1734 年，欧拉把《论同类的无穷曲线》送进圣彼得堡科学院的院刊，文中的曲面有两次变化可以分开算：让 x 动、让 y 停得一个数，反过来做又得一个数，两数一般不等，他用 p、q 记下。此后「变化率」这个词就不够用了，因为一个点上有无穷多个方向，而他手里只有两条路。
一、源头：欧拉把「偏」字分出来
欧拉盯的是一类有对称性的函数：只要 \(f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)\) 对一切 \(t\gt 0\) 成立，就叫 n 次齐次函数，面积、体积、转动惯量都这样。1734 年那篇论文里，他把 \(z=f(x,y)\) 的两个导数分开记作 \(p\) 与 \(q\)，也就是今天的 \(\partial z/\partial x\) 与 \(\partial z/\partial y\)，并给出下面这条式子。
\[ x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=n f(x,y). \]
这条式子只用一步：两边对 t 求导，左边按链式法则拆成两项，各带一个偏导，右边是 \(nt^{n-1}f(x,y)\)，再令 \(t=1\) 就得到。求导时两个变量同时动，拆开的两项正好把 x 方向与 y 方向的变化分头记账。
为什么一个导数要拆成两个，几何上看得最清楚：\(z=f(x,y)\) 是空间里的一张曲面，问它在某点的切平面，切平面由两条切线定住，而两条切线来自两条截线，固定 y 让 x 走，或者固定 x 让 y 走，这两条截线在同一个点上的斜率一般不同。
图里那两个数都没算错，合起来才是「偏」字的含义：每次只放一个变量动，另一个按住，所以偏导数本身仍是一元导数。斜方向 \(l=(1,1)/\sqrt2\) 上的变化率要把两项各乘 \(1/\sqrt2\) 再相加，得到的是既不是偏导、也不是两者平均的新数。
到 1734 年，记号还缺两块：两个偏导都在，曲面在这一点是不是就有了切平面；斜方向的变化率怎么算。前者要一个反例才说得清，后者要等方向导数与梯度成形。欧拉自己在 1744 年还写过「一切现象都服从极大与极小」，要把这句信念变成能算的东西，得先有两个偏导数，再有一个能判定的二阶条件，最后还要一套处理约束的办法。
二、成形：区域、极限、线性近似
先把定义域说清楚
教材先花一页定义邻域、内点、开集、闭区域、连通、有界，并指出有界闭区域上的连续函数一定取到最大最小值。
二重极限：路径有无穷多条
定义（二重极限）
设函数 \(f(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某去心邻域内有定义，A 为常数。若对任意 \(\varepsilon\gt 0\)，总存在 \(\delta\gt 0\)，使当
\[ 0\lt\sqrt{(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}}\lt\delta \]
时恒有 \(|f(x,y)-A|\lt\varepsilon\)，则称 A 为 \(f(x,y)\) 当 \((x,y)\to(x_0,y_0)\) 时的极限。
定义里的 \(\delta\) 管的是一个圆盘，不是一个区间，麻烦就从这里来：点 P 可以从任何方向、沿任何曲线靠近 \(P_0\)，定义却要求所有走法给出同一个 A，一元函数只有左右两条路，二元函数有无穷多条，于是最常见的错就是拿两次累次极限代替二重极限。
取 \(f=xy/(x^{2}+y^{2})\)（原点除外）：先让 \(y\to0\) 再让 \(x\to0\)，反过来也一样，两次都得 0，可沿直线 \(y=x\) 走，f 恒等于 \(1/2\)，累次极限都在，二重极限却没有。
\[ \lim_{x\to0}\lim_{y\to0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=0,\qquad \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\Big|_{y=x}=\frac{1}{2}. \]
算极限常换极坐标，f 化成 \(g(r)h(\theta)\) 且 \(h(\theta)\) 有界时 \(r\to0\) 就有 \(f\to0\)，靠的是夹逼；两条路径给出两个不同的值，就能断定极限不存在。
连续，与偏导数
连续就是把极限值换成函数值，四则运算与复合照样保持连续，区别仍在路径：\(f=xy/(x^{2}+y^{2})\) 沿每条过原点的直线都有极限，可那个极限等于 \(k/(1+k^{2})\)，随斜率变，所以它在原点不连续。
定义（偏导数）
