抛一枚硬币十次，你可能只关心正面出现几次；站在站台等车，你关心的是还要等多久。这两件事都可以先换成一个数，再问这个数落在某一段的可能有多大。把「怎样把结果换成数」讲清楚，后面的分布律、密度、分布函数才有落脚的地方。伯努利 1714 年的遗作《推测术》、泊松 1837 年对罕见事件的研究、高斯 1809 年写下的误差曲线，以及 20 世纪由寿命与排队问题推出来的指数分布，都在这一章里变成具体的式子。
一、随机变量：把结果翻译成数字
掷三枚硬币，样本空间里放着 8 个等可能的结果。你关心的通常是「一共出了几个正面」，把 8 个结果按这个标准一个个折算成数，就只剩 0、1、2、3 四个取值，往后算概率只需要动这四个数。
定义（随机变量）
设随机试验的样本空间为 \(\Omega=\{\omega\}\)。如果对每一个结果 \(\omega\) 都有一个实数 \(X(\omega)\) 与之对应，就称 \(X=X(\omega)\) 为随机变量，常用 \(X,Y,Z\) 表示。
这个折算规则就是随机变量，写法 \(X=X(\omega)\) 里，\(\omega\) 是样本空间中的一个结果，\(X\) 把它送到一个实数上。课本叫它「变量」，它的身份其实是一个函数：给定一次具体的试验结果，它才吐出一个数，同一个 \(X\) 在两次试验里完全可以取到不同的值。
有了它，事件可以改写成关于 \(X\) 的条件。集合 \(\{\omega:X(\omega)\le x\}\) 通常简写成 \(\{X\le x\}\)，它仍然是一个事件，概率 \(P\{X\le x\}\) 才有意义。习题里「求 \(P\{X=2\}\)」「求 \(P\{1<X\le3\}\)」这类问题，问的都是这种事件的概率，所以第一步总是先把这个事件翻译成 \(X\) 的取值范围。
按取值的形状分两类。取值能一个个排出来的叫离散型随机变量，比如正面次数、次品个数；取值能填满一段区间的叫连续型随机变量，比如等车时间、零件直径。分类只看你记下来的那个数：同一台仪器量同一根轴，记「合格 / 不合格」得到离散型，记「直径多少毫米」就得到连续型。
有没有既不离散也不连续的随机变量
有。设 \(X\) 有一半概率取 0，另一半概率均匀落在 \([1,2]\) 上，它的分布函数在 0 处跳一下，之后是一段斜线，两类都不是。课本主线只处理离散与连续，这种混合型的题在考研里偶尔出现，判别办法还是那四条性质。
二、离散型随机变量与分布律
离散型要交代的只有两件事：可能取哪些值，取每个值的概率是多少。把这两件事排成一张表，就叫分布律，有的教材写成分布列。
定义（分布律）
设离散型随机变量 \(X\) 的全部可能取值为 \(x_k\)（\(k=1,2,\dots\)），\(X\) 取各个值的概率为 \[ P\{X=x_k\}=p_k,\quad k=1,2,\dots, \] 则称这一列为 \(X\) 的分布律。它满足两条：\(p_k\ge0\)（\(k=1,2,\dots\)）；\(\sum_{k=1}^{\infty}p_k=1\)。
这两条要一起用。每个 \(p_k\) 不小于零是显然的，加起来等于 1 则是个现成的检查口：一列概率加出来是 0.9 或者 1.2，中间必然有项漏了、重了或者算错了，回头找比硬着头皮往下算省事得多。
最简单的一种只取 0 与 1，叫 0-1 分布：一件事成不成，成了记 1，不成记 0，成的概率记为 \(p\)。把它独立重复做 \(n\) 次，成功的次数 \(X\) 服从二项分布 \(X\sim B(n,p)\)，分布律是 \(P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}\)，其中 \(q=1-p\)。这个式子可以拆成两半看：指定的 \(k\) 次成功配上 \(n-k\) 次失败，概率是 \(p^kq^{n-k}\)；\(n\) 次里挑哪 \(k\) 次成功有 \(\binom{n}{k}\) 种挑法，两半一乘就是它。
二项分布在 \(n\) 很大、\(p\) 很小时会贴到另一个式子上：\(P\{X=k\}=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\)，其中 \(\lambda=np\)，这个分布叫泊松分布，记作 \(X\sim P(\lambda)\)。它专门用来数「一段时间里来了几次」，一小时内的电话呼入、一页稿子上的错字、一克镭在 1 秒里的衰变次数都属于这种。
