1615 年的葡萄熟得太多，酒价跌了，量酒的规矩却一个字没改，开普勒在林茨的集市上看检定官把一根量杆斜插进桶孔，凭一道刻度就报出一桶酒能装多少，回家把桶切成无数薄片，一片一片加起来。此后 130 年，这套加法量过摆线、悬链、水闸上的压力，可是它凭什么合法，一直没人说得清。
一、源头：酒桶、摆线与一条垂下来的链子
1615 年，开普勒在林茨出版《酒桶新立体几何》，书里几乎没有定理，只有 92 个立体的体积公式，最要紧的一个是奥地利式酒桶，他把桶横切成无数薄片，每片当成圆柱再加起来，因为薄片越薄，和就越接近真实容积。
这套做法在他手里是算术，还谈不上证明：阿基米德用穷竭法只处理过球、球缺与抛物线段这几个图形，开普勒把清单扩到 92 种，却一次也没说明「加起来」凭什么合法，公式大多和后来的积分对得上，理由只有「越薄越准」这句直觉。
1615 年，林茨
一本为了量酒桶写的几何书
“Nova stereometria doliorum vinariorum, in primis Austriaci, figurae omnium aptissimae.”
开普勒，《酒桶新立体几何》，林茨，1615 年。
书名把用途写在明处：立体几何被派去量酒桶，这个加法开普勒用了 92 次，没有一次追问过误差去了哪里。
半个世纪后，惠更斯把同一套加法用到摆线上，也就是一个圆沿直线滚动时圆周上一点画出的轨迹，1658 年算出一拱下的面积是 \(3\pi a^{2}\)，正好是生成圆面积的 3 倍，同年雷恩算出弧长是 \(8a\)。
沃利斯 1655 年的《无穷算术》用归纳和插值算出一族幂函数的求积公式，巴罗 1670 年的《几何讲义》指出求切线与求面积互逆，这两条路也都靠逐题发明。
1690 年，雅各布·伯努利在《教师学报》上悬赏悬链问题：一条均匀的链子两端固定，垂下来是什么曲线，伽利略断言的抛物线错了半个世纪，伯努利 1691 年用 \(\mathrm{d}s/\mathrm{d}x=y/a\) 解出 \(y=a\cosh(x/a)\)，惠更斯与莱布尼茨同年也交了卷。
十七世纪的求积一次算一个图形，谁也没有能把一整类问题一起收进去的办法，缺的就是这样一个模子。
模子在 18 世纪被收拢成形，1744 年欧拉在《求极大极小的新方法》里把问题推到下一层：未知的量变成一整条曲线，要问哪条曲线使某个积分最大或最小，开普勒的薄片只是在给定曲线下求一个数，欧拉要在所有曲线里挑一条。
二、思想的成形：一个模子，几把尺子
教材把这个模子叫元素法，也叫微元法，写法比名字重要：先在小区间上把那一小块写出来，再把小块累加。
定理（微元法）
设量 \(U\) 与区间 \([a,b]\) 有关，并且满足两条：其一，\(U\) 可加，把 \([a,b]\) 分成若干小区间后 \(U\) 等于各段对应量之和；其二，在任一小区间 \([x,x+\Delta x]\) 上，增量能写成 \(\Delta U=f(x)\Delta x+o(\Delta x)\)，\(f\) 在 \([a,b]\) 上连续。这时 \(U\) 就等于 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的定积分
\[ U=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \]其中 \(f(x)\,\mathrm{d}x\) 称为 \(U\) 的微元，记作 \(\mathrm{d}U\)。
把 \([a,b]\) 分成 \(n\) 段，第 \(i\) 段长 \(\Delta x_i\)，在其上任取 \(\xi_i\)，则 \(U=\sum f(\xi_i)\Delta x_i+\sum \varepsilon_i\Delta x_i\)，其中 \(\varepsilon_i\to 0\)，第一项是黎曼和，趋于 \(\int_a^b f\,\mathrm{d}x\)，第二项不超过 \(\max|\varepsilon_i|\cdot(b-a)\)，也趋于零，要点在于误差得在所有小区间上同时变小。
两条缺一不可：可加性保证总量等于部分之和，高阶误差保证扔掉的那部分不会累积成有限的一份，第三节的三个反例每一个都出在这两条上。
面积
面积最好办：直角坐标下取竖条作微元，条宽 \(\mathrm{d}x\)，条高 \(f(x)-g(x)\)，于是 \(\mathrm{d}A=[f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x\)，曲线若以参数方程给出，把 \(\mathrm{d}x\) 换成 \(x'(t)\,\mathrm{d}t\)，上下限一并换掉就行。