\[ f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,\ y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x},\qquad f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,\ y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}. \]
算的时候把另一个变量当常数，技术就这一条。第一个坑也在这里：给上面那个 f 在原点补 0，因为 \(f(x,0)\equiv0\)，所以 \(f_x(0,0)=0\)，因为 \(f(0,y)\equiv0\)，所以 \(f_y(0,0)=0\)，两个偏导都在，函数却不连续，因为偏导只沿两条坐标轴看，斜方向的跳变它看不见。
全微分：一次线性近似
定义（可微与全微分）
若函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处的全增量可写成
\[ \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho),\qquad \rho=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}, \]
其中 A、B 只与 \((x_0,y_0)\) 有关，则称 \(f\) 在该点可微，并称 \(A\Delta x+B\Delta y\) 为全微分 \(\mathrm{d}z\)。
一元里可导与可微是一件事，多元里这条等价断了：可微是曲面在这一点附近能被一张平面以高于一阶的精度逼近，\(o(\rho)\) 要求误差比距离更快地趋于零，写成极限就是
\[ \lim_{\rho\to0}\frac{\Delta z-(f_x\Delta x+f_y\Delta y)}{\rho}=0. \]
从定义能读出两条必要条件：取 \(\Delta y=0\)、除以 \(\Delta x\) 再令它趋于零，得 \(A=f_x\)、\(B=f_y\)；又因为 \(\rho\to0\) 时 \(\Delta z\to0\)，所以可微一定连续，两条反过来都不成立。
定理（可微的充分条件）
若 \(f\) 的两个偏导数在 \((x_0,y_0)\) 的某邻域内存在，且在该点连续，则 \(f\) 在该点可微。
证明把增量拆成两段，各对矩形的一条边用一元拉格朗日中值定理，再用偏导连续把中间点换成定点，两段误差合起来是 \(o(\rho)\)。
连续、偏导存在、可微、偏导连续这四个词排成一条单向下坡：偏导连续推得出可微，可微推得出连续，也推得出偏导存在，箭头一个都倒不回去；判可微只有两条路，验证偏导连续，或者算上面那个极限。
第二个反例把中间那段空档补上：取 \(f(x,y)=xy/\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)（原点补 0），由 \(|xy|\le(x^{2}+y^{2})/2\) 得 \(|f|\le\rho/2\)，所以它在原点连续，又 \(f(x,0)\equiv0\)、\(f(0,y)\equiv0\)，两个偏导都是 0。可是
\[ \frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho}=\frac{\Delta x\,\Delta y}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}, \]
沿 \(\Delta y=\Delta x\) 这条路它等于 \(1/2\)，极限不是 0，所以不可微，连续、两个偏导都存在，条件全齐了，仍然不可微。
三、工具：链式法则、隐函数、梯度
链式法则与树状图
链式法则管的是复合函数怎么求导：\(z=f(u,v)\) 可微、\(u,v\) 可导，则 z 对 t 可导，且
\[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=f_u u'(t)+f_v v'(t). \]
中间变量再多也照着同一条规则叠加：\(z=f(u_1,\dots,u_m)\) 可微、\(u_i\) 有偏导数时，\(\partial z/\partial x_j=\sum_{i=1}^{m}f_{u_i}\,\partial u_i/\partial x_j\)。
记法用树状图：z 在最上，自变量在底下，从 z 走到某个自变量的每条路径给一项，各段偏导相乘，同名项相加。
