「掷一枚硬币，正面朝上的概率是二分之一」这句话在课本第一页就出现了，可它凭什么成立，三百多年里没有统一的交代。古典定义要数得清、还要各结果同等可能，统计定义要把试验重复很多次，也说不清重复多少才算够。1933 年柯尔莫哥洛夫换了一条路：先规定概率必须满足哪几条，别的全靠推。
一、为什么还需要一套公理
17 世纪的人算概率只有一招：数数。把试验的全部结果列出来，有利结果的个数除以结果总数，比值就是概率，袋里 5 个红球 3 个白球，摸到红球的概率是 \(5/8\)。这条公式好用在两处：结果个数有限，各个结果又被默认机会相同。麻烦也长在这两处，骰子是否匀称要靠经验保证，结果一旦多到数不清，这套数法连分母都写不出来。
另一条路是不数结果，改成反复做。同一试验做 \(n\) 次，记事件 \(A\) 出现 \(n_A\) 次，比值 \(f_n(A)=n_A/n\) 叫频率；经验上 \(n\) 越大这个比值越稳，于是有人主张把稳定下来的那个数直接当作概率。射击命中率、新生儿性别比这类场合，它确实给出了能用的数。可是「\(n\) 足够大」是多大、稳到哪个值都没标准，频率趋于极限这件事当时也没人证明，它本身就是后来大数定律要说的结论。
第三类题目两边都进不去。往长度是 1 的线段上随便投一个点，落在左半段的概率是 \(1/2\)，理由只有一条：左半段占整条线段的二分之一。这里的结果不可数，数不出个数，答案却显然存在，而且是量长度量出来的。
三套说法各能算一批题，凑在一起却拼不出同一个对象：一个说概率是比值，一个说概率是极限，一个说概率是长度之比。数学家后来换了个要求，先把概率当成一个函数定下来，输入是事件，输出是 0 与 1 之间的实数，再规定它必须满足几条规则，然后证明老公式都能从这几条推出来。
概率是这样一个函数：进去一个事件，出来一个 0 到 1 之间的数；互不相交的事件，函数值可以相加。
二、样本空间与事件域
掷一颗骰子，全部可能结果是 1 到 6 这六个数，把它们收成一个集合 \(S=\{1,2,3,4,5,6\}\)，这个集合叫样本空间，其中每个结果叫样本点，记作 \(\omega\)。样本空间的子集叫事件，「点数是偶数」就是子集 \(\{2,4,6\}\)，结果落进某个子集，就说相应的事件发生了。
把事件当集合看，事件之间的关系直接翻译成集合的关系：\(A\subset B\) 说明 \(A\) 发生则 \(B\) 一定发生，\(A\cup B\) 表示至少一个发生，\(AB\) 表示两个都发生，\(\overline{A}\) 表示 \(A\) 不发生。集合的运算律因此可以整段搬过来，德摩根律在概率里照样能用。
定义（样本空间与事件）
随机试验的全部可能结果组成的集合叫样本空间，记作 \(S\)；\(S\) 的元素叫样本点；\(S\) 的子集叫随机事件，简称事件。只含一个样本点的事件叫基本事件，\(S\) 叫必然事件，空集 \(\varnothing\) 叫不可能事件。
接下来要处理一个容易被跳过的问题：是不是每个子集都能配上概率。有限样本空间里当然可以，\(S\) 有几个子集就配几个数。样本空间一旦变成不可数集就麻烦了，线段上有些子集没法在保持「不交的两块长度相加」的同时被赋予长度，维塔利在 20 世纪初给出了例子。
课本的办法是退半步，只挑一部分子集组成一个族 \(\mathcal{F}\)，事先规定 \(\mathcal{F}\) 对取补和可列并封闭。这样挑出来的 \(\mathcal{F}\) 叫事件域，只有里面的集合才叫事件，概率只对这些事件有定义。挑选的规矩写成三条：
定义（事件域）
设 \(S\) 是样本空间，\(\mathcal{F}\) 是由 \(S\) 的一些子集组成的族。若 \(\mathcal{F}\) 满足：一、\(S\in\mathcal{F}\)；二、若 \(A\in\mathcal{F}\)，则 \(\overline{A}\in\mathcal{F}\)；三、若 \(A_1,A_2,\dots\in\mathcal{F}\)，则 \(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in\mathcal{F}\)，则称 \(\mathcal{F}\) 为事件域，\(\mathcal{F}\) 中的集合称为事件。
三条合起来保证 \(\mathcal{F}\) 是个封闭的运算系统：\(S\) 在里面，\(\varnothing\) 就在里面；\(A\)、\(B\) 在里面，\(AB\) 也在里面，各自取补、并起来、再取补；差集同理。不论怎么并、怎么交、怎么减，结果都留在 \(\mathcal{F}\) 内，可以接着谈概率。
