1637 年，莱顿的书店里出现一本薄书，笛卡尔在《几何学》里把平面上的点写成一对数，曲线就变成方程；1795 年蒙日在巴黎把立体压到两张纸上。可要往下算，还需要一种能相加相乘的方向，这件东西拖到 19 世纪末才被吵清楚。
一、源头：笛卡尔的一对数，蒙日的两张图
笛卡尔 1637 年的《几何学》是三篇附录中的最后一篇，书里的坐标也不是今天这两条垂直的轴：他只画一条基线，在上面量一个长度，再斜着量另一个。几乎同时，费马在图卢兹把轨迹翻译成含两个未知数的方程，1636 年前后成稿，1679 年才收进《杂著》出版。
从两个数到三个数，看着只多一个字母，实际卡了很久，因为纸只有两个方向，第三个坐标没有地方放。
把这件事办成的是蒙日：1771 年他讲空间曲线曲率的论文在巴黎科学院宣读，「双曲率曲线」不落在任何平面上，1795 年他在新办的巴黎高等师范开讲画法几何，讲稿 1799 年成书。画法几何把空间的点垂直投到两张互相垂直的平面上，再把其中一张摊平，两个投影合起来就把点定死了。
蒙日 1802 年的《分析在几何中的应用》已经在把曲面当方程处理，切平面、法线、直纹面全写成了分析式，他缺的只是一套能加减乘除的向量。
二、成形：把角、面积、体积翻译成数
从坐标到向量
空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴组成，交点是原点，三个坐标面把空间分成八个卦限，设两点 \(M_1(x_1,y_1,z_1)\)、\(M_2(x_2,y_2,z_2)\)，勾股定理用两次就得到距离
\[ |M_1M_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}. \]向量是既有大小又有方向的量，大小叫模 \(|\vec a|\)，不关心起点的叫自由向量、可以平移，加法用三角形法则，数乘只改长度、乘负数就反向，两条运算都在坐标下逐分量进行。三个方向余弦满足 \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\)，这只是单位向量长度为 1 的写法。
数量积：把角变成数
定义（数量积，又称点积、内积）
设 \(\vec a\)、\(\vec b\) 是两向量，夹角为 \(\theta\in[0,\pi]\)，称数
\[ \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta \]
为 \(\vec a\) 与 \(\vec b\) 的数量积。设 \(\vec a=(a_x,a_y,a_z)\)，\(\vec b=(b_x,b_y,b_z)\)，则
\[ \vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z,\qquad \cos\theta=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{|\vec a||\vec b|}. \]
数量积最实在的用处是投影：向量 \(\vec b\) 在 \(\vec a\) 上的投影 \(\mathrm{Prj}_{\vec a}\vec b=|\vec b|\cos\theta\)，于是 \(\vec a\cdot\vec b\) 就是 \(|\vec a|\) 乘这个投影，点到平面、点到直线的距离公式都从这里来。要夹角就把坐标代进余弦那一式，点积为零则两向量垂直。
向量积：把面积变成向量
定义（向量积，又称叉积、外积）
设 \(\vec a\)、\(\vec b\) 不平行，规定 \(\vec a\times\vec b\) 是一个向量：模为 \(|\vec a||\vec b|\sin\theta\)，方向垂直于 \(\vec a\) 与 \(\vec b\) 所定的平面，且 \(\vec a,\vec b,\vec a\times\vec b\) 依次构成右手系。坐标式为
\[ \vec a\times\vec b=\begin{vmatrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}. \]
模的几何意义是面积：把 \(\vec b\) 分解成沿 \(\vec a\) 与垂直于 \(\vec a\) 的两部分，后者的长是 \(|\vec b|\sin\theta\)，正好是以 \(|\vec a|\) 为底时的高，所以 \(|\vec a\times\vec b|\) 就是底乘高，三角形的面积取它的一半。交换次序箭头掉头，反交换律考试里最容易漏。