\[ A=\int_a^b\big[f(x)-g(x)\big]\,\mathrm{d}x,\qquad A=\int_{t_1}^{t_2}y(t)\,x'(t)\,\mathrm{d}t \]极坐标要换一种切法，曲线 \(\rho=\rho(\theta)\) 与两条射线 \(\theta=\alpha\)、\(\theta=\beta\) 围出一块曲边扇形，微元成了圆心角 \(\mathrm{d}\theta\)、半径 \(\rho(\theta)\) 的小扇形，面积是 \(\tfrac12\rho^{2}\,\mathrm{d}\theta\)，平方和二分之一的来历都在扇形面积公式里。
公式（极坐标面积）
若 \(\rho(\theta)\) 在 \([\alpha,\beta]\) 上连续且 \(\beta-\alpha\le 2\pi\)，则曲边扇形面积为 \(A=\dfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\rho^{2}(\theta)\,\mathrm{d}\theta\)。
凭什么整块扇形能换成一个三角形来算？
小扇形的两条半径都是 \(\rho\)，夹角是 \(\mathrm{d}\theta\)，把它当三角形，底取弧长 \(\rho\,\mathrm{d}\theta\)，高取 \(\rho\)，面积就是 \(\tfrac12\rho^{2}\,\mathrm{d}\theta\)，丢掉的那点弓形还小一个量级，除以 \(\mathrm{d}\theta\) 后趋于零。同一个图上量弧长，直角边是 \(\mathrm{d}\rho\) 与 \(\rho\,\mathrm{d}\theta\)，斜边就是 \(\mathrm{d}s=\sqrt{\rho^{2}+\rho'^{2}}\,\mathrm{d}\theta\)。
体积
同一个旋转体横着切、竖着切都行，切法不同微元就不同，答案必须一样，这是检查微元写对没写对最快的办法。
公式（旋转体体积）
曲边梯形 \(0\le y\le f(x)\)、\(a\le x\le b\) 绕 \(x\) 轴旋转，竖条的微元是一块薄圆盘；区域夹在 \(f\) 与 \(g\) 之间（\(f\ge g\ge 0\)）时微元是垫片；同一个区域绕 \(y\) 轴旋转，竖条的微元成了一层薄柱壳。三种写法合起来是
\[ V=\pi\int_a^b f^{2}(x)\,\mathrm{d}x,\qquad V=\pi\int_a^b\big[f^{2}(x)-g^{2}(x)\big]\,\mathrm{d}x,\qquad V=2\pi\int_a^b x\,f(x)\,\mathrm{d}x \]依次是圆盘法、垫片法与柱壳法。
圆盘法的微元是一块半径 \(f(x)\)、厚 \(\mathrm{d}x\) 的薄圆盘，体积 \(\pi f^{2}\mathrm{d}x\)；柱壳法的微元是一层薄柱壳，展开后是一块长 \(2\pi x\)、高 \(f(x)\)、厚 \(\mathrm{d}x\) 的薄板，半径若误写成 \(f(x)\)，整条式子就废了。
圆盘法和柱壳法，到底该挑哪一个？
绕 \(x\) 轴转就横着切，截面是圆，用圆盘或垫片，半径读 \(y\)；绕 \(y\) 轴转就竖着切，截面是环，用柱壳，半径读 \(x\)、高读 \(y\)。\(y=f(x)\) 好解就套圆盘，\(x=g(y)\) 好解就套垫片，两边都不好解才去套柱壳。
若立体垂直于 \(x\) 轴的截面面积 \(A(x)\) 已知，就不用旋转，这叫平行截面法，微元是 \(\mathrm{d}V=A(x)\,\mathrm{d}x\)，圆盘法和垫片法都是它的特例。
弧长
把曲线分成 \(n\) 段，用弦长代替弧长再加起来，因为弦长是 \(\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\)，由拉格朗日中值定理它等于 \(\sqrt{1+f'(\xi_i)^{2}}\,\Delta x_i\)，弧微分 \(\mathrm{d}s\) 就是这么来的。
定理（弧长）
设曲线光滑，则弧长可以用三种形式计算：
