\(n\) 元二次型就是每一项都恰好二次的多项式，比如 \(f=2x^2+4xy+5y^2\)，把它设成 1 画出来是一条斜着的椭圆，可系数里没有一个数直接告诉你是椭圆。这一章要做的事是把交叉项消掉，换一组坐标让式子只剩平方项，形状随之露出来。能换到什么程度、换完还剩什么变不掉，是两个问题，后一个的答案由西尔维斯特在 1852 年给出。
一、二次型与它的矩阵
把 \(n\) 个变量的二次齐次多项式写全，是 \(f=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\)，每一项的次数都是 2，这样的式子叫二次型。写全太长，通常把 \(i\lt j\) 的两项合并，得到 \(f=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{nn}x_n^2\) 的形状，再把系数收进矩阵 \(A=(a_{ij})\)，二次型就简写成 \(f=x^{T}Ax\)。
交叉项前面那个 2 值得停一下：\(a_{12}x_1x_2\) 与 \(a_{21}x_2x_1\) 分开看是两项，其实是同一项，合并以后系数是 \(a_{12}+a_{21}\)，把它平分成两半，矩阵就成了对称矩阵。这样规定的好处是二次型与对称矩阵一一对应，给一个二次型，配得上的 \(A\) 只有一个；给一个对称矩阵，也只有一个二次型。后面说「这个二次型的矩阵」，指的就是它，不存在第二种读法。
定义（二次型及其矩阵）
设 \(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^{T}\)，\(A\) 是 \(n\) 阶实对称矩阵，称 \(f=x^{T}Ax\) 为 \(n\) 元二次型，\(A\) 叫这个二次型的矩阵，\(A\) 的秩叫二次型的秩。若 \(A\) 是对角阵，则 \(f\) 只含平方项，称为标准形。
只有平方项、没有交叉项的二次型叫标准形，形如 \(\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\cdots+\lambda_nx_n^2\)，它的矩阵是对角阵，正负号和大小都摆在明面上。二次型这一章的问题几乎都从一个地方出发：能不能换一组坐标，把一般的二次型变成标准形。
交叉项的系数为什么要分给两个位置
因为 \(x^{T}Ax\) 展开时，\(a_{ij}x_ix_j\) 与 \(a_{ji}x_jx_i\) 各来一次，两项加起来正好是 \((a_{ij}+a_{ji})x_ix_j\)。手写的二次型里这个和写作 \(2a_{12}\)，平分成两半，就有 \(a_{12}=a_{21}\)，矩阵对称。若不分，同一个二次型会配上无穷多个矩阵，后面说「它的矩阵」就说不清了。
二、配方法：把交叉项消掉
换坐标这件事先写成式子：令 \(x=Cy\)，\(C\) 可逆，代进 \(f=x^{T}Ax\) 得到 \(f=y^{T}(C^{T}AC)y\)，新矩阵是 \(C^{T}AC\)。要求 \(f\) 变成标准形，就等于要求 \(C^{T}AC\) 是对角阵，而找这样的 \(C\)，手算时最顺的路子是配方。
以 \(f=2x_1^2+4x_1x_2+5x_2^2\) 为例，先把含 \(x_1\) 的项凑成一个完全平方：\(2(x_1+x_2)^2=2x_1^2+4x_1x_2+2x_2^2\)，多给了 \(2x_2^2\)，扣掉之后剩下 \(3x_2^2\)，于是 \(f=2(x_1+x_2)^2+3x_2^2\)。令 \(y_1=x_1+x_2\)、\(y_2=x_2\)，就得到标准形 \(2y_1^2+3y_2^2\)，而这个替换写成 \(x=Cy\) 时，\(C\) 的行列式是 1，可逆，所以合法。
三个变量以上照同一个次序做：先把含 \(x_1\) 的项集中起来配成一个平方，剩下的部分再对 \(x_2\) 配，一路往下降。每配一步都要确认手里的系数不为零，碰上零就换一个变量上来，或者先把两个变量对调。三元化完通常是三个平方项，也可能只剩两个，缺掉的那一个说明原矩阵不满秩。
定理（标准形的存在）
任一二次型都可以经过可逆线性变换化成标准形。所用的变换不唯一，化出来的标准形也不唯一。
配方给出的 \(C\) 可以直接写出来：上例把 \(y_1=x_1+x_2\)、\(y_2=x_2\) 倒过来解，得 \(x_1=y_1-y_2\)、\(x_2=y_2\)，所以 \(C=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\)，验算 \(C^{T}AC=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}\)，与标准形对得上。考试写合同变换要的就是这个 \(C\)，只写标准形不给分。