三、三条公理
事件域准备好之后，概率就是 \(\mathcal{F}\) 上的一个函数 \(P\)：给每个集合 \(A\) 配一个实数 \(P(A)\)。函数可以随便配，要挑出合乎常理的，得先规定条件。柯尔莫哥洛夫只留了三条。
定义（概率的公理化定义）
设 \(\mathcal{F}\) 是样本空间 \(S\) 的事件域，若对每个 \(A\in\mathcal{F}\) 指定一个实数 \(P(A)\)，且满足：一、非负性 \(P(A)\ge0\)；二、归一性 \(P(S)=1\)；三、可数可加性，即对两两互不相容的事件 \(A_1,A_2,\dots\)（\(i\ne j\) 时 \(A_iA_j=\varnothing\)）有 \[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i), \] 则称 \(P(A)\) 为事件 \(A\) 的概率，称 \((S,\mathcal{F},P)\) 为概率空间。
三条各管一件事。非负性定下方向，概率不会是负数；归一性给整块样本空间选了个单位，面积本可以是 100，说成 1 之后别的数都跟着定；可数可加性管拆分，互不相交的几块合起来，概率等于各块相加。前两条是标尺，干活的是第三条，它把有限次加法与无穷次求和接上。
三条公理在图上都好认。把 \(S\) 画成矩形，事件画成里面的区域，概率就是面积：不为负是第一条，整块算 1 是第二条，\(A\) 与 \(B\) 不重叠时两块相加是第三条。
第三条里的「可数」两个字是划出来的界限。只要求有限多块能相加，可列无穷多块就没了规矩；要求任意多块都能相加，连均匀分布都会被逼出矛盾。1909 年博雷尔讨论可列个事件时把这条单独提出来，此后它一直是三条里最有用也最难的一条。
可数可加和有限可加差在哪里
有限可加只管任意有限多块，取极限这一步是空的。可数可加多出来的正是极限：把 \(A_1\cup\dots\cup A_n\) 看成一串逼近 \(\bigcup A_i\) 的事件，可数可加性保证两边的概率也这样逼近。概率的连续性、分布函数的右连续、大数定律的证明，都要在这一步上过桥。
1900 年，巴黎
希尔伯特把这件事写进了问题清单
「用公理方法处理那些至今仍以物理为主体的理论，首先是概率论与力学。」
希尔伯特《数学问题》第六问题，1900 年巴黎国际数学家大会讲演，此处为译述
清单上只写了要求，没给做法。此后博雷尔把测度搬进概率，芬尼蒂在 1930 年前后从有限可加另立一套，路走得并不统一，谁先给出完整体系一直悬着。
四、从公理推出的六条性质
公理只有三条，课本的公式却有一串。这些公式都能推出来，推法通常只有一招：把要算的事件拆成互不相交的几块，用可数可加性合起来，再用归一性收尾。
定理（由公理推出的六条性质）
设 \(P\) 是概率空间 \((S,\mathcal{F},P)\) 上的概率，则：一、\(P(\varnothing)=0\)；二、有限可加性，\(A_1,\dots,A_n\) 两两互不相容时 \(P(A_1\cup\dots\cup A_n)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)\)；三、减法公式 \(P(A-B)=P(A)-P(AB)\)；四、单调性，若 \(A\subset B\) 则 \(P(B-A)=P(B)-P(A)\)，且 \(P(A)\le P(B)\)；五、加法公式 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)；六、\(P(\overline{A})=1-P(A)\)。
第一条用可数可加性硬推。把 \(\varnothing\) 写成 \(\varnothing\cup\varnothing\cup\cdots\)，这些块两两不交，于是 \(P(\varnothing)=P(\varnothing)+P(\varnothing)+\cdots\)，一个非负数等于自己的无穷倍，只能取 0。第二条在 \(A_1\cup\dots\cup A_n\) 后面补无穷多个 \(\varnothing\) 化成可列并，再用第一条把补出来的消掉。
减法公式与单调性来自同一个拆分。\(A\) 分成 \(A-B\) 与 \(AB\) 两块，两块不交，所以 \(P(A)=P(A-B)+P(AB)\)；若 \(A\subset B\)，\(B\) 也能拆成 \(A\) 与 \(B-A\)，得 \(P(B)=P(A)+P(B-A)\)。非负性顺手给出 \(P(A)\le P(B)\)，事件越大，概率不会变小。