几何分布数的是「第几次才成」：前 \(k-1\) 次全失败，第 \(k\) 次成功，概率是 \(P\{X=k\}=q^{k-1}p\)，\(k=1,2,\dots\)。超几何分布出在不放回抽样里：\(N\) 件产品中有 \(M\) 件次品，任取 \(n\) 件，其中的次品数满足 \(P\{X=k\}=\dfrac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}\)。二项分布对应有放回，超几何对应不放回；\(N\) 比 \(n\) 大得多时，两者差得可以忽略。
二项什么时候可以换成泊松
经验口径是 \(n\) 不小于 20、\(p\) 不超过 0.05、\(np\) 大小适中。\(n=100\)、\(p=0.05\) 时，逐项比较的最大误差不到 0.003；\(n=10\)、\(p=0.3\) 时误差就明显了。题目里写着「用泊松定理近似」，照做即可，别自作主张换公式。
1714 年，巴塞尔
《推测术》里关于二项试验的那一章
「试验重复 \(n\) 次，全部情形按成功次数分成 \(n+1\) 类，每一类里的排法由展开式的系数给出。」
伯努利《推测术》第二部分，1714 年（拉丁文，此处为译述）
这一部分把二项试验算是讲完了：按成功次数分类、用二项式系数数排法、逐项算出概率。他 1705 年去世，书由侄子尼古拉整理，1713 年在巴塞尔印出，1714 年正式发行。今天写的 \(B(n,p)\) 和二项分布表，源头就是这一章。
三、分布函数
离散型有表格，连续型没有：等车时间可以取一段区间里的任何一个数，每个点上的概率都是 0，表列不完。要找一个两类都能用的说法，办法是把「取某个值」换成「不超过某个数」，让 \(x\) 从左往右滑，看概率怎么跟着变。
定义（分布函数）
设 \(X\) 是一个随机变量，\(x\) 是任意实数，函数 \[ F(x)=P\{X\le x\},\quad -\infty<x<+\infty \] 称为 \(X\) 的分布函数。
定理（分布函数的四条性质）
分布函数 \(F(x)\) 具有以下性质：1° 单调不减，即当 \(x_1<x_2\) 时有 \(F(x_1)\le F(x_2)\)；2° \(0\le F(x)\le1\)，且 \(F(-\infty)=0\)，\(F(+\infty)=1\)；3° 右连续，即 \(F(x+0)=F(x)\)；4° 对任意 \(x_1<x_2\)， \[ P\{x_1<X\le x_2\}=F(x_2)-F(x_1). \]
前两条看图就懂：事件 \(\{X\le x_1\}\) 装在 \(\{X\le x_2\}\) 里面，概率不会倒退；\(x\) 往左跑到负无穷，事件越来越接近不可能，\(F\) 趋于 0，往右跑到正无穷就趋于 1。第 4 条在算题时用得最多，一段区间上的概率不必积分，两端相减就得到，代价是左端不能带等号。
第 3 条要在图上辨认。定义里写的是 \(X\le x\)，等号在右边，所以 \(F\) 在跳点处取上面那一级的值，图上画成实心圆；下面那一级在跳点处取不到，画成空心圆。这条规矩叫右连续，它保证 \(F\) 在跳点处的跳跃高度正好等于 \(P\{X=x\}\)。
一个 \(F\) 就把两类随机变量装下了。离散型的 \(F\) 是台阶，每一级跳跃的高度等于该点的概率，概率大的地方跳得高；连续型的 \(F\) 一路平滑，没有跳跃，也就没有哪个点带着正概率。反过来也能从 \(F\) 认出类型：跳点有几个，带正概率的点就有几个。
为什么定义成 P{X≤x}，不定义成 P{X<x}
用严格小于的话，\(F\) 会变成左连续，区间公式要跟着改成 \(P\{a\le X<b\}=F(b)-F(a)\)，跳点上的取值也要换到下面那一级。两种约定都自洽，课本选右连续，是因为这样 \(F(x)-F(x-0)=P\{X=x\}\)，写单点概率时少一次换算。
四、连续型随机变量与概率密度
连续型得换一个量来描述。单个点上分不到概率，就去看一段小长度：\(X\) 落在 \([x,x+\Delta x]\) 里的概率与 \(\Delta x\) 的比值，\(\Delta x\) 缩小时趋于一个数，这个数叫 \(x\) 处的概率密度。