一个平方项都没有，怎么起手
比如 \(f=2x_1x_2\)，每一项都带两个不同变量，配方没有抓手。先做一次替换 \(x_1=y_1+y_2\)、\(x_2=y_1-y_2\)，得 \(f=2y_1^2-2y_2^2\)，平方项就出来了，再按常规配。三元里遇到 \(x_1^2\) 缺失、只剩交叉项的情形，用的也是这一招。
三、合同：换坐标的矩阵语言
\(C^{T}AC\) 这个形状值得单独起个名字：设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶矩阵，若存在可逆矩阵 \(C\) 使 \(C^{T}AC=B\)，就说 \(A\) 与 \(B\) 合同；把二次型化成标准形，用矩阵的话讲，就是把它合同到对角阵。
定义（合同）
设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶矩阵。若存在可逆矩阵 \(C\)，使 \(C^{T}AC=B\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 合同，记作 \(A\simeq B\)，\(C\) 叫合同变换矩阵。合同是等价关系：自反、对称、传递都成立。
合同与相似只差一处：相似用 \(C^{-1}AC\)，合同用 \(C^{T}AC\)，而这一处的差别决定了两边保住的东西不同。相似保住特征值，因为 \(C^{-1}\) 与 \(C\) 一前一后正好抵消；合同保住对称性与秩，\((C^{T}AC)^{T}=C^{T}A^{T}C\)，而乘可逆矩阵不改变秩。特征值在合同变换下会变，上一节那个例子就是：配方法给出 \(2y_1^2+3y_2^2\)，正交变换给出 \(6y_1^2+y_2^2\)，两套系数都对。
两边在正交矩阵处碰头。\(C\) 正交时 \(C^{T}=C^{-1}\)，合同与相似成了同一句话，矩阵被合同到对角阵的同时也被相似到对角阵，对角元就是特征值。上一章讲实对称矩阵一定能正交对角化，那句话放到二次型上，就是存在一个旋转，把二次型直接写成特征值当系数的平方和；具体做法也现成，求特征值、求单位特征向量、拼成正交矩阵 \(Q\)，\(Q^{T}AQ\) 就是对角的 \(\Lambda\)。
合同与相似什么时候可以混着用
只在 \(C\) 是正交矩阵的时候。这时 \(C^{T}=C^{-1}\)，两条式子重合，对角元既是对角阵的系数，也是原矩阵的特征值。其余情形不能混：合同变换会把特征值改掉，相似变换把它们留住，混着用会把结论算错，比如以为配方法算出来的 2 和 3 是特征值。
四、惯性定理
标准形不唯一，这件事还能再退一步：系数可以随便缩放，把 \(2y_1^2\) 里的 \(y_1\) 换成 \(y_1/\sqrt{2}\)，系数就变成 1，二次型本身一点没动，而这个替换仍然可逆。系数既然能变，就得问一句：还有没有不随变换改变的东西。
有，就是正项与负项的个数：系数能缩放，个数缩放不掉，换一个可逆变换再看，正项与负项各留几个，答案只有一个。这两个数分别叫正惯性指数与负惯性指数，记作 \(p\) 与 \(q\)，两者之和等于矩阵的秩。
定理（惯性定理）
设二次型 \(f=x^{T}Ax\) 的秩为 \(r\)，经任一可逆线性变换化成标准形后，正平方项的个数 \(p\) 与负平方项的个数 \(q\) 由 \(A\) 唯一确定，与所用变换无关，且 \(p+q=r\)。
既然只有个数确定，标准形可以再收拾一步：把正项系数全缩成 1，负项系数全缩成 -1，得到的形状叫规范形，\(y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2\)。规范形由 \(p,q\) 完全决定，两个二次型能互相合同变换过去，当且仅当它们的 \(p,q\) 相同。分类的问题到这儿答完，剩下的只是怎么把 \(p,q\) 算出来。
二元的情形画出来最直观：两项同号时等值线是椭圆，原点取到最大值或最小值；一正一负时等值线是双曲线，原点处两个方向一升一降，是个鞍点。三元的情形对应二次曲面的分类，椭球面、双叶双曲面、锥面就是这样分出来的。
1852 年，伦敦
惯性律第一次被写下来
“把一个齐次二次多项式化成平方和之后，正项的个数与负项的个数不随所用的变换改变。”
西尔维斯特《论二次型的不变量》，1852 年（译文）
