，它的几何重数为 \(m\)，则 \(1\le m\le k\)。\(A\) 可对角化的充要条件是每个特征值的几何重数都等于代数重数，也就是说，各特征值的几何重数加起来正好等于 \(n\)。
这两个数之间的差额是整件事的关键。差额全为零时，属于不同特征值的特征向量组之间自动线性无关，拼起来正好 \(n\) 个，按列排成 \(P\) 就完事。只要有一个特征值的几何重数小于代数重数，能挑出的向量就凑不满 \(n\) 个，对角化在那一步失败。\(n\) 个特征值互不相同时每个代数重数都是 1，几何重数只能是 1，差额自然为零，所以「特征值互不相同」是一条现成的充分条件。
几何重数凭什么不会超过代数重数
取 \(\lambda_0\) 的特征子空间的一组基 \(q_1,\dots,q_m\)，把它扩成整个空间的一组基，用这组基写出 \(A\) 的相似矩阵，形状是分块上三角：左上角是 \(\lambda_0E\)，右下角是一块 \((n-m)\) 阶矩阵。分块上三角的行列式等于对角两块之积，于是特征多项式里至少含有 \((\lambda-\lambda_0)^m\)。所以 \(m\le k\)。
四、实对称矩阵：一定能对角化
实对称矩阵指满足 \(A^{T}=A\) 的实矩阵。二次型、协方差阵、振动问题的刚度矩阵都长这个样子，它们不但是可对角化的，挑出来的那一组 \(P\) 还能挑成正交矩阵，用起来比一般情形省一道求逆的手续。
定理（实对称矩阵的两条性质）
实对称矩阵的特征值全是实数；属于不同特征值的特征向量互相正交。
第二条的证明只用对称性。设 \(A\alpha=\lambda\alpha\)，\(A\beta=\mu\beta\)，在第一式两边左乘 \(\beta^{T}\)，再用 \(A^{T}=A\) 把 \(A\) 从 \(\alpha\) 那一侧挪到 \(\beta\) 那一侧，得 \(\lambda\beta^{T}\alpha=\mu\beta^{T}\alpha\)。\(\lambda\ne\mu\) 时只剩 \(\beta^{T}\alpha=0\)，两个向量正交。第一条要把矩阵放到复数上算，用共轭转置做同样的挪动，会得到 \(\bar\lambda=\lambda\)。
定理（主轴定理）
设 \(A\) 是 \(n\) 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 \(Q\)，使 \(Q^{T}AQ=Q^{-1}AQ=\Lambda\) 为对角阵，对角元是 \(A\) 的全部特征值。
找 \(Q\) 的步骤是固定的：求全部特征值；对每个特征值解 \((\lambda E-A)x=0\) 取基础解系；同一个特征值里若有多个向量，先用施密特正交化把它们弄成两两正交；再逐个单位化；最后按列排成 \(Q\)。因为 \(Q\) 是正交矩阵，\(Q^{-1}\) 就是 \(Q^{T}\)，求逆这一步整个省掉，这也是实对称情形比一般情形好算的地方。
这条定理最常用的地方是把二次曲面摆正。曲面方程 \(x^{T}Ax=1\) 里的 \(A\) 是实对称矩阵，作正交变换 \(x=Qy\)，方程立刻变成 \(\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2=1\)，交叉项一个不剩，三条半轴的长度是 \(1/\sqrt{|\lambda_i|}\)。拿 \(5x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2=1\) 试一遍：\(A=\left(\begin{smallmatrix}5&2\\2&2\end{smallmatrix}\right)\) 的特征值是 1 与 6，特征向量 \((1,-2)\) 与 \((2,1)\) 已经正交，转过去得 \(y_1^2+6y_2^2=1\)，一条半轴为 1 与 \(1/\sqrt{6}\) 的椭圆。
同一个特征值里的那几个向量为什么要再做正交化
因为定理只保证不同特征值的特征向量正交，同一个特征值的特征子空间里，随便取的基底一般并不垂直。比如 \(\lambda_0\) 是二重的，解出来的两个向量只是线性无关。对它们做一次施密特正交化，正交性就补齐了，\(Q\) 才成为正交矩阵。
五、若尔当标准型
对不了角的矩阵很多，它们也需要一个「最简代表」。办法是把单位阵换成 \(\lambda E\)，再在对角线上面留一排 1，得到 \(\left(\begin{smallmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{smallmatrix}\right)\) 这样的块，再把块沿对角线拼起来。
定义（若尔当块与若尔当标准型）
主对角线上全是 \(\lambda\)、紧挨着的上一条对角线上全是 1、其余位置全是 0 的 \(k\) 阶矩阵叫 \(k\) 阶若尔当块，记作 \(J_k(\lambda)\)。由若干个若尔当块拼成的块对角矩阵叫若尔当标准型。
定理（若尔当标准型的存在与唯一）