加法公式修的是重复计数。\(A\cup B\) 拆成 \(A-B\) 与 \(B\)，于是 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)，被算了两次的 \(AB\) 减掉一次。三个事件的情形要多减两两相交、再加回三者都发生的部分。
定理（加法公式的三事件形式）
\[ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC). \]
第六条最常用。\(A\) 与 \(\overline{A}\) 不交，合起来正好是 \(S\)，所以 \(1=P(S)=P(A)+P(\overline{A})\)，移项得 \(P(\overline{A})=1-P(A)\)。
1933 年，柏林
一本六十多页的小册子
「本书的目的是为概率论建立一个公理基础。」
柯尔莫哥洛夫《概率论基本概念》序言，1933 年，施普林格，此处为译述
书里把样本空间、事件域、三条公理摆在一页，随后条件概率、独立性、大数定律依次推出，测度论第一次被完整搬进概率。「概率空间」从此成了标准写法，本章往后所有公式都从这三条出发。
五、几何概型
公理只管形状，不管内容。样本空间取成区间、区域或立体，事件取成能求长度、面积、体积的子集，三条公理照样成立，只是「等可能」要换一种说法：机会只与这块地方的度量有关，与位置和形状无关。
定义（几何概型）
设样本空间是区域 \(G\)（区间、平面区域或空间立体），\(m(G)\) 是它的度量（长度、面积或体积），\(0 \lt m(G) \lt \infty\)。若随机点落在 \(G\) 内任一可度量子区域的机会只与该子区域的度量成正比，则称为几何概型，事件 \(A\)（对应子区域 \(G_A\)）的概率为 \[ P(A)=\frac{m(G_A)}{m(G)}. \]
公式不是凭空给的。既然机会只与度量成正比，先写 \(P(A)=k\,m(G_A)\)；归一性要求 \(P(G)=k\,m(G)=1\)，于是 \(k=1/m(G)\)。三条公理在这里自动成立：度量不为负，整块化成 1，不交的块相加。几何概型省掉的是数个数，留下的是量长度。
1777 年布丰提出的投针题把这套做法演了一遍。平面上画一排间距为 \(a\) 的平行线，投一根长 \(l \lt a\) 的针，问它与线相交的概率。一次投掷由两个数决定：针心到最近一条线的距离 \(x\in[0,a/2]\)，与平行线的夹角 \(\theta\in[0,\pi]\)。每个结果就是 \((\theta,x)\) 矩形里的一个点，面积 \(\pi a/2\)。
相交的条件是 \(x\le\frac{l}{2}\sin\theta\)，在图上就是曲线以下那块，面积是 \(\int_0^{\pi}\frac{l}{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=l\)，两者相除得 \[ P=\frac{l}{\pi a/2}=\frac{2l}{\pi a}. \] 取 \(l=1\)、\(a=2\) 得 \(1/\pi\approx0.318\)。
会面问题是同一个套路。两人约定在 0 到 60 分钟内到某地，谁先到就等对方 15 分钟，等不到就走。把到达时刻记成 \((x,y)\)，样本空间是边长 60 的正方形，能碰面的条件 \(|x-y|\le15\) 是一条宽度 15 的对角带。正方形面积 3600，两个空白三角形各占 \(45\times45/2\)，带子 1575，概率 \(7/16\)。
几何概型里有一个容易犯的错。结果有不可数无穷多个，每个单点概率都是 0，可这不等于它不可能发生：针心恰好落在某条给定直线上的概率是 0，它照样可能发生。古典概型里这两件事是一回事，连续情形下就分开了。
几何概型里的「等可能」指的是什么
指度量相等的地方机会相同，不是每个点等可能。线段上每个点长度都是 0，按「点等可能」理解，任何区间都该得 0，与整段概率为 1 相矛盾。正确的说法是区间越长，点落进去的机会越大，比例就是长度之比。
同一个「随机」，为什么能算出三个答案
在圆内随机取一条弦，问弦长超过内接正三角形边长的概率，三种取法分别得 \(1/3\)、\(1/2\)、\(1/4\)，都讲得通，这就是贝特朗悖论。分歧出在没说清哪个量均匀：中点、方向、端点，三种均匀是三个样本空间。用几何概型之前必须指定样本空间与度量。