西尔维斯特当时在做不变量理论，关心的是哪些量在换坐标后原地不动。惯性律就是二次型的那个不变量，后来成了分类二次曲面的依据，今天课本把它叫惯性定理，证明留给二次型的一般理论。
五、正定二次型
椭圆那一类最有用：二次型对一切非零向量都取正值，这样的二次型叫正定二次型，它的矩阵叫正定矩阵。判极大极小值要用到它，多元函数在某点的一阶导数为零，二阶导数矩阵正定时那一点取到极小值，负定时取到极大值，不定时那个点是鞍点。
定义（正定）
设 \(f=x^{T}Ax\) 是 \(n\) 元二次型。若对任意 \(x\ne0\) 都有 \(f(x)\gt 0\)，称 \(f\) 正定，\(A\) 为正定矩阵；若对任意 \(x\) 都有 \(f(x)\ge0\)，称 \(f\) 半正定。
定理（正定的四个等价条件）
设 \(A\) 是 \(n\) 阶实对称矩阵，下面四条等价：一、\(A\) 的正惯性指数 \(p=n\)；二、\(A\) 的特征值全大于零；三、\(A\) 与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵 \(C\) 使 \(A=C^{T}C\)；四、\(A\) 的全部顺序主子式大于零。
按定义验证要试遍所有非零向量，试不完，所以得找能算的条件，上面四条就是。它们各有各的用场：正惯性指数那一条最贴近定义，可它要求先把二次型化成标准形，等于活干完了再看结论；特征值那一条要解 \(|\lambda E-A|=0\)，三元以上就得求三次方程的根，手算容易卡住。顺序主子式那一条只看行列式，判一个 \(n\) 阶矩阵要算 \(n\) 个行列式，一个比一个大一号，全程只做加减乘，考场上是首选。
顺序主子式指的是从左上角起的那串子矩阵的行列式：\(1\) 阶取 \(a_{11}\)，\(2\) 阶取前两行前两列，一路取到整个矩阵，记作 \(\Delta_1,\Delta_2,\dots,\Delta_n\)，全部大于零时 \(A\) 正定。拿图里那个 \(A\) 试一遍：\(\Delta_1=2\)，\(\Delta_2=4-1=3\)，\(\Delta_3=2\cdot3-1\cdot2=4\)，三个都是正数。把 \(a_{33}\) 从 2 改成 0，\(\Delta_3=-2\)，结论翻过来：取 \(x=(0,1,-3)^{T}\) 代入得 \(-4\)，二次型在那个方向取负值。
全部大于零为什么就够了，思路可以指出来：每一阶主子式与上一阶之比 \(\Delta_k/\Delta_{k-1}\)，正好是配方法走到第 \(k\) 步剩下的那个系数。三个比值都是正数，标准形里就有 \(n\) 个正项，正惯性指数等于 \(n\)。这条推理也解释了为什么要一阶一阶往上算，中途出现负数，后面就不必再算了。
正定还有别的等价说法吗
还能再列两条：全部主子式（不只左上角那一串）都大于零；\(A\) 是某个可逆矩阵的 Gram 矩阵，即 \(A=B^{T}B\) 且 \(B\) 可逆。把条件放宽成 \(f\ge0\) 叫半正定，这时顺序主子式那一条失效，得改用全部主子式不小于零，标准形里的正项也可能少于 \(n\) 个。
1859 年，柏林
用一串子式代替特征值
“一个二次型恒取正值，当且仅当它从左上角起的一串子式全为正。”
雅可比《论二次型的判别》，1859 年（译文）
雅可比把手算的路子固定下来：不看特征值，只算从左上角起的一串行列式。同一个时期，二次曲面的分类也做完了，椭球面、双曲面、抛物面各有一张判别表，课本后面那张分类图就是从这批工作里整理出来的。
怎么算
- 先写矩阵。对角元抄平方项的系数，交叉项系数除以 2 填到对称的两个位置，别把那个 2 直接抄进去。
- 配方从 \(x_1\) 起手。缺平方项就先做 \(x_i=y_i+y_j\)、\(x_j=y_i-y_j\) 的替换，把平方项造出来再配。
- 每一步都验可逆。配方用的系数不能为零；最后把 \(C\) 写出来，用 \(C^{T}AC\) 复核一遍标准形。
- 判正定先算顺序主子式。一阶一阶往上算，出现零或负数就停手，后面的不必算。
- 含参数题分段取交集。\(\Delta_1\)、\(\Delta_2\) 给出区间，\(\Delta_3\) 解不等式，几个区间取交集就是答案。
- 标准形与规范形分开写。标准形系数任意，规范形只剩 1 与 -1，数正负个数时别把缩放过的系数算错。
例题
例 1 用配方法把 \(f=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\) 化成标准形。