任一复方阵 \(A\) 都相似于一个若尔当标准型；除去各块的排列次序，这个标准型由 \(A\) 唯一决定。
若尔当块做的事很具体：沿一个方向伸缩 \(\lambda\) 倍，同时把另一个方向往它身上推。二阶块 \(J_2(1)\) 就是第二节那个剪切，它的特征子空间只有一维，代数重数 2，几何重数 1，差额 1 恰好对应一个 2 阶块。差额为零的地方，块退化成 1 阶，标准型就是对角阵，所以对角化只是若尔当标准型的一个特例。
实际判断时用不着把标准型算出来，两个重数就够了。差额全为零，标准型全由 1 阶块组成，就是对角阵；某处差额是 \(d\)，那个特征值的块总共比 1 阶多占了 \(d\) 个位置。考试问「能否对角化」，回答的落点永远在这组比较上。
1870 年，巴黎
若尔当补上剩下的那一批
「把一个置换拆成循环，把一个矩阵拆成块，剩下的问题都落在一块之内。」（译文）
若尔当《置换与可解方程论》，1870 年
若尔当研究置换群时得到这个标准型，用的是群论语言，后来才改写成矩阵的样子。它把「能不能对角化」换成了「块有多大」：对不了角的矩阵，标准型里就有 2 阶以上的块，块的大小由两个重数的差额定下来。
怎么算
- 先算特征值。解 \(|\lambda E-A|=0\)。三阶矩阵先看行和是否相等，相等时 \(\lambda\) 等于行和是一个根，提走它剩下的就是二次式。
- 再算每个特征值的特征向量。解 \((\lambda E-A)x=0\) 取基础解系，解里自由未知数的个数就是几何重数，顺手记下来。
- 比两个重数。几何重数等于代数重数，能对角化；小一个，就不能。这一步比求 \(P\) 更要紧，判错了后面全白做。
- 写 \(P\) 要对齐次序。第 \(j\) 列放 \(\lambda_j\) 的特征向量，\(\Lambda\) 的第 \(j\) 个对角元就得是 \(\lambda_j\)，顺序错了乘积就不是对角阵。
- 实对称就多走两步。同一特征值内部先施密特正交化，再全部单位化，\(P\) 直接是正交矩阵，\(P^{-1}=P^{T}\)，不必求逆。
验算 \(P^{-1}AP\) 有没有算对
不用真的乘三遍矩阵，检查两件事就够：\(\Lambda\) 对角线上第 \(j\) 个数应当等于 \(P\) 第 \(j\) 列对应的那个特征值；\(\operatorname{tr}(\Lambda)\) 应当等于 \(\operatorname{tr}(A)\)，\(|\Lambda|\) 应当等于 \(|A|\)。这两条对不上，一定是 \(P\) 的列排错了或者特征向量算错了。
例题
例 1 把 \(A=\left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right)\) 对角化，写出 \(P\) 与 \(\Lambda\)。
\(|\lambda E-A|=(\lambda-2)^2-1=(\lambda-3)(\lambda-1)\)，特征值 3 与 1。解 \((3E-A)x=0\) 得 \(x_1=x_2\)，取 \((1,1)\)；解 \((E-A)x=0\) 得 \(x_1=-x_2\)，取 \((1,-1)\)。两者线性无关，\(P=\left(\begin{smallmatrix}1&1\\1&-1\end{smallmatrix}\right)\)，\(P^{-1}AP=\operatorname{diag}(3,1)\)。
例 2 判断 \(A=\left(\begin{smallmatrix}3&1&0\\0&3&0\\0&0&1\end{smallmatrix}\right)\) 能否对角化。
上三角矩阵的对角元就是特征值，3 是二重根，1 是一重根。\(3E-A\) 的第一行是 \((0,-1,0)\)、第三行是 \((0,0,2)\)，秩为 2，几何重数 \(3-2=1\)，小于代数重数 2，凑不出三个线性无关的特征向量，不能对角化。
例 3 求正交矩阵 \(Q\)，使 \(Q^{T}AQ\) 为对角阵，其中 \(A=\left(\begin{smallmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{smallmatrix}\right)\)。
\(|\lambda E-A|=(\lambda-2)(\lambda+1)^2\)，特征值 2 与 \(-1\)（二重）。\(\lambda=2\) 得 \((1,1,1)\)，单位化后是 \((1,1,1)/\sqrt{3}\)；\(\lambda=-1\) 时解 \(x_1+x_2+x_3=0\)，取 \((1,-1,0)/\sqrt{2}\) 与 \((1,1,-2)/\sqrt{6}\)，它们恰好已经正交。三列排成 \(Q\)，得 \(Q^{T}AQ=\operatorname{diag}(2,-1,-1)\)。
习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题五分钟内