以 \(z=f(x^{2}y,\ y/x)\) 为例，\(\partial z/\partial x=2xy f_u-(y/x^{2})f_v\)，\(\partial z/\partial y=x^{2}f_u+(1/x)f_v\)；容易漏掉的前提是外层函数必须可微，只要求偏导存在不够。
隐函数存在定理
定理（隐函数存在定理，一个方程）
设 \(F(x,y)\) 在点 \(P_0(x_0,y_0)\) 的某邻域内有连续偏导数，\(F(x_0,y_0)=0\)，且 \(F_y(x_0,y_0)\neq0\)。则在该邻域内方程 \(F(x,y)=0\) 唯一确定一个连续可导的函数 \(y=y(x)\)，满足 \(y(x_0)=y_0\)，且
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x}{F_y}. \]
条件为什么落在 \(F_y\) 上：F 的线性主部是 \(F_x\Delta x+F_y\Delta y=0\)，要解出 \(\Delta y\) 就得拿 \(F_y\) 作除数；\(F_y=0\) 时曲线在该点的切线竖直，y 就写不成 x 的函数，单位圆在 \((1,0)\) 处就是这样。
定理只写了 \(F_y\neq0\)，另外两条条件管什么
定理另外默认两件事：F 在 \(P_0\) 附近有连续偏导，F 自己连续，加上 \(F(x_0,y_0)=0\) 提供起点，缺一条就可能连解都没有，比如 \(F=x^{2}+y^{2}\) 在任何点都取不到零。\(F_y\neq0\) 保的只是局部唯一，一个方程在一段区间上仍可能分出好几支 \(y(x)\)。
隐函数组交给雅可比式：由 \(F=0\)、\(G=0\) 解出 \(u=u(x,y)\)、\(v=v(x,y)\)，条件是 \(\partial(F,G)/\partial(u,v)\neq0\)，导数是两个行列式之比
\[ \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}\Big/\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}. \]
方向导数与梯度
偏导只回答两个方向，而一个点上有无穷多个方向。任给单位向量 \(l=(\cos\alpha,\cos\beta)\)，规定
\[ \frac{\partial f}{\partial l}\Big|_{P_0}=\lim_{t\to0^{+}}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,\ y_0+t\sin\beta)-f(x_0,y_0)}{t}. \]
其中的向量 \(\nabla f=(f_x,f_y)\) 叫 f 在 \(P_0\) 处的梯度，可微时方向导数一定算得出来：把定义式里的 \(\Delta x\)、\(\Delta y\) 换成 \(t\cos\alpha\)、\(t\sin\beta\)，除以 t 再令 \(t\to0\)，线性主部给出点积。
\[ \frac{\partial f}{\partial l}=f_x\cos\alpha+f_y\sin\beta=\nabla f\cdot l. \]
于是方向导数就是梯度在 l 上的投影：\(\theta=0\) 时取最大值 \(|\nabla f|\)，\(\theta=90^{\circ}\) 时为零，那正是沿等值线走的方向。
四、严格化：两个混合偏导能不能交换
1740 年，克莱罗在巴黎科学院一篇讨论极大极小的论文里注意到，先对 x 后对 y 求导，与反过来做，结果不一定相同，可他说不出条件的形式，因为当时还没有「偏导数连续」这个说法；这个疑问要等一个多世纪才变成定理，今天记在克莱罗名下，有的书称施瓦茨定理。
定理（克莱罗，亦称施瓦茨定理）
若 \(f\) 的两个二阶混合偏导数 \(f_{xy}\) 与 \(f_{yx}\) 在区域 D 内连续，则在 D 内 \(f_{xy}=f_{yx}\)。
两个混合偏导都是同一个二阶差商 \(\big[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y)-f(x,y+\Delta y)+f(x,y)\big]/(\Delta x\Delta y)\) 的极限，只是一次先对 x 用中值定理、另一次先对 y 用，两条路通向同一个数靠的是混合偏导的连续性。
删掉条件结论就不成立：\(f(x,y)=xy(x^{2}-y^{2})/(x^{2}+y^{2})\)，原点补 0，它连续、可微、偏导处处存在，直接算得
\[ f_y(x,0)=x,\qquad f_x(0,y)=-y, \]