\[ s=\int_a^b\sqrt{1+y'^{2}}\,\mathrm{d}x,\qquad s=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{x'^{2}(t)+y'^{2}(t)}\,\mathrm{d}t,\qquad s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^{2}(\theta)+\rho'^{2}(\theta)}\,\mathrm{d}\theta \]依次对应直角坐标、参数方程与极坐标，三个式子出自同一个 \(\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^{2}+(\mathrm{d}y)^{2}}\)。
旋转曲面的侧面积
侧面积的微元是一段弧绕轴转出来的圆台，圆台侧面积等于 \(2\pi\) 乘以上下底半径的平均值再乘斜高，所以 \(\mathrm{d}S=2\pi y\,\mathrm{d}s\)，写成 \(2\pi y\,\mathrm{d}x\) 就错了。
\[ S=2\pi\int_a^b |f(x)|\sqrt{1+f'^{2}(x)}\,\mathrm{d}x \]这两个式子不能混，球面若用 \(2\pi y\,\mathrm{d}x\) 去积，得到的是 \(\pi^{2}R^{2}\)，比真值 \(4\pi R^{2}\) 小了两成，带 \(\mathrm{d}s\) 才对，完整的算法放在 C 档第 1 题。
圆台公式里的平均半径，凭什么直接当成 y？
圆台侧面积是 \(2\pi\) 乘平均半径再乘斜高，一段短弧上两个半径只差一个 \(\mathrm{d}\rho\)，平均下来和 \(y\) 只差半阶小量，乘上 \(\mathrm{d}s\) 之后误差变成两阶，除以 \(\mathrm{d}x\) 就趋于零。换成 \(\mathrm{d}x\) 等于把斜带子拍平，误差留在一阶，积出来才差两成。
平面图形绕与它不相交的轴转一圈，形心走过的路程是 \(2\pi\bar{x}\)，于是 \(V=2\pi\bar{x}A\)、\(S=2\pi\bar{x}L\)，这就是帕普斯-古尔丁定理，也是柱壳法的几何版。
力、压力与质量
物理量的微元切的是过程：变力沿直线做功，取位移微元 \(\mathrm{d}x\)，力在这一小段上可以当常数，\(\mathrm{d}W=F(x)\,\mathrm{d}x\)；抽水的问题全在距离上，水深 \(y\) 处的一层水要提到池口上方 \(H\) 处，走的路程是 \(H-y\)，写成 \(y\) 就错了。
静水压力的微元是一片水平窄带，压强随深度线性增长，\(\mathrm{d}P=\rho g y\,w(y)\,\mathrm{d}y\)，\(w(y)\) 是深度 \(y\) 处的宽度；引力的微元是矢量，算出 \(\mathrm{d}F=k m\lambda\,\mathrm{d}x/r^{2}\) 之后还得投影到要的那个方向上。
抽水和挡水板，这两类题具体怎么摆式子？
底面半径 2 m、深 4 m 的满水池，把水提到池口上方 2 m：水面下 \(y\) 处一层水升高 \(6-y\)，\(\mathrm{d}W=4\pi\rho g(6-y)\,\mathrm{d}y\)，积出 \(64\pi\rho g\approx1.97\times10^{6}\) J。半径 \(R\) 的半圆板直径与水面齐平，深度 \(y\) 处宽 \(2\sqrt{R^{2}-y^{2}}\)，压力 \(P=\rho g\int_0^{R}2y\sqrt{R^{2}-y^{2}}\,\mathrm{d}y=\tfrac23\rho gR^{3}\)。
质心和转动惯量是同一类加法：质量微元 \(\mathrm{d}m=\rho(x)\,\mathrm{d}x\)，质心横坐标是 \(\bar{x}=\int x\,\mathrm{d}m\big/\int \mathrm{d}m\)，密度均匀时分子是静矩、分母是面积或弧长，名字改叫形心；转动惯量的微元是 \(y^{2}\,\mathrm{d}m\)。
经济学中的一段
边际函数是导数，由导数还原总量就是定积分：边际成本 \(C'(q)\) 已知时，产量从 0 增到 \(q\) 新增的成本是 \(\int_0^q C'(t)\,\mathrm{d}t\)，消费者剩余是需求曲线与价格线之间那块面积，\(\int_0^{q_0}[p(q)-p_0]\,\mathrm{d}q\)。
三、严格化：什么时候不能这样切
微元法失效的情形都落在前面那两条上：可加性被违反，或者误差不是高阶的，两种错在算的过程里都看不出来，式子和积分都顺顺当当，结果却是错的。