叉积最常用的地方是造法向量，两条不共线的向量叉一下，就得到一个同时垂直于它们的向量，写平面方程、找公垂线都靠它；力矩 \(\vec M=\vec r\times\vec F\) 也是叉积，因为它既要大小又要转轴方向。
混合积：把体积变成一个数
定义（混合积）
三向量 \(\vec a\)、\(\vec b\)、\(\vec c\) 的混合积记作 \([\vec a\,\vec b\,\vec c]\)，定义为
\[ [\vec a\,\vec b\,\vec c]=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}, \]
它是一个数，绝对值等于以三者为棱的平行六面体的体积。
体积是底乘高：底面积是 \(|\vec a\times\vec b|\)，高是 \(\vec c\) 在法向上的投影，两者相乘，叉积的模正好约掉。于是三向量共面当且仅当混合积为零，换两个向量的位置则变号。
三种乘法各管一件具体的事：点积出夹角和投影，叉积出面积和法向，混合积出体积和共面。看题目问的是角、面积还是体积，用哪个就定了。
三、图形：一点加一个方向
平面
确定一张平面只需要一个点和一个垂直于它的方向：设平面过 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\)，法向量 \(\vec n=(A,B,C)\)，动点 \(M(x,y,z)\) 在平面上的条件就是 \(\vec n\cdot\overrightarrow{M_0M}=0\)，写开得点法式
\[ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0. \]展开就是一般式 \(Ax+By+Cz+D=0\)，法向量直接从系数读出；平面与三轴都相交时还能写成截距式 \(x/a+y/b+z/c=1\)，过原点的平面没有截距式。
两平面的夹角就是两法向量的夹角，取锐角，所以 \(\cos\theta=|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|/(|\vec n_1||\vec n_2|)\)；法向量平行则两面平行，垂直则两面垂直。
定理（点到平面的距离）
点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) 到平面 \(Ax+By+Cz+D=0\) 的距离为
\[ d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. \]
公式里的绝对值和分母上那个根号是怎么来的
在平面上任取一点 \(M_1\)，所求距离就是 \(\overrightarrow{M_1M_0}\) 在法向量上的投影长度，等于 \(|\vec n\cdot\overrightarrow{M_1M_0}|/|\vec n|\)。把坐标代进去，差式正好凑成 \(Ax_0+By_0+Cz_0+D\)；点在平面哪一侧，投影就带哪个符号，距离要非负，所以套绝对值。
直线与异面直线
直线由一个点和一个方向向量定死，过 \(M_0\)、方向为 \(\vec s=(m,n,p)\) 的直线写成对称式
\[ \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}, \]让它等于 \(t\) 得参数式 \(x=x_0+mt\)，\(y=y_0+nt\)，\(z=z_0+pt\)；某个方向余弦为零时，那一项改写成「该坐标等于常数」；直线也能写成两张平面的交，方向向量取两法向量的叉积。
直线与平面的夹角 \(\varphi\) 与方向、法向的夹角互余，所以 \(\sin\varphi=|Am+Bn+Cp|/(|\vec s||\vec n|)\)，套成余弦就全错。求交点换成参数式，代进平面方程解出 \(t\) 再回代；线面平行时，距离就是线上任一点到平面的距离。
两条不平行也不相交的直线叫异面直线，判定只看混合积，不为零就是异面，等于零则共面；距离是那条连线和两个方向张出的平行六面体的高，体积除以底面积就得到。
异面直线的距离怎么算，公垂线又怎么求
距离 \(d=\left|\overrightarrow{M_1M_2}\cdot(\vec s_1\times\vec s_2)\right|/|\vec s_1\times\vec s_2|\)，分子是混合积给出的有向体积，取绝对值，分母是叉积的模，也是底面积。公垂线取 \(\vec s_1\times\vec s_2\) 作方向，再过第一条直线上任一点即可。
