微分方程

(1) 二阶，线性，非齐次；(2) 一阶，非线性，因为出现 \(y^{2}\)；(3) 二阶，非线性，因为 \(y\) 与 \(y''\) 相乘；(4) 二阶，线性，齐次，定义域 \(x\gt 0\)。判断线性只看 \(y\) 与各阶导数是否都以一次方出现、系数是否只含 \(x\)，与右端是什么无关。

可分离：\(e^{y}\mathrm{d}y=e^{x}\mathrm{d}x\)，积分得 \(e^{y}=e^{x}+C\)。代入初值 \(2=1+C\)，\(C=1\)，所以 \(e^{y}=e^{x}+1\)，即 \(y=\ln\left(e^{x}+1\right)\)。检验一下：\(y'=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}=e^{x-y}\)，成立。注意这里没有丢解，因为 \(g(y)=e^{-y}\) 恒不为零。

令 \(u=\frac{y}{x}\)，则 \(xu'=\frac{1+u}{1-u}-u=\frac{1+u^{2}}{1-u}\)，分离变量得 \(\frac{1-u}{1+u^{2}}\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}\)。积分得 \(\arctan u-\frac{1}{2}\ln\left(1+u^{2}\right)=\ln\left|x\right|+C\)。用 \(\frac{1}{2}\ln\left(1+u^{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)-\ln\left|x\right|\) 化简，两边的 \(\ln\left|x\right|\) 抵消，得 \(\arctan\frac{y}{x}=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)+C\)。改用极坐标 \(\theta=\arctan\frac{y}{x}\)、\(r^{2}=x^{2}+y^{2}\)，答案就是 \(\theta=\ln r+C\)，一条等角螺线：每绕一圈，半径按固定倍数放大。

\(P=2x\)，\(\int P\mathrm{d}x=x^{2}\)，积分因子 \(e^{x^{2}}\)。两边乘上它，左端化为 \(\left(ye^{x^{2}}\right)'=2x\)，积分得 \(ye^{x^{2}}=x^{2}+C\)，于是 \(y=\left(x^{2}+C\right)e^{-x^{2}}\)。这一题用公式一步可得，但用积分因子写一遍更稳，因为 \(\int P\mathrm{d}x\) 不必带常数，带了也会被外面的因子吸收掉。

(1) 特征根 2 与 3，\(y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}\)；(2) 特征根 \(-2\) 是二重根，\(y=\left(C_{1}+C_{2}x\right)e^{-2x}\)，漏掉 \(x\) 这一项是最常见的错，因为两个解必须线性无关，而 \(e^{-2x}\) 只给得出一个；(3) 特征根 \(\pm 3i\)，实部为零，\(y=C_{1}\cos 3x+C_{2}\sin 3x\)，振荡不衰减。

属于 \(y''=f(x)\) 型，逐次积分：\(y'=x^{2}+C_{1}\)，\(y=\frac{x^{3}}{3}+C_{1}x+C_{2}\)。由 \(y'(0)=1\) 得 \(C_{1}=1\)，由 \(y(0)=0\) 得 \(C_{2}=0\)，所以 \(y=\frac{x^{3}}{3}+x\)。两次积分出现两个常数，两个初始条件正好用完，这就是阶数与常数个数的对应。

\(P=\frac{1}{x}\)，积分因子 \(x\)，两边乘上得 \(\left(xy\right)'=x\sin x\)。分部积分 \(\int x\sin x\,\mathrm{d}x=-x\cos x+\sin x\)，所以 \(xy=-x\cos x+\sin x+C\)。代入 \(x=\pi\)：左边是 \(\pi\)，右边是 \(\pi+C\)，得 \(C=0\)。于是 \(y=-\cos x+\frac{\sin x}{x}\)，定义域 \(x\gt 0\)。若忘了写定义域，答案在 \(x=0\) 附近没有意义，因为 \(P\) 在那里不连续。

\(n=2\)，令 \(z=y^{1-2}=y^{-1}\)，则 \(z'=-y^{-2}y'\)，两边除以 \(y^{2}\) 后方程变成 \(-z'-z=e^{x}\)，即 \(z'+z=-e^{x}\)。积分因子 \(e^{x}\)，得 \(\left(ze^{x}\right)'=-e^{2x}\)，积分得 \(ze^{x}=-\frac{1}{2}e^{2x}+C\)，即 \(z=Ce^{-x}-\frac{1}{2}e^{x}\)。由 \(y(0)=1\) 得 \(z(0)=1\)，故 \(C=\frac{3}{2}\)，最后 \(y=\dfrac{2}{3e^{-x}-e^{x}}\)。注意 \(y\equiv 0\) 也是解，它在除以 \(y^{2}\) 时被排除，必须单独提一句。