1. 写出相似矩阵的定义，并验证 \(\left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right)\) 与 \(\operatorname{diag}(3,1)\) 相似。
看答案
存在可逆矩阵 \(P\) 使 \(P^{-1}AP=B\) 时称 \(A\) 与 \(B\) 相似。取 \(P=\left(\begin{smallmatrix}1&1\\1&-1\end{smallmatrix}\right)\)，它的两列分别是特征值 3 与 1 的特征向量，直接算出 \(P^{-1}AP=\operatorname{diag}(3,1)\)。
2. 求 \(A=\left(\begin{smallmatrix}3&1\\0&2\end{smallmatrix}\right)\) 的特征值、行列式与迹。
看答案
上三角矩阵的对角元就是特征值，3 与 2，都是单根，所以可对角化。\(|A|=6\)，\(\operatorname{tr}(A)=5\)，正好等于两个特征值之积与之和。
3. 判断 \(\left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) 能否对角化。
看答案
特征值只有 1，代数重数 2。解 \((E-A)x=0\) 时第二个未知数必须为零，几何重数 1，小于 2，不能对角化。
4. 三阶矩阵 \(A\) 的特征值为 1、2、2，且 \(r(2E-A)=2\)，它能否对角化？
看答案
\(\lambda=2\) 的几何重数是 \(3-2=1\)，代数重数 2，差额为 1，不能对角化。1 是一重根，几何重数必为 1，不参与判断。
5. 设 \(A=\operatorname{diag}(2,-1,3)\)，求 \(A^4\) 与 \(A^{-1}\)。
看答案
对角阵逐元素运算：\(A^{4}=\operatorname{diag}(16,1,81)\)，\(A^{-1}=\operatorname{diag}(1/2,-1,1/3)\)。三个特征值互不相同，这个矩阵本来就已是对角阵。
6. 实对称矩阵 \(A\) 的特征值为 1、1、\(-2\)，求 \(|A|\) 与 \(\operatorname{tr}(A)\)。
看答案
\(|A|=1\times1\times(-2)=-2\)，\(\operatorname{tr}(A)=1+1-2=0\)。这两个数由特征值完全定死，与特征向量的取法无关。
B 档 综合题，接近期末与考研难度
1. 设 \(A=\left(\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right)\)，求 \(A^{n}\)。
看答案
\(P^{-1}AP=\operatorname{diag}(3,1)\)，于是 \(A^{n}=P\operatorname{diag}(3^{n},1)P^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{smallmatrix}3^{n}+1&3^{n}-1\\3^{n}-1&3^{n}+1\end{smallmatrix}\right)\)。乘方之所以好算，是因为 \(P\) 把矩阵搬到了对角形态下。
2. \(A=\left(\begin{smallmatrix}2&0&0\\0&2&0\\1&0&1\end{smallmatrix}\right)\) 能否对角化？可以就写出 \(P\)。
看答案
\(|\lambda E-A|=(\lambda-2)^2(\lambda-1)\)。\(\lambda=2\) 时 \(2E-A\) 只有一行非零，秩为 1，几何重数 \(3-1=2\)，等于代数重数，可以对角化。取 \((1,0,1)\)、\((0,1,0)\) 与 \(\lambda=1\) 的 \((0,0,1)\) 排成 \(P\)，得 \(\Lambda=\operatorname{diag}(2,2,1)\)。
3. 设 \(A^{2}=A\) 且 \(r(A)=1\)，证明 \(A\) 可对角化，并写出与它相似的对角阵。
看答案
由 \(A^{2}=A\) 得 \(\lambda^{2}=\lambda\)，特征值只能是 0 与 1。任一向量可写成 \(x=Ax+(x-Ax)\)，前一项满足 \(A(Ax)=Ax\)，是 \(\lambda=1\) 的特征向量，后一项落在 \(A\) 的零空间里。两个特征子空间张满整个空间，几何重数等于代数重数，因此可对角化。秩为 1 说明 \(\lambda=1\) 只占一维，\(A\sim\operatorname{diag}(1,0,\dots,0)\)。
4. 设 \(A\sim B\)，证明 \(A^{k}\sim B^{k}\)；若 \(A\) 可逆，再证 \(A^{-1}\sim B^{-1}\)。
看答案