怎么算
- 先认模型。结果数得清且等可能，走古典概型数个数；样本空间是区间或区域，走几何概型量长度面积；两者都不像，回到三条公理硬推。
- 拆开再相加。算不出来的事件，拆成互不相交的几块分别算，这是公理唯一提供的加法工具。
- 反过来算。见到「至少有一个」，先算它的对立事件，再用 1 去减。
- 加法公式要减重。两个事件相加减掉交集，三个事件减两两交集再加回三重交集。
- 几何概型先画图。把两个变量摆成平面坐标，事件画成区域，最后算面积之比，别去数点。
例题
例 1 设 \(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.4\)，\(P(A\cup B)=0.7\)，求 \(P(AB)\)、\(P(A-B)\)、\(P(\overline{A}\,\overline{B})\)。
由加法公式 \(P(AB)=0.5+0.4-0.7=0.2\)；由减法公式 \(P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3\)；\(\overline{A}\,\overline{B}\) 是 \(A\cup B\) 的对立事件，故 \(P(\overline{A}\,\overline{B})=1-0.7=0.3\)。
例 2 甲、乙两人在 8:00 至 9:00 之间各自随机到达某地，先到者等 20 分钟，等不到就走。求两人见面的概率。
样本空间是边长 60 的正方形，见面条件是 \(|x-y|\le20\)。扣除两个边长 40 的直角三角形，面积 \(3600-2\times\frac{40\times40}{2}=2000\)，概率 \(2000/3600=5/9\approx0.556\)。
例 3 平面上每隔 1 画一条平行线，投一根长 1 的针。求针与线相交的概率，并估计投 3000 次大约相交多少次。
这是 \(l=1\)、\(a=1\) 的布丰投针，\(P=\dfrac{2l}{\pi a}=\dfrac{2}{\pi}\approx0.637\)。相交次数约为 \(3000\times0.637\approx1910\) 次，反过来用这个频率可以估出 \(\pi\approx2/0.637\approx3.14\)。
习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题五分钟内
1. 写出掷两枚硬币的样本空间，并用集合写出事件「至少出现一次正面」。
看答案
\(S=\{\text{正正},\text{正反},\text{反正},\text{反反}\}\)，所求事件是 \(\{\text{正正},\text{正反},\text{反正}\}\)。
2. 设 \(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(A\) 与 \(B\) 互不相容，求 \(P(A\cup B)\)、\(P(\overline{A})\)、\(P(\overline{A}\,\overline{B})\)。
看答案
互不相容时 \(P(A\cup B)=0.7\)；\(P(\overline{A})=1-0.4=0.6\)；\(\overline{A}\,\overline{B}\) 是 \(A\cup B\) 的对立事件，得 \(1-0.7=0.3\)。
3. 设 \(P(A)=P(B)=P(C)=1/4\)，\(P(AB)=0\)，\(P(AC)=P(BC)=1/8\)，求 \(P(A\cup B\cup C)\)。
看答案
用三事件加法公式：\(3/4-(0+1/8+1/8)+P(ABC)\)，而 \(ABC\subset AB\) 且 \(P(AB)=0\)，所以 \(P(ABC)=0\)，答案为 \(1/2\)。
4. 用三条公理证明 \(P(A\cup B)\le P(A)+P(B)\)。
看答案
由加法公式 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)，非负性给出 \(P(AB)\ge0\)，移项即得。等号成立当且仅当 \(P(AB)=0\)。
5. 一条线段长 3，随机投一点，求它落在距左端 1 到 2 之间的概率。
看答案
这一段长 1，样本空间长 3，由长度之比得 \(1/3\)。
6. 在区间 \([0,1]\) 上随机取一点，求它落在 \([0.2,0.7]\) 内的概率。
看答案