(1) \(\frac{\partial M}{\partial y}=2x+2y=\frac{\partial N}{\partial x}\)，条件成立。取 \(u=\int M\,\mathrm{d}x=x^{2}y+xy^{2}\)（对 \(x\) 积分时把 \(y\) 当常数），再验证 \(u_{y}=x^{2}+2xy=N\)，通解为 \(x^{2}y+xy^{2}=C\)。(2) \(M=y\)，\(N=-x\)，\(\frac{\partial M}{\partial y}=1\)，\(\frac{\partial N}{\partial x}=-1\)，不是全微分方程。取 \(\mu=\frac{1}{x^{2}}\)，方程变成 \(\frac{y}{x^{2}}\mathrm{d}x-\frac{1}{x}\mathrm{d}y=0\)，即 \(\mathrm{d}\left(-\frac{y}{x}\right)=0\)，解为 \(y=Cx\)。但 \(\mu\) 在 \(x=0\) 处无定义，而 \(x\equiv 0\) 确实满足原方程，这一条竖直的积分曲线就被除掉了，必须补上。

(1) \(T=20+70e^{-kt}\)，由 \(T(10)=60\) 得 \(70e^{-10k}=40\)，\(e^{-10k}=\frac{4}{7}\)，\(k=\frac{1}{10}\ln\frac{7}{4}\approx 0.0560\)。每 10 分钟温差乘 \(\frac{4}{7}\)，这是等比缩小，不必再解方程；(2) \(T(20)=20+70\left(\frac{4}{7}\right)^{2}\approx 42.9\) 摄氏度；(3) 要 \(70e^{-kt}=10\)，即 \(e^{-kt}=\frac{1}{7}\)，\(t=\frac{\ln 7}{k}=10\cdot\frac{\ln 7}{\ln\left(7/4\right)}\approx 34.8\) 分钟。第 (3) 问的答案有限，而降到恰好 20 摄氏度需要无穷长时间，两者不矛盾：温差按比例缩小，永远不为零。

第一步做受力分析：最低点的水平张力处处是 \(H\)，竖直分量等于垂下那一段的重量 \(\rho gs\)，两式相除得 \(\tan\theta=\frac{s}{a}\)，即 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{s}{a}\)；对 \(x\) 求导并用 \(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=\sqrt{1+(y')^{2}}\)，得 \(y''=\frac{1}{a}\sqrt{1+(y')^{2}}\)。第二步令 \(p=y'\)，积分得 \(p=\sinh\frac{x}{a}\)，再积分一次得 \(y=a\cosh\frac{x}{a}\)（取最低点在 \(x=0\)、\(y=a\)）。难的是第一步的受力分析，抛物线则是把 \(\cosh x-1=\frac{x^{2}}{2}+\cdots\) 截断，只在顶点附近一致。

试 \(y=e^{rx}\) 得 \(r^{2}+1=0\)，在实数里无根，但这只说明试探的形状不够宽：把 \(e^{rx}\) 放到复数里就有 \(r=\pm i\)，用欧拉公式取实部虚部，得到线性无关的 \(\cos x\) 与 \(\sin x\)。初值 \(y(0)=0\)、\(y'(0)=1\) 给出 \(\sin x\)，初值 \(y(0)=1\)、\(y'(0)=0\) 给出 \(\cos x\)。不借复数也读得出来：\(y''=-y\) 说加速度始终与位移反向且成比例，这正是周期为 \(2\pi\) 的简谐振动。

这里 \(n=2\)，令 \(z=y^{-1}\)，则 \(z'=-y^{-2}y'\)，两边除以 \(y^{2}\) 后方程变成 \(z'-\frac{z}{x}=-1\)，乘积分因子 \(\frac{1}{x}\) 后积分得 \(z=x\left(C-\ln x\right)\)，于是 \(y=\dfrac{1}{x\left(C-\ln x\right)}\)，它在 \(x\left(C-\ln x\right)=0\) 处爆破。代换有效是次数算术：除以 \(y^{n}\) 把每项统一降 \(n\) 次，而 \(z=y^{1-n}\) 的导数恰好带 \(y^{-n}\)，非线性的 \(y^{n}\) 就变成了常数 1。这也说明伯努利方程的解未必能延拓到整个区间。

一个常数只能满足一条约束。少一个常数，就意味着有一整类初始条件根本无解，而方向场那幅图上每个点都该有一条曲线经过。反过来，常数多了也不是好事：多出的自由度意味着同一个初值能挑出好几条曲线，唯一性就没了。

不相交靠的是「同一点只有一个斜率」加上唯一性，也就是李普希茨条件。换成 \(3y^{2/3}\) 后，过原点可以画出 \(y\equiv 0\) 与 \(y=x^{3}\) 两条不同的解，它们在原点相交，方向场在那一点的邻域里「允许」两种走法。图画不出条件失效，只能画出示意：两条曲线擦着同一个点分开。

换法的自由度只有一个，而方程也只有一个。写成 \(C(x)\) 时，代回后剩下的正好是 \(C'(x)e^{-\int P}=Q\)，可以直接积分；写成 \(C(x^{2})\) 只是把自变量换了个名字，仍然等价于某个 \(C(x)\)，而写成两个函数就多出一个未知量，方程不够用。技巧的自由度必须与方程的自由度对齐，这也是常数变易法能推广到高阶的原因。