第一个反例是球面面积，把半径 \(R\) 的球面切成水平薄带，若把每条带当成高 \(\mathrm{d}y\) 的圆柱侧面，微元写成 \(2\pi\sqrt{R^{2}-y^{2}}\,\mathrm{d}y\)，积分得 \(\pi^{2}R^{2}\approx9.87R^{2}\)，真值是 \(4\pi R^{2}\approx12.57R^{2}\)，因为带子的斜高是 \(\mathrm{d}s\)，球面在赤道附近几乎竖直，用水平厚度乘周长等于把斜带子拍平了。
第二个反例是引力，把均匀细杆的质量挪到质心去算，得到 \(kmM/a^{2}\)，真值是 \(kmM/\big(a\sqrt{a^{2}+l^{2}}\big)\)（杆长 \(2l\)），因为 \(1/r^{2}\) 不线性，离质点近的那段贡献大；牛顿证明过球壳能按质心算，那是靠球面对称，搬不到杆上。
第三个反例出在可加性上，最大斜率、平均密度、周长与面积之比都没有「整体等于部分之和」的性质，切开再拼回去得不到原样，给它们写一个 \(\mathrm{d}\) 什么，只是模仿记号。
微元法先问两件事：这个量切成小块还能加回来吗，扔掉的那点误差是不是比 \(\Delta x\) 小得更快；两条都答得上来才动笔。
19 世纪把这套直觉换成了能检查的条件：柯西 1821 年的《分析教程》把定积分定义成和的极限，误差从此有了讨论对象，黎曼 1854 年给出可积性条件，达布用上积分与下积分把「和趋于同一个数」盯得更紧，缺的就是误差累加要一致地小这句话。
1696 年 6 月，《教师学报》
一个把微元推到极限的问题
“Datis in plano verticali duobus punctis A et B, assignare mobili M viam, per quam ab A ad B descendendo, gravitate propria motum accelerante, tempore brevissimo perveniat.”
约翰·伯努利 1696 年 6 月号提出的公开问题，通行中译为「给定铅垂平面上两点 \(A\) 与 \(B\)，求一质点仅在重力作用下由 \(A\) 滑到 \(B\) 所用时间最短的路径」。
答案是一段摆线，牛顿收到问题的当晚就把解答写出来，匿名寄回；问题问的东西变了，从「曲线下的面积是多少」变成「哪条曲线使某个量最小」，1760 年拉格朗日给这类问题取名变分法。
变的只是目标，砖块还是那几块：变分法里照样在小区间上把曲的换成直的、照样丢掉高阶小量，只是拿来比较的成了一整族曲线。
四、方法手册：从写微元到写积分
做题的顺序固定成五步，前四步都在纸上，最后一步才动积分表。
- 判可加：确认要求的量是「整体等于部分之和」的量，否则停手。
- 选变量：确定用 \(x\)、\(y\)、\(t\) 还是 \(\theta\) 作积分变量，写出它的取值范围。
- 写微元：在 \([x,x+\Delta x]\) 上把曲的换成直的，写出线性主部 \(\mathrm{d}U\)，并把几何意义画出来。
- 查误差：主部之外剩下的必须是 \(o(\Delta x)\)，也就是除以 \(\Delta x\) 后趋于零。
- 定限积分：上下限与积分变量一致，算出结果后用量纲或几何估计验一遍。
阅卷里最常见的是两类：微元写错与上下限错位。面积写成下减上，取绝对值时才发现多算了对称的一块；极坐标面积忘了 \(\tfrac12\)，或者把 \(\rho^{2}\) 漏写成 \(\rho\)；柱壳法把半径写成 \(f(x)\)，实际半径是 \(x\)；弧长和侧面积把 \(\mathrm{d}s\) 写成 \(\mathrm{d}x\)，球面因此算成 \(\pi^{2}R^{2}\)。
五、例题
例 1 求双纽线 \(\rho^{2}=2a^{2}\cos 2\theta\) 所围图形的面积。
先定限：\(\rho^{2}\ge 0\) 要求 \(\cos 2\theta\ge 0\)，即 \(\theta\in[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}]\) 是右叶，左叶在 \([\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}]\)，图形关于两轴对称，总面积是右叶上半的四倍，取扇形微元 \(\mathrm{d}A=\tfrac12\rho^{2}\mathrm{d}\theta\)，得 \(A=4\cdot\tfrac12\int_0^{\pi/4}2a^{2}\cos 2\theta\,\mathrm{d}\theta=4a^{2}\cdot\tfrac12=2a^{2}\)。定限的关键是 \(\rho^{2}\ge 0\) 的区间，出了这个区间曲线根本不存在。