定义（概率密度）
设 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\)。如果存在非负可积函数 \(f(x)\)，使对任意实数 \(x\) 有 \[ F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt, \] 则称 \(X\) 为连续型随机变量，\(f(x)\) 称为 \(X\) 的概率密度函数，简称概率密度。等价的说法是，对任意 \(a<b\) 有 \(P\{a<X\le b\}=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\)。
定理（密度与分布函数的关系）
密度与分布函数互为「积分—求导」：在 \(f\) 的连续点处 \(F'(x)=f(x)\)；反过来 \(F\) 是 \(f\) 的一个原函数，所以区间概率用 \(f\) 积出来和用 \(F\) 相减算出来是同一个数。
三件事要记住。\(f(x)\) 本身不是概率，它可以大于 1：\(X\) 在 \([0,0.5]\) 上均匀分布时密度是 2，密度要乘上一小段长度才变成概率。连续型随机变量 \(P\{X=a\}=0\) 对每个点都成立，所以 \(a<X\le b\)、\(a\le X<b\)、\(a\le X\le b\) 的概率完全一样，端点归谁不影响答案。第三件事与画面有关：概率问的是曲线围出来的面积，纵轴高度只是密度。
常见的连续分布有三个，前两个先看清楚，第三个要多花点篇幅。均匀分布 \(U(a,b)\) 在区间内密度是常数 \(\frac{1}{b-a}\)，等车时间在 0 到 10 分钟之间均匀时，等超过 7 分钟的概率是 \(3/10\)。指数分布 \(E(\lambda)\) 的密度是 \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\)（\(x>0\)），分布函数是 \(F(x)=1-e^{-\lambda x}\)，它描述元件寿命、服务台前的等待，特点是会「忘事」：一只已经亮了 1000 小时的灯泡，再撑 500 小时的概率与全新的灯泡一样。
指数分布的无记忆性是怎么算出来的
对 \(s,t>0\)，条件概率写成 \(P\{X>s+t\mid X>s\}=\frac{P\{X>s+t\}}{P\{X>s\}}\)，分子分母都是 \(e^{-\lambda}\) 的幂，约掉之后剩下 \(e^{-\lambda t}\)，正好等于 \(P\{X>t\}\)。几何分布也有这条性质，两者是离散与连续的同一个脾气。
正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\) 的密度是 \[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}. \] \(\mu\) 管位置，曲线在 \(x=\mu\) 处最高；\(\sigma\) 管胖瘦，\(\sigma\) 越大曲线越矮越宽，围住的面积不变。这个积分没有初等原函数，所以课本配一张 \(\Phi\) 表，表里记的是 \(N(0,1)\) 的分布函数值。
定理（正态分布的标准化）
若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)，且对任意 \(a<b\) 有 \[ P\{a<X\le b\}=\Phi\Big(\frac{b-\mu}{\sigma}\Big)-\Phi\Big(\frac{a-\mu}{\sigma}\Big). \]
标准化这一步把所有的正态分布压成同一条曲线。\(X\sim N(1,4)\) 时 \(\sigma=2\)，\(P\{0<X\le3\}=\Phi(\frac{3-1}{2})-\Phi(\frac{0-1}{2})=\Phi(1)-\Phi(-0.5)\)，查表得 \(0.8413-0.3085=0.5328\)。表里没有负数也不要紧，用 \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) 翻过来查。