先配 \(x_1\)：得 \((x_1+x_2)^2\)，余下 \(x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\)；再配 \(x_2\)：得 \((x_2+2x_3)^2\)，余下 \(x_3^2\)，于是 \(f=(x_1+x_2)^2+(x_2+2x_3)^2+x_3^2\)。取 \(y_1=x_1+x_2\)、\(y_2=x_2+2x_3\)、\(y_3=x_3\)，标准形是 \(y_1^2+y_2^2+y_3^2\)，变换矩阵可逆，所以这个二次型正定。
例 2 用顺序主子式判断 \(f=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_2x_3\) 是否正定。
矩阵是 \(\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}\)，\(\Delta_1=2\)，\(\Delta_2=4-1=3\)，\(\Delta_3=2\cdot3-1\cdot2=4\)，三个都大于零，所以正定。特征值是 \(2-\sqrt2\)、\(2\)、\(2+\sqrt2\)，全为正，两条判据结论一致。
例 3 \(k\) 取何值时，\(f=k(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\) 正定。
矩阵对角元全是 \(k\)，其余位置是 1：\(\Delta_1=k\gt 0\)，\(\Delta_2=k^2-1\gt 0\) 要求 \(k\gt 1\) 或 \(k\lt -1\)，\(\Delta_3=(k-1)^2(k+2)\gt 0\) 要求 \(k\gt -2\) 且 \(k\ne 1\)。取交集得 \(k\gt 1\)，用特征值 \(k+2\)、\(k-1\)、\(k-1\) 复核，答案一样。
习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题五分钟内
1. 写出 \(f=x_1^2+2x_2^2-3x_3^2+4x_1x_2-6x_2x_3\) 的矩阵。
看答案
对角元是 \(1,2,-3\)；\(a_{12}=a_{21}=2\)，\(a_{23}=a_{32}=-3\)，\(a_{13}=a_{31}=0\)。交叉项系数都已除以 2。
2. 写出矩阵 \(\begin{pmatrix}0&1&2\\1&-1&0\\2&0&3\end{pmatrix}\) 对应的二次型。
看答案
\(f=-x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3\)。矩阵对称，对角元抄系数，非对角元乘 2 之后写成交叉项。
3. 求上题那个二次型的秩。
看答案
行列式 \(=0-1\cdot3+2\cdot2=1\ne0\)，三阶行列式非零，秩为 3。
4. 用配方法把 \(f=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\) 化成标准形，并写出正负惯性指数。
看答案
\(f=(x_1+x_2)^2\)，标准形 \(y_1^2\)，秩为 1，\(p=1\)，\(q=0\)。
5. 求 \(f=2x_1^2-3x_2^2+x_3^2\) 的惯性指数与规范形。
看答案
已经是标准形，\(p=2\)、\(q=1\)、秩 3。规范形是 \(y_1^2+y_2^2-y_3^2\)。
6. 判断 \(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) 是否正定。
看答案
\(\Delta_1=1\)，\(\Delta_2=1-4=-3\lt 0\)，不正定。特征值是 3 与 -1，一正一负，属于不定。
B 档 综合题，接近期末与考研难度
1. 用配方法把 \(f=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3\) 化成标准形。
看答案
三项全无平方项，先令 \(x_1=y_1+y_2\)、\(x_2=y_1-y_2\)、\(x_3=y_3\)，得 \(2y_1^2-2y_2^2-4y_1y_3+8y_2y_3\)。再配两次，得 \(2(y_1-y_3)^2-2(y_2-2y_3)^2+6y_3^2\)，\(p=1\)、\(q=2\)。
2. 判断 \(f=5x_1^2+x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-8x_1x_3-4x_2x_3\) 是否正定。