例 2 由 \(y=x^{2}\)、\(y=0\)、\(x=1\) 围成的图形绕 \(y\) 轴旋转，求体积。
绕 \(y\) 轴转，竖条转一圈得到柱壳，半径 \(x\)，高 \(x^{2}\)，厚 \(\mathrm{d}x\)，故 \(\mathrm{d}V=2\pi x\cdot x^{2}\,\mathrm{d}x\)，积分 \(V=2\pi\int_0^1x^{3}\,\mathrm{d}x=\tfrac{\pi}{2}\)；换垫片法复核，把 \(y\) 当变量，\(x\) 从 \(\sqrt{y}\) 到 1，\(V=\pi\int_0^1\big(1-y\big)\,\mathrm{d}y=\tfrac{\pi}{2}\)，两种切法一致。
例 3 求摆线 \(x=a(t-\sin t)\)，\(y=a(1-\cos t)\) 一拱（\(0\le t\le 2\pi\)）的弧长。
\(x'=a(1-\cos t)\)，\(y'=a\sin t\)，故 \(\mathrm{d}s=a\sqrt{(1-\cos t)^{2}+\sin^{2}t}\,\mathrm{d}t=a\sqrt{2-2\cos t}\,\mathrm{d}t=2a\sin\tfrac{t}{2}\,\mathrm{d}t\)，积分 \(s=2a\int_0^{2\pi}\sin\tfrac{t}{2}\,\mathrm{d}t=8a\)；化简用了 \(1-\cos t=2\sin^{2}\tfrac{t}{2}\)，在 \([0,2\pi]\) 上 \(\sin\tfrac{t}{2}\ge 0\)，开方不必带绝对值。
六、习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题 5 分钟内
1. 求 \(y=x^{2}\) 与 \(y=x\) 所围图形的面积。
看答案
交点 \(x=0,1\)，在 \((0,1)\) 上 \(x\gt x^{2}\)，故 \(A=\int_0^1(x-x^{2})\,\mathrm{d}x=\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16\)。
2. 求 \(y=\tfrac23x^{3/2}\) 在 \(0\le x\le 3\) 上的弧长。
看答案
\(y'=\sqrt{x}\)，\(\mathrm{d}s=\sqrt{1+x}\,\mathrm{d}x\)，\(s=\int_0^3\sqrt{1+x}\,\mathrm{d}x=\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big|_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}\)。
3. 求心形线 \(\rho=a(1+\cos\theta)\) 所围图形的面积。
看答案
\(A=\tfrac12\int_0^{2\pi}a^{2}(1+\cos\theta)^{2}\,\mathrm{d}\theta=\tfrac{a^{2}}{2}\int_0^{2\pi}\big(1+2\cos\theta+\cos^{2}\theta\big)\mathrm{d}\theta=\tfrac{a^{2}}{2}\big(2\pi+0+\pi\big)=\tfrac{3\pi a^{2}}{2}\)。用到了 \(\int_0^{2\pi}\cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta=\pi\)。
4. 由 \(y=\sqrt{x}\)、\(x=4\)、\(y=0\) 围成的图形绕 \(x\) 轴旋转，求体积。
看答案
圆盘法：\(\mathrm{d}V=\pi(\sqrt{x})^{2}\mathrm{d}x=\pi x\,\mathrm{d}x\)，\(V=\pi\int_0^4x\,\mathrm{d}x=8\pi\)。注意旋转体的母线是抛物线弧，不是直线段，所以它不是圆锥：圆锥的体积 \(\tfrac{16\pi}{3}\) 与 \(8\pi\) 不等，两个值别混。
5. 变力 \(F(x)=3x^{2}\)（单位 N）沿 \(x\) 轴把物体从 \(x=1\) 推到 \(x=3\)，求做功。
看答案