1837 年，巴黎
《关于判断的概率之研究》里的小数定律
「当试验次数很大、每次成功的概率很小时，成功次数的分布只依赖于两者的乘积。」
泊松《关于判断的概率之研究》，1837 年（法文，此处为译述）
他用这个极限处理误判、溺水这类一年才发生几起的案子，说它们服从「小数定律」：事件再罕见，发生率也稳在一个很小的数附近。1837 年书印出来时没人拿它处理数据，直到 19 世纪末有人用它数士兵被马踢死的例数，这个分布才有了实测对照。
五、随机变量函数的分布
已知 \(X\) 的分布，问 \(Y=g(X)\) 的分布，这类题按 \(X\) 的类型分两条路，每条路只有一种固定套路。
离散型直接算：把 \(g(x)\) 的值一个个算出来，同一个 \(y\) 可能由好几个 \(x\) 得来，把这几个 \(x\) 的概率加在一起就是 \(Y\) 取 \(y\) 的概率， \[ P\{Y=y\}=\sum_{g(x)=y}P\{X=x\}. \] \(X\) 取 \(-1,0,1\) 各 \(1/3\) 时，\(Y=X^2\) 只取 0 与 1，概率分别是 \(1/3\) 与 \(2/3\)，两头的 \(-1\) 与 \(1\) 合成了同一项。
连续型的标准套路叫分布函数法，分三步：先写 \(F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}\)，再把 \(\{g(X)\le y\}\) 解成关于 \(X\) 的区间、用 \(F_X\) 表示出来，最后对 \(y\) 求导。拿 \(Y=X^2\)、\(X\sim N(0,1)\) 走一遍：\(y>0\) 时 \(F_Y(y)=P\{-\sqrt{y}\le X\le\sqrt{y}\}=2\Phi(\sqrt{y})-1\)，求导得 \(f_Y(y)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2}\)，\(y\le0\) 时密度是 0。
定理（随机变量函数的密度公式）
设 \(X\) 的密度为 \(f_X(x)\)，\(y=g(x)\) 严格单调且可导，\(g'(x)\ne0\)，其反函数为 \(x=h(y)\)，则 \(Y=g(X)\) 是连续型随机变量，密度为 \[ f_Y(y)=f_X\big(h(y)\big)\,\big|h'(y)\big|, \] \(y\) 取在 \(g\) 的值域内；其余地方 \(f_Y(y)=0\)。
公式法就是分布函数法做完求导的结果。单调保证反函数 \(h\) 存在，事件 \(\{g(X)\le y\}\) 能一路化成 \(\{X\le h(y)\}\) 或 \(\{X\ge h(y)\}\)，两种情况求导之后差一个负号，绝对值把它们并成一条式子。\(g\) 不单调时把区间拆开，或者干脆退回分布函数法，比如 \(Y=X^2\) 在 \(y>0\) 时就要拆成两段。
公式里的绝对值为什么必须留着
因为 \(g\) 递减时 \(h'(y)<0\)，密度不能是负数。用 \(Y=-X\) 试一下就明白：\(h(y)=-y\)，\(|h'|=1\)，\(f_Y(y)=f_X(-y)\)，负号被绝对值吃掉了。忘了写它，递减的那一半函数会算出负密度，答案一眼就能看出不对。
怎么算
- 先分类型。取值能一个个排队的是离散型，能填满一段区间的连续型，两类的公式不通用。
- 分布律先验归一。所有 \(p_k\) 加起来是不是 1，查过这一步再往下算。
- 求概率三条路。离散查表求和，连续积分，任何情况都能用 \(F(b)-F(a)\)。
- 连续型端点随便取。\(P\{X=a\}=0\)，开区间、闭区间给出同一个答案。
- 正态先标准化再查表。\(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\)，\(z\) 为负时用 \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) 翻过来。
- 求 \(Y=g(X)\)。离散合并同值，连续先写 \(F_Y(y)\) 再求导，单调时直接用公式。
例题
例 1 一批零件次品率 0.05，任取 4 件，\(X\) 为其中的次品数。写出分布律，并求至少 1 件次品的概率。