曲面与二次曲面
曲面写成 \(F(x,y,z)=0\) 或参数式，常用的两类由「生成」定义：曲线绕定直线转一圈得旋转曲面，\(yOz\) 平面上的 \(f(y,z)=0\) 绕 \(z\) 轴转，\(y\) 换成点到轴的距离，得 \(f(\pm\sqrt{x^2+y^2},\,z)=0\)；柱面是曲线沿一个方向平移扫出的面，缺哪个字母母线就平行于哪条轴。
换成绕别的轴转，或者母线不平行于坐标轴，方程怎么写
绕哪条轴转，就把另一个坐标换成剩下两个的平方和开根：绕 \(z\) 轴换 \(y\)，绕 \(y\) 轴换 \(z\)，绕 \(x\) 轴也换 \(z\)。柱面 \(F(x,y)=0\) 里没有 \(z\)，母线就平行于 \(z\) 轴，缺哪个字母看哪个方向。
二次曲面是三元二次方程表示的曲面，判别用截痕法：拿平行于坐标面的平面去截，看截线是什么曲线，再看它随参数怎么变。椭球面 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) 用 \(z=k\) 去截得椭圆，随 \(|k|\) 增大一直缩，到 \(|k|=c\) 缩成一点；马鞍面 \(z=\frac{x^2}{2p}-\frac{y^2}{2q}\) 用 \(z=k\) 去截得双曲线，换成 \(x=k\) 去截得抛物线。
每一刀只切出一张平面上的曲线，所以判断曲面只要认得椭圆、双曲线、抛物线。先固定 \(z\) 看形状，再固定 \(x\) 看变化。
空间曲线
空间曲线常写成参数式 \(x=x(t)\)，\(y=y(t)\)，\(z=z(t)\)，螺旋线就是这样，另一种写法是两张曲面的交线。要想看它在 \(xOy\) 面上的影子，就消去 \(z\)，得到投影柱面，再与 \(z=0\) 联立。
参数式和一般式能不能互相换过来
换得过来，只是两边不对称：参数式消参就得到一般式，例如球面的参数式消掉两个角，得 \(x^2+y^2+z^2=R^2\)。反过来，一般式里能解出某一个坐标时，把另外两个当参数即可，\(z=f(x,y)\) 就写成 \(x=u\)、\(y=v\)、\(z=f(u,v)\)。
四、严格化：向量该怎样相乘
1843 年 10 月 16 日，哈密顿与妻子沿都柏林皇家运河散步，走到布卢姆桥时他想到：要一种能表示方向的数，就得承认 \(i^2=j^2=k^2=ijk=-1\)，据说他当场把这行式子刻在桥边石头上。这个对象叫四元数，形如 \(a+bi+cj+dk\)，加减乘除都能做，只有一条让人不舒服，乘法不交换。
1843 年 10 月 17 日，都柏林
哈密顿给朋友的信
“就在这里，一个念头浮现出来：为了计算三元组，我们总得在某种意义上承认空间的第四维。”
哈密顿致格拉夫斯的信，1843 年 10 月 17 日，次日于爱尔兰皇家科学院宣读。
为了乘得动三维的向量，他被迫多带一个实数维度，代价是一套难上手的规则。
四元数没有被冷落，泰特 1867 年的《四元数初论》把它推进英国课堂，麦克斯韦还用它算过电磁场；可物理要的乘法有两种，一种得出功那样的数，一种得出力矩那样的向量，捆在一起的乘积用起来总得先拆。1881 年耶鲁的吉布斯把标量部分与矢量部分拆开，各给一个符号，前者叫点积，后者叫叉积，海维赛德在电报计算里差不多同时做出同一件事。
争论在 1890 年代的《自然》上打了好几年，四元数一派说把乘积拆成两半是破坏结构，泰特讥笑吉布斯的记号是「雌雄同体的怪物」；判胜负的是教材，1901 年《向量分析》出版后课堂改用点与叉，因为学生一天就学会，学四元数要一学期。
记号定下来还有两件事得说清。叉积不满足结合律，两种括法一般不等，取 \(\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k\) 都得 \(\boldsymbol 0\) 看不出差别，换成 \(\boldsymbol i,\boldsymbol i,\boldsymbol j\) 一个得 \(\boldsymbol 0\) 一个得 \(-\boldsymbol j\)，所以夹在中间的乘号必须加括号。
叉积也只存在于三维（与七维），四维里同时垂直于两个向量的方向有无穷多条，公式没法唯一，1898 年胡尔维茨证明赋范可除代数只有实数、复数、四元数和八元数四个。四元数今天也没死，单位四元数表示旋转比矩阵省三个数，也不会出现万向节死锁。
五、方法手册
三个距离，三种算法
点到平面直接代公式；点到直线的距离是 \(d=|\vec s\times\overrightarrow{M_0M}|/|\vec s|\)，分子是平行四边形面积，除以底就是高；异面直线的分子是平行六面体体积，分母是底面积。公式不必硬背，先想那张平行四边形。