\(W=\int_1^3 3x^{2}\,\mathrm{d}x=x^{3}\Big|_1^3=27-1=26\) J。注意单位：\(F\) 用 N、\(x\) 用 m，功才是 J。
B 档 综合题，接近考试难度
1. 由 \(y=x^{2}\) 与 \(x=y^{2}\) 围成的图形绕 \(y\) 轴旋转，求体积，并用另一种切法复核。
看答案
柱壳法：\(0\le x\le1\) 时上方是 \(y=\sqrt{x}\)、下方是 \(y=x^{2}\)，\(\mathrm{d}V=2\pi x(\sqrt{x}-x^{2})\mathrm{d}x\)，\(V=2\pi\big(\tfrac25-\tfrac14\big)=\tfrac{3\pi}{10}\)。复核用垫片法对 \(y\) 积分：\(x\) 从 \(y^{2}\) 到 \(\sqrt{y}\)，\(V=\pi\int_0^1(y-y^{4})\,\mathrm{d}y=\pi\big(\tfrac12-\tfrac15\big)=\tfrac{3\pi}{10}\)。
2. 一立体的底面是圆 \(x^{2}+y^{2}\le 1\)，垂直于 \(x\) 轴的截面都是等边三角形，求体积。
看答案
位置 \(x\) 处截面正三角形的边长是 \(2\sqrt{1-x^{2}}\)，面积 \(A(x)=\tfrac{\sqrt3}{4}\cdot4(1-x^{2})=\sqrt3(1-x^{2})\)。\(V=\int_{-1}^{1}\sqrt3(1-x^{2})\,\mathrm{d}x=\sqrt3\big(2-\tfrac23\big)=\tfrac{4\sqrt3}{3}\)。要点是截面面积算对，积分本身是初等的。
3. 半径 \(R\) 的半圆形薄板竖直放置，直径边与水面齐平，求一侧所受的静水压力。
看答案
取深度 \(y\) 为积分变量，\(0\le y\le R\)，该处宽度 \(w(y)=2\sqrt{R^{2}-y^{2}}\)，\(P=\rho g\int_0^R 2y\sqrt{R^{2}-y^{2}}\,\mathrm{d}y=\tfrac23\rho gR^{3}\)（令 \(u=R^{2}-y^{2}\)）。若把直径边沉到水面以下 \(h\) 处，被积函数变成 \((h+y)\)，多出的一项正是面积乘 \(h\)，这就是帕普斯-古尔丁式的平移。
4. 长 \(2l\)、质量 \(M\) 的均匀细杆，求它对中垂线上距杆 \(a\) 处质点 \(m\) 的引力，并与把杆看成质点时的结果比较。
看答案
杆上 \(x\) 处微元质量 \(\tfrac{M}{2l}\mathrm{d}x\)，到质点的距离是 \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\)，平行于杆的分量成对抵消，只剩垂直分量 \(\mathrm{d}F=\tfrac{kmM}{2l}\cdot\tfrac{a}{(a^{2}+x^{2})^{3/2}}\mathrm{d}x\)，积分得 \(F=\tfrac{kmM}{a\sqrt{a^{2}+l^{2}}}\)。把质量搬到质心，等于把每个微元那个小于 1 的因子 \(\tfrac{a}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}\) 全当成 1，得到 \(\tfrac{kmM}{a^{2}}\)，两者之比正是 \(\tfrac{a}{\sqrt{a^{2}+l^{2}}}\)。
C 档 拓展与历史原题
1. 阿基米德在《论球与圆柱》（约公元前 225 年）证明：球体积是外切圆柱体积的 \(\tfrac23\)，球表面积等于外切圆柱的侧面积，也就是圆柱全面积的 \(\tfrac23\)。用薄片求和重做这两个结果，并解释他为什么只能用双重归谬法。
看答案
体积：半球沿 \(y\) 切片，半径 \(\sqrt{R^{2}-y^{2}}\)，\(V=2\pi\int_0^R(R^{2}-y^{2})\mathrm{d}y=\tfrac{4}{3}\pi R^{3}\)，外切圆柱是 \(2\pi R^{3}\)，比为 \(\tfrac23\)。面积：周长 \(2\pi\sqrt{R^{2}-y^{2}}\) 乘斜高 \(\mathrm{d}s=R\,\mathrm{d}y\big/\sqrt{R^{2}-y^{2}}\)，恰得 \(2\pi R\,\mathrm{d}y\)，故 \(S=4\pi R^{2}\)，与外切圆柱侧面积相等，与圆柱全面积之比才是 \(\tfrac23\)。他没有极限符号，只能对给定误差用内接、外接多面体各夹一次，这就是双重归谬；面积那一步若写成 \(2\pi y\,\mathrm{d}y\) 会得 \(\pi^{2}R^{2}\)，选 \(\mathrm{d}s\) 才是关键。