区间长 \(0.5\)，样本空间长 1，概率 \(0.5\)。落在端点的情形长度为零，不影响答案。
B 档 综合题，接近期末与考研难度
1. 设 \(P(A)=P(B)=1\)，证明 \(P(AB)=1\)。
看答案
由加法公式 \(P(A\cup B)=1+1-P(AB)\le1\)，得 \(P(AB)\ge1\)；概率不会超过 1，故 \(P(AB)=1\)。
2. 甲、乙在 0 到 60 分钟内各自随机到达，先到者等 15 分钟。求甲比乙晚到且两人见面的概率。
看答案
见面带面积 1575，其中 \(x \gt y\) 的一半是 787.5，概率 \(787.5/3600=7/32\)。对角带被对角线平分成两半。
3. 在半径 \(R\) 的圆内随机取一点，求它到圆心距离小于 \(R/2\) 的概率；距离恰好等于 \(R/2\) 的概率是多少。
看答案
小圆面积 \(\pi R^2/4\)，与大圆 \(\pi R^2\) 之比为 \(1/4\)。圆周面积为 0，所以距离恰为 \(R/2\) 的概率是 0。
4. 布丰投针中取 \(l=2\)、\(a=4\)，求相交概率；若希望概率等于 \(1/2\)，针长应取多少。
看答案
\(P=\dfrac{2l}{\pi a}=\dfrac{4}{4\pi}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.318\)。令 \(\dfrac{2l}{4\pi}=\dfrac12\) 得 \(l=\pi\approx3.14\)，小于间距 4，可行。
C 档 拓展与历史原题
1.（柯尔莫哥洛夫，1933）他的体系把概率定义成事件域上的非负集函数，并要求 \(P(S)=1\)。为什么可加性只要求对可列多个事件成立，不要求对任意多个成立？
看答案
任意多个的和没有定义，取极限也无从谈起，可列个已经够推连续性、分布函数和大数定律。若真对任意多个都要求相加，均匀分布这类最基本的概率会立刻出矛盾，界限只能划在可数。
2.（博雷尔，1909）设样本空间是全体正整数，规定有限集的概率为 0、余有限集的概率为 1。说明它有限可加，却不满足可数可加。
看答案
有限可加成立，因为有限个有限集的并仍是有限集。但全体正整数是可列个单点之并，每个单点概率为 0，可数可加会给出总和 0，与 \(P(S)=1\) 矛盾。
3.（几何概型）会面问题里把 60 分钟改成 90 分钟、等待时间仍是 15 分钟，概率变成多少？再用投针估计 \(\pi\)：投 5000 次相交 1592 次，\(l=1\)、\(a=2\)，\(\pi\) 的估计值是多少？
看答案
概率为 \(1-(75/90)^2=1-25/36=11/36\approx0.306\)。由 \(P=1/\pi\) 得 \(\pi\approx5000/1592\approx3.141\)。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 古典定义、统计定义、公理化定义说的都是「概率」，它们是同一个东西吗？
看提示
古典定义是一个模型，只在有限且等可能时能用；统计定义是用频率去估，结果随试验而变；公理化定义是对函数的刻画，前两者分别是它的特例与近似。三者回答的问题不同，别混着用。
2. \(P(A)=0\) 能不能推出 \(A\) 一定不发生？
看提示
只在有限等可能模型里能。连续情形下单个点概率为 0，却照样可能被取到；反过来 \(P(A)=1\) 也不保证 \(A\) 必然发生。概率为零与不可能，在不可数样本空间里是两件事。
3. 可数可加性里「两两互不相容」这个条件能不能去掉？
看提示
不能。\(A\) 与 \(B\) 相交时 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) 会把公共部分算两次，正确的式子是加法公式。若允许相交还照加，把 \(S\) 拆成两个 \(S\)，会得出 \(1=2\)。
延伸阅读
- 盛骤、谢式千、潘承毅《概率论与数理统计》第四版，第一章 §1 至 §4。本章记号与例题口径以此为准。
- 柯尔莫哥洛夫《概率论基本概念》（Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung），1933 年，第一章。三条公理的原始写法，六十多页，能读完。
- 博雷尔《可列概率及其算术应用》，1909 年。可数可加性被单独提出的那一篇。
- 希尔伯特《数学问题》，1900 年巴黎讲演，第六问题。看它要求了什么，也看它没说什么。