于是 \(f_{xy}(0,0)=1\)，\(f_{yx}(0,0)=-1\)。换成极坐标 \(f=(r^{2}/4)\sin4\theta\)，函数沿 \(y=0\)、\(x=0\)、\(y=\pm x\) 四条直线恒为零，八个扇形符号正负相间；二阶混合偏导零次齐次，沿每条射线取常值，在原点谈不上连续，定理前提失效。
两个数都算出来了，凭什么说它不违反克莱罗定理
\(f(x,0)\equiv0\)，所以 \(f_y(x,0)=\lim_{k\to0}x(x^{2}-k^{2})/(x^{2}+k^{2})=x\)，再对 x 求导得 \(f_{xy}(0,0)=1\)；同理 \(f(0,y)\equiv0\) 给出 \(f_x(0,y)=-y\)，\(f_{yx}(0,0)=-1\)。差别出在条件上：定理要求两个混合偏导在区域上连续，而这里 \(f_{xy}\) 在原点不连续。
1841 年，雅可比在《纯粹与应用数学杂志》第 22 卷把形如 \(\partial(u,v)/\partial(x,y)\) 的函数行列式整理成可算的规则，用来判定隐函数组能否解出，也用来写重积分换元的面积比例；有了克莱罗定理，二阶展开才能写成对称的样子。
五、方法手册：从切平面到乘数
曲面的切平面与法线
曲面写成 \(z=f(x,y)\) 时法向量取 \((f_x,f_y,-1)\)，切平面是 \(f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)-(z-z_0)=0\)；写成隐式 \(F=0\) 时法向量换成 \(\nabla F\)。
极值的必要条件还是 \(f_x=f_y=0\)，偏导不存在的点要单独查；要判定驻点，把增量展开到二阶，\(\Delta z=\tfrac12(A\Delta x^{2}+2B\Delta x\Delta y+C\Delta y^{2})+o(\rho^{2})\)，括号里是二次型，正负由 A 与 \(\Delta=AC-B^{2}\) 定，这就是 Hessian 判据。
\(\Delta=0\) 的时候，判据为什么就不管用了
\(\Delta\gt0\) 时二次型正定或负定，\(A\gt0\) 取极小、\(A\lt0\) 取极大；\(\Delta\lt0\) 时二次型不定，沿两根主轴增量一正一负，是鞍点，不必看 A 的符号；\(\Delta=0\) 时二次型退化，\(f=x^{4}+y^{4}\) 在原点取极小，\(f=x^{4}-y^{4}\) 是鞍点。
二阶还看不出来，能不能再往下展开
能，这就是多元泰勒公式：f 有直到 n+1 阶的连续偏导时，\(f(P_0+h)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}(h_1\partial_x+h_2\partial_y)^{k}f(P_0)+R_n\)，\(R_n\) 是 \(o(\rho^{n})\)。\(\Delta=0\) 的驻点靠展开到三阶、四阶去比，三阶还退就继续往下写。
条件极值与拉格朗日乘数法
定理（拉格朗日乘数法，一个约束）
求 \(z=f(x,y)\) 在 \(\varphi(x,y)=0\) 下的极值。若 \(f\)、\(\varphi\) 在可行点附近有连续偏导数，且 \(\nabla\varphi\neq0\)，则在极值点处存在常数 \(\lambda\)，使
\[ \nabla f=\lambda\nabla\varphi, \]
即 \(f_x+\lambda\varphi_x=0\)、\(f_y+\lambda\varphi_y=0\)，再与约束方程联立求解。
几何解释比公式好记：可行集是曲线 \(\varphi=0\)，f 的等值线是一族曲线，等值线若在 P 处穿过约束曲线就得到两个交点，沿约束曲线还能走进更大的 f 值，P 就不是极值；只有在 P 处相切、只交于一点才走不动，而相切就是两个梯度平行。
两个约束就多一个乘数：令 \(\nabla f=\lambda\nabla\varphi+\mu\nabla\psi\)，连同两条约束解五个未知数。
乘数法的前提常被忽略：\(\nabla\varphi\neq0\) 保证曲线光滑，最值点不能落在角点上，f 与 \(\varphi\) 还都要可微；解完把候选点的值算出来比大小。
1788 年，巴黎
乘数原本是约束力的名字
“本书中不会出现任何图形。我所阐明的方法，既不需要作图，也不需要几何的或力学的推理，只需要遵循规则而一贯施行的代数运算。”
拉格朗日《分析力学》第一版序言，巴黎，1788 年，据通行中译。
拉格朗日把约束力表示成乘着虚位移的待定系数，乘数最早就是约束力的名字，大小由平衡条件定出。
闭区域上求最值三件事都要做：内部驻点、边界上的条件极值、各个角点，缺一条就可能漏答案。
六、例题