定平面与定直线
给三点，取两条边叉一下得法向量；给一点和一条直线，取方向与连线叉一下；求过两平面交线的平面，用平面束 \(A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0\)，再代一个条件定 \(\lambda\)。定直线只要一点和一个方向，方向取自两法向量的叉积或两点的差，写对称式之前先看分母会不会为零，为零的那项单独写成等式。
截痕法四步
第一步取 \(z=k\) 代进方程，第二步整理出 \(xOy\) 面上的截线方程，认出它是椭圆、双曲线、抛物线还是一对直线，第三步看截线随 \(k\) 怎么变，第四步换 \(x=k\)、\(y=k\) 再各切一遍。
六、例题
例 1 求过点 \(M_0(1,2,3)\) 且垂直于两平面 \(x+y-z=1\) 与 \(2x-y+z=2\) 的平面方程。
所求平面的法向量同时垂直于两个法向量 \(\vec n_1=(1,1,-1)\)、\(\vec n_2=(2,-1,1)\)，取叉积得 \((0,-3,-3)\)，约去公因子用 \((0,1,1)\)。过 \(M_0\) 的点法式为 \((y-2)+(z-3)=0\)，即 \(y+z-5=0\)。
例 2 求点 \(P(1,1,1)\) 到平面 \(\pi:\,2x-y+2z-5=0\) 的距离，并求 \(P\) 在平面上的投影点。
代公式得 \(d=|2-1+2-5|/\sqrt{4+1+4}=2/3\)。过 \(P\) 以 \(\vec n=(2,-1,2)\) 为方向的直线代入平面方程，得 \(9t-2=0\)，即 \(t=2/9\)，投影点为 \((13/9,\,7/9,\,13/9)\)。
例 3 把 \(yOz\) 平面上的抛物线 \(z=\tfrac12 y^2\) 绕 \(z\) 轴旋转，求曲面方程，并用截痕法说明它是什么曲面。
绕 \(z\) 轴旋转，原来的 \(y\) 换成点到轴的距离 \(\sqrt{x^2+y^2}\)，得 \(z=\tfrac12(x^2+y^2)\)。用 \(z=k\) 去截：\(k\lt 0\) 没有截痕，\(k=0\) 只有原点，\(k\gt 0\) 是半径不断变大的圆，截线全是圆且只有一个顶点，这就是旋转抛物面。
七、习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题 5 分钟内
1. 求点 \(A(1,2,3)\) 与 \(B(-1,0,5)\) 之间的距离，并写出向量 \(\overrightarrow{AB}\) 的单位向量。
看答案
距离为 \(\sqrt{4+4+4}=2\sqrt3\)。\(\overrightarrow{AB}=(-2,-2,2)\)，模为 \(2\sqrt3\)，单位向量为 \(\frac{1}{\sqrt3}(-1,-1,1)\)。单位向量的三个分量就是方向余弦。
2. 设 \(\vec a=(1,-2,2)\)，\(\vec b=(2,1,-1)\)，求 \(\vec a\cdot\vec b\)、两向量夹角余弦与 \(\vec a\times\vec b\)。
看答案
\(\vec a\cdot\vec b=2-2-2=-2\)，\(|\vec a|=3\)，\(|\vec b|=\sqrt6\)，故 \(\cos\theta=-2/(3\sqrt6)\)，夹角约为 \(105.8^\circ\)。叉积 \(\vec a\times\vec b=((-2)(-1)-2\cdot1,\ 2\cdot2-1\cdot(-1),\ 1\cdot1-(-2)\cdot2)=(0,5,5)\)，模为 \(5\sqrt2\)，与 \(|\vec a||\vec b|\sin\theta=3\sqrt6\cdot0.962\) 相符。
3. 求以 \(\vec a=(1,1,0)\) 与 \(\vec b=(0,1,1)\) 为邻边的平行四边形的面积。
看答案
面积等于 \(|\vec a\times\vec b|\)。叉积为 \((1\cdot1-0\cdot1,\ 0\cdot0-1\cdot1,\ 1\cdot1-1\cdot0)=(1,-1,1)\)，模为 \(\sqrt3\)，故面积为 \(\sqrt3\)。用 \(|\vec a||\vec b|\sin\theta\) 验算：两模都是 \(\sqrt2\)，夹角余弦为 \(1/2\)，正弦为 \(\sqrt3/2\)，乘积仍是 \(\sqrt3\)。