\(X\sim B(4,0.05)\)，\(P\{X=k\}=\binom{4}{k}0.05^k0.95^{4-k}\)，逐项算出 0.8145、0.1715、0.0135、0.0005、0.000006。五项加起来是 1，验算通过。至少 1 件的概率用对立事件：\(1-0.8145=0.1855\)。
例 2 \(X\sim N(2,9)\)，求 \(P\{-1<X\le5\}\) 与 \(P\{X>8\}\)。
\(\sigma=3\)，标准化后 \(-1\) 与 \(5\) 分别落到 \(-1\) 与 \(1\)，所以 \(P\{-1<X\le5\}=\Phi(1)-\Phi(-1)=2\Phi(1)-1=0.6826\)。\(P\{X>8\}=1-\Phi(\frac{8-2}{3})=1-\Phi(2)=0.0228\)。
例 3 \(X\sim U(0,1)\)，求 \(Y=-2\ln X\) 的密度。
\(g(x)=-2\ln x\) 在 \((0,1)\) 上严格递减，反函数 \(h(y)=e^{-y/2}\)，\(h'(y)=-\frac12e^{-y/2}\)。\(f_X=1\)，代入公式得 \(f_Y(y)=\frac12e^{-y/2}\)（\(y>0\)），其余处为 0，也就是 \(Y\sim E(0.5)\)。
习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题五分钟内
1. 袋中 3 个红球、2 个白球，任取 2 个，\(X\) 为红球个数。写出 \(X\) 的分布律并验算归一性。
看答案
\(P\{X=0\}=\frac{1}{10}\)，\(P\{X=1\}=\frac{6}{10}\)，\(P\{X=2\}=\frac{3}{10}\)，三项相加为 1。
2. \(X\sim B(5,0.4)\)，求 \(P\{X=2\}\) 与 \(P\{X\ge1\}\)。
看答案
\(P\{X=2\}=\binom{5}{2}0.4^2 0.6^3=0.3456\)；\(P\{X\ge1\}=1-0.6^5=0.9222\)。
3. \(X\sim P(2)\)，求 \(P\{X=0\}\) 与 \(P\{X\le1\}\)。
看答案
\(e^{-2}=0.1353\)，\(P\{X\le1\}=0.1353+2e^{-2}=0.4060\)。
4. \(X\sim U(2,6)\)，写出密度并求 \(P\{3<X\le5\}\)。
看答案
\(f(x)=\frac14\)（\(2<x<6\)），其余处为 0；\(P\{3<X\le5\}=\frac{5-3}{4}=0.5\)。
5. \(X\sim E(0.5)\)，求 \(P\{X>2\}\) 与 \(P\{1<X\le3\}\)。
看答案
\(P\{X>2\}=e^{-1}=0.3679\)；\(P\{1<X\le3\}=e^{-0.5}-e^{-1.5}=0.3834\)。
6. \(X\) 的分布函数为 \(F(x)=0\)（\(x<0\)）、\(1-e^{-2x}\)（\(x\ge0\)），求密度与 \(P\{1<X\le3\}\)。
看答案
求导得 \(f(x)=2e^{-2x}\)（\(x>0\)）；\(P\{1<X\le3\}=e^{-2}-e^{-6}=0.1328\)。
B 档 综合题，接近期末与考研难度
1. 200 件产品中有 2% 的次品，用泊松定理近似求「至少 2 件次品」的概率。
看答案
\(\lambda=np=4\)，\(P\{X\ge2\}=1-e^{-4}(1+4)=1-0.0916=0.9084\)。直接按二项算得 0.9106，两者相差约 0.002。
2. 设 \(X\) 的分布律为 \(P\{X=k\}=\frac{a}{3^k}\)，\(k=1,2,3\)。求 \(a\) 与 \(P\{X\ge2\}\)。
看答案
归一性给出 \(a(\frac13+\frac19+\frac1{27})=\frac{13a}{27}=1\)，所以 \(a=\frac{27}{13}\)。分布律是 \(\frac{9}{13},\frac{3}{13},\frac{1}{13}\)，\(P\{X\ge2\}=\frac{4}{13}\)。