例 1 求 \(f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy\) 的极值。
驻点由 \(3x^{2}-3y=0\)、\(3y^{2}-3x=0\) 得 \((0,0)\) 与 \((1,1)\)，二阶偏导 \(f_{xx}=6x\)、\(f_{xy}=-3\)、\(f_{yy}=6y\)。\((0,0)\) 处 \(\Delta=-9\lt0\)，是鞍点；\((1,1)\) 处 \(A=C=6\)，\(\Delta=27\gt0\) 且 \(A\gt0\)，取极小值 \(f(1,1)=-1\)。
例 2 设 \(z=z(x,y)\) 由 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z=0\) 确定，求 \(z_x\) 与 \(z_y\)。
取 \(F=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z\)，\(F_z=2z-4\) 在 \(z\neq2\) 处不为零，隐函数局部存在，由 \(z_x=-F_x/F_z\) 得 \(z_x=x/(2-z)\)，同法 \(z_y=y/(2-z)\)。不必先解出 z：解出会得到 \(z=2\pm\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\) 两支，还得另判取哪一支。
例 3 求表面积为 \(a^{2}\) 的长方体中体积最大者的体积。
设三边 \(x\)、\(y\)、\(z\)，约束 \(2(xy+yz+zx)=a^{2}\)，目标是 \(V=xyz\)。令 \(L=xyz+\lambda(2xy+2yz+2zx-a^{2})\)，偏导为零给出 \(yz=2\lambda(y+z)\)、\(xz=2\lambda(x+z)\)、\(xy=2\lambda(x+y)\)，两两相除得 \(x=y=z\)。代入约束得 \(6x^{2}=a^{2}\)，最大体积 \(a^{3}/(6\sqrt6)\)。
七、习题
A 档 巩固定义与基本计算，每题 5 分钟内
1. 求 \(f(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2}-1)+\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\) 的定义域，并说明它是否为开集、是否连通、是否有界。
看答案
需要 \(x^{2}+y^{2}\gt1\) 且 \(x^{2}+y^{2}\le4\)，所以定义域是圆环 \(1\lt x^{2}+y^{2}\le4\)。外边界 \(x^{2}+y^{2}=4\) 上的点都是边界点而不是内点，所以它不是开集，其闭包才是闭区域 \(1\le x^{2}+y^{2}\le4\)。环域连通：任意两点可沿圆弧加径向折线连起来。有界：整个集合含在半径 2 的圆盘内。
2. 求 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\)。
看答案
用极坐标：分子是 \(r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta\)，分母是 \(r^{2}\)，商为 \(r\cos^{2}\theta\sin\theta\)。它的绝对值不超过 r，与 \(\theta\) 无关地趋于 0，故极限为 0。这里能下结论，是因为界与方向无关；若界里含 \(\theta\)，就只能说明沿每条射线成立，不能说明二重极限存在。
3. 求 \(z=x^{2}y+\sin(xy)\) 的两个偏导数，并写出在 \((1,0)\) 处的全微分。
看答案
\(z_x=2xy+y\cos(xy)\)，\(z_y=x^{2}+x\cos(xy)\)。在 \((1,0)\) 处 \(z_x=0+0=0\)，\(z_y=1+1=2\)，故 \(\mathrm{d}z=2\,\mathrm{d}y\)。全微分里 \(\mathrm{d}x\) 的系数为 0，说明沿 x 方向一阶不变，这与 \(z(1+h,0)=0\) 恒成立一致。
4. 设 \(f=e^{xy}\)，求四个二阶偏导数，并验证 \(f_{xy}=f_{yx}\)。
看答案
\(f_x=ye^{xy}\)，\(f_y=xe^{xy}\)，\(f_{xx}=y^{2}e^{xy}\)，\(f_{yy}=x^{2}e^{xy}\)。再由 \(f_x\) 对 y 求导得 \(f_{xy}=e^{xy}+xye^{xy}\)，由 \(f_y\) 对 x 求导得同样的式子。二者相等不奇怪：e 指数函数的一切阶偏导都连续，克莱罗定理的条件满足。