4. 求过点 \((1,2,-1)\) 且与平面 \(2x-3y+z=5\) 平行的平面方程。
看答案
平行则法向量相同，取 \((2,-3,1)\)，点法式 \(2(x-1)-3(y-2)+(z+1)=0\)，整理得 \(2x-3y+z+5=0\)。与已知平面只差常数项，这一项正是两面之间距离的来源。
5. 求点 \((1,1,1)\) 到平面 \(x+2y+2z-3=0\) 的距离。
看答案
\(d=|1+2+2-3|/\sqrt{1+4+4}=2/3\)。分母是法向量的模 3，分子是把点代进左边得到的数，取绝对值。
6. 写出过点 \((2,-1,3)\)、方向向量为 \((1,2,-2)\) 的直线的对称式与参数式，并求它与平面 \(x+y+z=6\) 的交点。
看答案
对称式 \(\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-2}\)，参数式 \(x=2+t\)，\(y=-1+2t\)，\(z=3-2t\)。三式相加得 \(4+t\)，令其等于 6 得 \(t=2\)，交点为 \((4,3,-1)\)。
B 档 综合题，接近考试难度
1. 判断直线 \(L_1:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{1}\) 与 \(L_2:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-3}{1}\) 是否异面，若是，求它们的距离。
看答案
\(\vec s_1=(1,1,1)\)，\(\vec s_2=(2,1,1)\)，叉积为 \((0,1,-1)\)，模为 \(\sqrt2\)。\(M_1=(1,2,0)\)，\(M_2=(-1,1,3)\)，\(\overrightarrow{M_1M_2}=(-2,-1,3)\)，与叉积的点积为 \(-1-3=-4\)，不为零，故异面。距离 \(d=|-4|/\sqrt2=2\sqrt2\)。若混合积恰为零，两条直线就共面，此时要么相交要么平行，距离公式给出零或失去意义。
2. 求点 \(A(1,0,0)\) 在平面 \(\pi:\,x+y+z=0\) 上的投影点，以及 \(A\) 关于该平面的对称点。
看答案
过 \(A\) 以 \(\vec n=(1,1,1)\) 为方向作直线 \((1+t,\,t,\,t)\)，代入平面得 \(1+3t=0\)，\(t=-1/3\)，投影点为 \((2/3,\,-1/3,\,-1/3)\)。对称点把这条垂线延长一倍：\(A'=2Q-A=(4/3-1,\,-2/3,\,-2/3)=(1/3,\,-2/3,\,-2/3)\)。两个答案都能用距离检验：\(A\) 与 \(A'\) 到平面的距离相等而方向相反。
3. 把 \(xOy\) 平面上的椭圆 \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) 绕 x 轴旋转，求所得曲面的方程，并指出它是什么曲面。
看答案
绕 x 轴旋转时 \(y\) 换成 \(\pm\sqrt{y^2+z^2}\)，方程为 \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2+z^2}{4}=1\)，即 \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}=1\)。这是旋转椭球面，两条半轴相等，用 \(x=k\) 去截得圆，用 \(z=k\) 去截得椭圆。若绕 y 轴旋转，换的是 \(x\)，得到的是另一张长短轴互换的旋转椭球面。
4. 用截痕法判断 \(4x^2+9y^2-z^2=36\) 是什么曲面，并写出它在 \(z=0\) 与 \(x=0\) 两张平面上的截痕。
看答案
两边除以 36 得 \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-\frac{z^2}{36}=1\)，是单叶双曲面。\(z=0\) 时截痕为椭圆 \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，这是腰椭圆，也是曲面最细的一圈；\(x=0\) 时截痕为 \(\frac{y^2}{4}-\frac{z^2}{36}=1\)，是 yOz 平面上的双曲线，两支分别向上下张开。用 \(z=k\) 一般地截，得 \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1+\frac{k^2}{36}\)，椭圆随 \(|k|\) 增大而放大，永不为零，所以曲面是连成一片的。