看答案
矩阵 \(\begin{pmatrix}5&2&-4\\2&1&-2\\-4&-2&5\end{pmatrix}\)。\(\Delta_1=5\)，\(\Delta_2=5-4=1\)，\(\Delta_3=5-4+0=1\)，全正，所以正定。
3. 证明：正定矩阵的行列式大于零，对角元也全大于零。
看答案
行列式等于全部特征值之积，特征值全正，积就为正；对角元 \(a_{ii}=e_i^{T}Ae_i\)，取非零向量 \(e_i\) 代入定义即得。
4. 求 \(t\) 的范围，使 \(f=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2tx_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3\) 正定。
看答案
\(\Delta_1=1\)，\(\Delta_2=1-t^2\)，\(\Delta_3=-t(5t+4)\)。后两个都要为正，得 \(|t|\lt 1\) 且 \(-0.8\lt t\lt 0\)，取交集为 \(-0.8\lt t\lt 0\)。
C 档 拓展与历史原题
1.（西尔维斯特，1852）把 \(f=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2\) 用两种不同的可逆变换化成标准形，数出正负项个数，说明两个数为什么必然相同。
看答案
配方得 \((x_1+2x_2)^2-3x_2^2\)，\(p=1\)、\(q=1\)。改用正交变换，矩阵特征值是 3 与 -1，标准形 \(3y_1^2-y_2^2\)，还是 \(p=1\)、\(q=1\)。两套系数不同而正负个数相同，这就是惯性律。
2.（配方法，课本原题）化 \(f=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2+4x_1x_3+6x_2x_3+5x_3^2\) 为标准形，并判断是否正定。
看答案
依次配得 \(f=(x_1+x_2+2x_3)^2+2(x_2+\tfrac12x_3)^2+\tfrac12x_3^2\)。三个系数全为正，故 \(p=3\)，二次型正定。
3.（含参数）求 \(k\) 的范围，使 \(f=x_1^2+2x_2^2+kx_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3\) 正定。
看答案
\(\Delta_1=1\)、\(\Delta_2=1\)，前两阶自动满足。\(\Delta_3=k-2\)，所以 \(k\gt 2\) 时正定。\(k=2\) 时秩降为 2，只能半正定。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 化标准形时为什么一定要变换矩阵可逆？
看提示
不可逆的变换会把不同的向量压到同一个像上，信息丢了就换不回来。合同关系要求 \(C\) 可逆，为的就是能反向写回原坐标，否则标准形与原二次型之间没有对应。
2. 对角元全为正，能不能推出正定？
看提示
不能。\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\) 的对角元都是 1，特征值却是 3 与 -1。要管住交叉项，得看整个主子式，一阶一阶往上看。
3. \(A\) 正定时，\(A^{-1}\)、\(A^{T}\)、\(A+B\)（\(B\) 也正定）是否正定？
看提示
都正定。特征值取倒数、转置不变、两个正矩阵相加，特征值仍然全为正。把三条都放到特征值这条判据上过一遍，比用定义试向量省事。
延伸阅读
- 同济大学数学系《线性代数》第六版，第五章。本章的记号与例题口径以这本为准。
- 莫里斯·克莱因《古今数学思想》，第三册，关于二次型与不变量理论的部分。
- Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 第 6 章。用正定性讲极小值的路子与本章一致，例题更多。
- Sylvester, A Demonstration of the Theorem that Every Homogeneous Quadratic Polynomial is Reducible by Real Orthogonal Substitutions to the Form of a Sum of Squares, Philosophical Magazine, 1852. 惯性律的原始论文。