5. 求 \(z=x^{y}\)（\(x\gt0\)）的两个偏导数。
看答案
对 x 求导时 y 当常数，是幂函数求导：\(z_x=yx^{y-1}\)。对 y 求导时 x 当常数，是指数函数求导：\(z_y=x^{y}\ln x\)。同一个式子，两条路线，结果形式完全不同，这正是偏导容易出错的地方。
6. 求曲面 \(z=x^{2}+y^{2}\) 在点 \((1,1,2)\) 处的切平面与法线。
看答案
\(f_x=2x\)、\(f_y=2y\)，在 \((1,1)\) 处都是 2，故法向量取 \((2,2,-1)\)。切平面 \(2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0\)，即 \(2x+2y-z-2=0\)。法线写成 \((x-1)/2=(y-1)/2=(z-2)/(-1)\)。验算：把 \((1,1,2)\) 代回切平面得 0，法向量与切平面上任意方向的内积都为零。
B 档 综合题，接近考试难度
1. 设 \(f(x,y)=xy/\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)（\((x,y)\neq(0,0)\)），\(f(0,0)=0\)。讨论它在原点处的连续性、偏导数存在性与可微性，并把结论放进「连续、偏导存在、可微、偏导连续」这条链条里。
看答案
连续：\(|xy|\le(x^{2}+y^{2})/2\)，故 \(|f|\le\rho/2\to0\)。偏导：\(f(x,0)\equiv0\)、\(f(0,y)\equiv0\)，故 \(f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\)。可微：差商 \((\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y)/\rho=\Delta x\Delta y/(\Delta x^{2}+\Delta y^{2})\)，沿 \(\Delta y=\Delta x\) 等于 \(1/2\)，极限不为零，故不可微。它落在「连续且偏导存在」与「可微」之间的缝里，说明那条链是单向的。顺带一提，偏导在原点也不连续：算出 \(f_x(0,y)=y/|y|\)，在 y 轴两侧分别等于 \(1\) 与 \(-1\)，并不趋于 \(f_x(0,0)=0\)。
2. 设 \(z=f(x^{2}-y^{2},\ e^{xy})\)，其中 f 有一阶连续偏导数，求 \(z_x\) 与 \(z_y\)。
看答案
记 \(u=x^{2}-y^{2}\)、\(v=e^{xy}\)，则 \(u_x=2x\)、\(u_y=-2y\)、\(v_x=ye^{xy}\)、\(v_y=xe^{xy}\)。按树状图逐路相乘再相加：\(z_x=2xf_u+ye^{xy}f_v\)，\(z_y=-2yf_u+xe^{xy}f_v\)。最后要把 \(f_u\)、\(f_v\) 理解为在点 \((u,v)\) 处取值，不能写成 \(f_x\)、\(f_y\)，否则符号就乱了。
3. 方程组 \(x=u+v\)、\(y=u^{2}+v^{2}\) 能否在 \(u\neq v\) 处解出 \(u\)、\(v\) 为 \(x\)、\(y\) 的函数？求 \(\partial u/\partial x\)。
看答案
函数行列式 \(\partial(x,y)/\partial(u,v)=\begin{vmatrix}1&1\\2u&2v\end{vmatrix}=2(v-u)\)，在 \(u\neq v\) 处不为零，由隐函数存在定理可局部解出。直接解也做得出来：\(u,v\) 是 \(t^{2}-xt+(x^{2}-y)/2=0\) 的两根，即 \(u=(x\pm\sqrt{2y-x^{2}})/2\)。取 \(s=\sqrt{2y-x^{2}}\)，对 \(u=(x+s)/2\) 求导得 \(\partial u/\partial x=1/2-x/(2s)=(s-x)/(2s)\)。\(u=v\) 处行列式为零，两个分支合并，这正是定理条件失效的地方。
4. 求 \(f(x,y)=x+y\) 在闭区域 \(x^{2}+y^{2}\le1\) 上的最大值与最小值。
看答案
内部：梯度 \((1,1)\) 处处不为零，没有驻点，最值只能在边界上取。边界 \(x^{2}+y^{2}=1\) 上用乘数法，\((1,1)=\lambda(2x,2y)\) 给出 \(x=y=\pm1/\sqrt2\)。比较大小时也可直接用 \(x+y\le\sqrt2\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt2\)，等号在 \(x=y=1/\sqrt2\) 处成立。最大值 \(\sqrt2\)，最小值 \(-\sqrt2\)。三件事里只做了两件，因为内部确实没有候选点，这一步要写出来，不能默认。