3. 零件直径 \(X\sim N(10,0.04)\)，规定 9.7 到 10.3 为合格。求合格率；若标准差不变，要把公差放宽到多少才使合格率达到 0.99。
看答案
\(\sigma=0.2\)，\(P=2\Phi(1.5)-1=0.8664\)。要 0.99 需 \(z=2.575\)，公差取 \(10\pm0.515\)，即 9.485 到 10.515。
4. \(X\) 的密度为 \(f_X(x)=2x\)（\(0<x<1\)），求 \(Y=3X-1\) 的密度。
看答案
\(h(y)=\frac{y+1}{3}\)，\(|h'(y)|=\frac13\)，所以 \(f_Y(y)=\frac{2}{3}\cdot\frac{y+1}{3}=\frac{2(y+1)}{9}\)（\(-1<y<2\)），其余处为 0。
C 档 拓展与历史原题
1.（伯努利，1714）《推测术》里把 \(n=14\)、\(p=1/2\) 时的成功次数逐项列出。用二项分布算成功次数落在 6 到 8 之间的概率，并说明他为什么挑这串数。
看答案
\(\frac{\binom{14}{6}+\binom{14}{7}+\binom{14}{8}}{2^{14}}=\frac{9438}{16384}=0.576\)。他要说明的是：次数足够多时，频率落在一个窄带里的可能性很大，频率稳定才有算术上的保证。
2.（泊松，1837）设 \(X\sim P(2)\)，求 \(P\{X=0\}\) 与 \(P\{X=3\}\)，并说明「小数定律」指的是什么。
看答案
\(e^{-2}=0.1353\)，\(\frac{8}{6}e^{-2}=0.1804\)。小数定律说的是 \(n\) 很大、\(p\) 很小时，成功次数只由 \(\lambda=np\) 决定，事件再罕见也有稳定的发生率。
3.（高斯，1809；指数分布，20 世纪）\(X\sim N(0,1)\)，求 \(P\{|X|\le1\}\)；元件寿命 \(X\sim E(0.001)\)（单位小时），求 \(P\{X>1000\}\)，并说明无记忆性在寿命问题里意味着什么。
看答案
\(2\Phi(1)-1=0.6826\)；\(e^{-1}=0.3679\)。无记忆性意味着用过一个小时不会变得更差，剩下的寿命与全新的相同，所以指数分布只适合失效随时可能降临的元件。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 四条性质里把「右连续」换成「左连续」，图上的实心圆要搬到哪里，第 4 条的公式怎么改？
看提示
实心圆搬到跳点的左侧，取值改下面那一级，区间公式跟着变成 \(P\{a\le X<b\}=F(b)-F(a)\)。跳点上的概率仍然能用两个单侧极限相减得到。
2. 密度可以大于 1，「概率密度」这个名字容易让人在哪一步出错？
看提示
错在把 \(f(x)\) 当成 \(P\{X=x\}\)。概率要乘上区间长度再积分，宽度小于 1 时密度超过 1 完全正常。查一下总面积是不是 1，比盯着峰值高低有用。
3. \(Y=g(X)\) 与 \(X\) 一定是同一类型吗？举一个把连续型变成离散型的例子。
看提示
不必同类。取 \(X\sim U(0,1)\)，令 \(g(x)=1\)（\(x>0.5\)）、\(g(x)=0\)（\(x\le0.5\)），\(Y\) 只取两个值，是 0-1 分布。函数的取值集合决定类型，与 \(X\) 的类型无关。
延伸阅读
- 浙江大学《概率论与数理统计》第四版，第二章 §1 至 §4。本章的定义口径、例题难度与习题档位以这本为准。
- 伯努利《推测术》第二部分，1713 年巴塞尔印行、1714 年发行；英译本见 E. D. Sylla 译《The Art of Conjecturing》，约翰斯·霍普金斯大学出版社，2006 年。
- 泊松《关于判断的概率之研究》，1837 年，后半部分推导罕见事件的极限分布，附有误判人数的算例。
- Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications 第一卷，第六章。二项、泊松、几何三种分布的对照比课本细。