C 档 拓展与历史原题
1. 用混合积证明四点 \(A(1,2,-1)\)、\(B(-1,1,2)\)、\(C(2,1,1)\)、\(D(-2,2,0)\) 共面。混合积的行列式写法出自 19 世纪行列式与格拉斯曼《线性扩张论》（1844 年）的传统，这里只用今天的记号重做一遍。
看答案
取 \(\overrightarrow{AB}=(-2,-1,3)\)、\(\overrightarrow{AC}=(1,-1,2)\)、\(\overrightarrow{AD}=(-3,0,1)\)，混合积的行列式按第一行展开得 \(2+7-9=0\)，体积为零，四点共面。起点要先统一，行列式才算得稳。
2. 求异面直线 \(L_1:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{1}\) 与 \(L_2:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-3}{1}\) 的公垂线方程。求异面直线的公垂线是蒙日在《分析在几何中的应用》（1802 年）里处理过的经典问题。
看答案
公垂线方向为 \(\vec s_1\times\vec s_2=(0,1,-1)\)，设垂足 \(P=(1+u,\,2+u,\,u)\)、\(Q=(-1+2v,\,1+v,\,3+v)\)，令 \(\overrightarrow{PQ}\) 与两条方向都点乘为零，得 \(4v-3u=0\)、\(6v-4u-2=0\)，解出 \(u=4\)、\(v=3\)，于是 \(P=(5,6,4)\)、\(Q=(5,4,6)\)，长度 \(2\sqrt2\)。公垂线过 \(P\)、方向 \((0,1,-1)\)，写成 \(x=5\) 与 \(\frac{y-6}{1}=\frac{z-4}{-1}\)，即 \(x=5\)、\(y+z=10\)。
3. 对双曲抛物面 \(z=xy\) 做截痕分析：分别用 \(z=k\)、\(x=c\)、\(y=c\) 去截，说明每种截线是什么，并解释为什么它被称为直纹面。马鞍面的直纹性在蒙日学派的画法几何教材里是标准例子。
看答案
用 \(z=k\) 截得 \(xy=k\)，\(k\neq 0\) 时是双曲线，\(k=0\) 时退化成两条直线 \(x=0\) 与 \(y=0\)；用 \(x=c\) 或 \(y=c\) 截都得到直线，说明曲面上铺满了两族直线，这就是直纹面。两支双曲线的开口方向随 \(k\) 的正负对调，马鞍的样子就是这么来的。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 为什么叉积只在三维「好用」？如果要求在四维里也造一个乘法，模等于平行四边形面积、方向垂直于两张量，会遇到什么困难？提示：三维里同时垂直于两张量的方向只有一条，四维里有几条？
看提示
四维里与两张量都垂直的方向构成一个平面，选哪一条都需要额外的规则，而任何额外规则都会破坏「只由两个向量决定」这一条。维数越高，可选的垂直方向越多，公式也就越没有唯一性。
2. 四元数既能加又能乘还能除，看起来比向量完整得多。如果今天的教材改用四元数，学微积分的学生会失去什么、得到什么？提示：想想「功」与「力矩」在四元数里是怎样表示的。
看提示
得到的是统一的乘法与可除性，失去的是直观：一个乘积里同时含有数和一个向量，读式子时得不停地拆。功是标量，力矩是向量，物理里本来就是两件事，捆在一起反而要多写解释。
3. 点法式与一般式是同一张平面的两种写法，为什么教材两个都保留？如果只保留一般式，哪些问题会变得难说？提示：从一般式能不能一眼看出平面过哪个点、法向量是什么、平行于哪张坐标面？
看提示
一般式的系数直接给出法向量，却把「过哪一点」藏进了常数项；点法式相反。做题时先找点再找法向，或者先找法向再找点，两种顺序对应两种写法，缺一个就要多算一步。
延伸阅读
- 同济大学数学系《高等数学》第七版下册，第八章第一至第六节。
- 笛卡尔《几何学》，莱顿，1637 年；中译见《笛卡尔几何》，武汉出版社。
- 蒙日《画法几何》，巴黎，1799 年；《分析在几何中的应用》，巴黎，1802 年。
- 哈密顿《四元数讲义》，都柏林，1853 年。
- 吉布斯与威尔逊《向量分析》，纽约，1901 年。
- M. J. Crowe, A History of Vector Analysis, University of Notre Dame Press, 1967，四元数与向量记号的争论。