2. 帕斯卡 1658 年悬赏的摆线问题：求一拱的面积、一拱的弧长、以及一拱绕 \(x\) 轴旋转所得立体的体积，取 \(x=a(t-\sin t)\)，\(y=a(1-\cos t)\)。
看答案
面积 \(A=\int_0^{2\pi}a^{2}(1-\cos t)^{2}\mathrm{d}t=3\pi a^{2}\)，是生成圆面积的 3 倍；弧长 \(8a\)（见例 3）；体积 \(V=\pi a^{3}\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^{3}\mathrm{d}t=5\pi^{2}a^{3}\)，因为 \((1-\cos t)^{3}\) 展开后只有 \(1\) 与 \(\cos^{2}t\) 两项积分不为零，分别是 \(2\pi\) 与 \(3\pi\)。
3. 1691 年雅各布·伯努利解悬链时用的方程是 \(\mathrm{d}s/\mathrm{d}x=y/a\)。验证 \(y=a\cosh(x/a)\) 满足这个方程，并求最低点到 \(x=a\) 处的弧长。
看答案
\(y'=\sinh\tfrac{x}{a}\)，\(\mathrm{d}s/\mathrm{d}x=\sqrt{1+\sinh^{2}\tfrac{x}{a}}=\cosh\tfrac{x}{a}=y/a\)，方程成立，最低点取在 \(x=0\) 处。弧长 \(s=\int_0^{a}\cosh\tfrac{x}{a}\,\mathrm{d}x=a\sinh 1\approx1.175a\)。弧长就是纵坐标的 \(a\) 倍，伯努利因此能把几何条件直接写成微分方程。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 为什么球面的面积微元是 \(2\pi y\,\mathrm{d}s\) 而不是 \(2\pi y\,\mathrm{d}x\)？如果把球面换成它的内接折线旋转所得曲面，让折线越来越密，得到的是哪个值？提示：折线旋转得到一串圆台，每个圆台的侧面积等于 \(\pi(y_1+y_2)\) 乘以斜高，斜高正是 \(\Delta s\)。
看提示
把每个圆台的侧面积写成 \(\pi(y_1+y_2)\Delta s\)，当分割变密时 \(y_1,y_2\) 相差很小，和趋于 \(2\pi\int y\,\mathrm{d}s\)。整个过程里没有任何一步可以用 \(\mathrm{d}x\) 代替 \(\mathrm{d}s\)，因为斜高与水平厚度之比不趋于 1。
2. 微元法要求量可加。请举出三个常见但不可加的量，并说明如果硬把它们切成微元再积分，会得到什么荒谬结果。提示：想想最大值、平均密度、以及「周长与面积之比」这类比值量。
看提示
以最大值为例：每一小段上的最大值之和显然大于整体最大值，积分出来的是一个没有意义的数。比值量更糟，各段比值的积分与整体的比没有关系。可加性不是技术细节，它决定了这个量能不能被积分。
3. 欧拉 1744 年要找的是「使某个积分最小」的整条曲线。这一步与本章的微元法共用哪些环节，又在哪一步彻底分开？提示：微元还是同一个，变的是一次性比较的对象。
看提示
分割、写微元、丢高阶小量这三步完全一样；分开的地方在于「求和」之后还要对整条曲线作扰动，比较扰动前后积分的差。这就是变分法与定积分应用的分水岭。
延伸阅读
- 同济大学数学系《高等数学》第七版上册，第六章「定积分的应用」，§6.1 至 §6.3。
- 开普勒《酒桶新立体几何》（Nova stereometria doliorum vinariorum），林茨，1615。
- 沃利斯《无穷算术》（Arithmetica infinitorum），牛津，1655；巴罗《几何讲义》（Lectiones geometricae），伦敦，1670；惠更斯《摆钟论》（Horologium oscillatorium），巴黎，1673，关于摆线与摆线摆的部分。
- 欧拉《求极大极小的新方法》（Methodus inveniendi lineas curvas），洛桑，1744；菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷，定积分应用与物理应用各章。