由 \(B=P^{-1}AP\) 反复代入得 \(B^{k}=P^{-1}A^{k}P\)。可逆时对 \(B=P^{-1}AP\) 两边取逆，得 \(B^{-1}=P^{-1}A^{-1}P\)，用的是 \((P^{-1}AP)^{-1}=P^{-1}A^{-1}P\) 这条顺序反转的规律。
C 档 拓展与历史原题
1.（西尔维斯特、雅可比）用正交变换把 \(f=5x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2\) 化成标准形，并说出 \(f=1\) 对应的曲线类型。
看答案
系数矩阵的特征值是 1 与 6，特征向量 \((1,-2)\)、\((2,1)\) 正交，单位化后作 \(x=Qy\)，得 \(f=y_1^2+6y_2^2\)。方程 \(f=1\) 化成 \(y_1^2+6y_2^2=1\)，半轴是 1 与 \(1/\sqrt{6}\)，是一条椭圆。两个特征值都为正，正惯性指数为 2，所以不可能是双曲线。
2.（斐波那契）设 \(M=\left(\begin{smallmatrix}1&1\\1&0\end{smallmatrix}\right)\)，且 \(\left(\begin{smallmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{smallmatrix}\right)=M^{n}\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)\)。用对角化求出 \(F_n\) 的公式。
看答案
\(M\) 的特征值是 \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\) 与 \(\psi=\frac{1-\sqrt5}{2}\)，特征向量是 \((\varphi,1)\) 与 \((\psi,1)\)。把初值沿这两支拆开，\(M^{n}\) 只把两支分别乘上 \(\varphi^{n}\) 与 \(\psi^{n}\)，合起来得 \(F_n=(\varphi^{n}-\psi^{n})/\sqrt5\)。\(|\psi| \lt 1\)，所以 \(\psi^{n}/\sqrt5\) 很快降到可以忽略。
3.（若尔当，1870）为什么 \(\left(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right)\) 不能对角化？它在若尔当标准型里是什么样子？
看答案
特征值只有 1，代数重数 2，解 \((E-A)x=0\) 只得到一维特征子空间，几何重数 1，凑不出两个线性无关的特征向量。这个矩阵本身就是 2 阶若尔当块 \(J_2(1)\)，不必再化简。代数重数减几何重数等于 1，正是这个块比对角阵多出来的那个 1。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 特征多项式、行列式、迹三者全同的两个矩阵仍可能不相似，这些量漏掉了什么？
看提示
漏掉的是特征值之外的结构：每个特征子空间有多大。剪切阵与单位阵的差别就在这儿，两个矩阵的特征值一样，能挑出的特征向量个数不一样，一边是一个方向，一边是整个平面。
2. 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量为什么一定正交？
看提示
把 \(\beta^{T}A\alpha\) 用两种方式算一遍：一次让 \(A\) 作用在 \(\alpha\) 上得 \(\lambda\beta^{T}\alpha\)，一次用 \(A^{T}=A\) 让 \(A\) 作用在 \(\beta\) 上得 \(\mu\beta^{T}\alpha\)。两式相等，而 \(\lambda\ne\mu\)，只能 \(\beta^{T}\alpha=0\)。
3. 对角化时 \(P\) 的列为什么必须是特征向量，随便挑一组线性无关的向量不行吗？
看提示
把 \(AP=P\Lambda\) 的两边逐列比一比就清楚了：右边的第 \(j\) 列是 \(\lambda_j\) 乘上 \(P\) 的第 \(j\) 列，所以左边必须也等于它，也就是 \(Ap_j=\lambda_jp_j\)。换一组随便的向量，乘积里会出现别的东西。
延伸阅读
- 同济大学数学系《线性代数》第六版，第五章第一至四节。本章的记号、例题口径与习题难度以这本为准。
- Arthur Cayley, A Memoir on the Theory of Matrices, 1858。相似与特征方程的说法都从这里起步，篇幅不长，可以直接读。
- Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations solvables, 1870。标准型出现在置换群的分解里，用的是群论语言。
- Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 第 6 章。对角化与谱分解讲得更依赖几何直观，配的例题多。