C 档 拓展与历史原题
1. 欧拉 1734 年在《论同类的无穷曲线》里给出的齐次函数定理：设 f 可微且满足 \(f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)\)，证明 \(xf_x+yf_y=nf\)。并由此证明：若 \(f\) 在点 \(P\neq O\) 处取到极值且 \(n\neq0\)，则 \(f(P)=0\)。
看答案
对恒等式两边关于 t 求导再令 \(t=1\)，即得第一问。第二问看射线：令 \(g(t)=f(tP)=t^{n}f(P)\)，若 \(f(P)\neq0\) 且 \(n\neq0\)，g 在 \(t=1\) 处严格单调，P 不可能是极值点，所以极值点必满足 \(f(P)=0\)。
2. 求内接于椭球 \(x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}+z^{2}/c^{2}=1\) 的长方体的最大体积（拉格朗日乘数法的经典应用）。
看答案
设第一卦限顶点为 \((x,y,z)\)，\(V=8xyz\)，约束是椭球方程，令 \(L=8xyz+\lambda(x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}+z^{2}/c^{2}-1)\)。三条方程分别乘 \(x\)、\(y\)、\(z\) 后相加得 \(24xyz=2\lambda\)，代回即得 \(x^{2}/a^{2}=y^{2}/b^{2}=z^{2}/c^{2}=1/3\)，最大体积 \(8abc/(3\sqrt3)\)。
3. 克莱罗反例验证：对 \(f(x,y)=xy(x^{2}-y^{2})/(x^{2}+y^{2})\)（原点补 0），验证 \(f_{xy}(0,0)=1\)、\(f_{yx}(0,0)=-1\)，并说明它为什么不违反克莱罗定理。再算 \(f_{xy}\) 在 \(30^{\circ}\) 方向上的极限，用它说明条件确实被破坏了。
看答案
由 \(f(x,0)\equiv0\) 得 \(f_y(x,0)=x\)，故 \(f_{xy}(0,0)=1\)，同理由 \(f(0,y)\equiv0\) 得 \(f_{yx}(0,0)=-1\)。定理要求混合偏导连续，而取极坐标后 \(f_{xy}\) 零次齐次，沿 \(30^{\circ}\) 射线 \(r\to0\) 时趋于约 1.25 而不是 1，在原点不连续，所以不违反定理。
思考题 不设标准答案，只给提示
1. 可微的定义里，误差为什么要求 \(o(\rho)\) 而不是 \(O(\rho^{2})\)？如果把要求改成后者，会失去哪一类函数？提示：回到一元的定义 \(\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x)\)，看 \(f(x)=x^{2}\) 在原点处能不能满足更强的那一条。
看提示
\(o(\rho)\) 只要求线性近似是一阶最优的，\(O(\rho^{2})\) 却要求误差二阶小。\(f=x^{2}\) 的增量是 \(\Delta x^{2}\)，比 \(\rho^{2}\) 同阶，改强之后连它都不可微。这样的定义会把几乎所有函数排除在外，只剩线性函数。
2. 如果改用「两次累次极限都存在且相等」作为多元极限的定义，会失去什么？提示：找一个累次极限存在而二重极限不存在的例子，再想想一个点的性态该不该依赖坐标轴的选法。
看提示
\(xy/(x^{2}+y^{2})\) 就是反例：两个累次极限都是 0，函数在斜方向却趋于 \(1/2\)。若采用累次极限作定义，这个函数会被判为「在原点连续」，而旋转坐标轴 45 度之后，同一个函数又变成不连续。一个定义如果依赖坐标轴的选法，它描述的就不是函数本身。
3. 拉格朗日乘数法会漏掉哪些点？提示：分别想 \(\nabla\varphi=0\) 处、约束集的角点、以及 f 不可微的点，各造一个例子。
看提示
圆与直线相切于一点时约束曲线光滑，条件成立；换成 \(|x|+|y|=1\) 这样有四个角点的约束，最值可能正好在角点，那里没有切向量，方程一个也写不出来。再如约束 \(\varphi=x^{2}+y^{2}\) 在原点处 \(\nabla\varphi=0\)，公式直接失效。乘数法给的是必要条件，漏点必须靠单独检查补上。
延伸阅读
- 同济大学数学系《高等数学》第七版下册，第八章第一至第八节。
- 欧拉《论同类的无穷曲线》，圣彼得堡科学院院刊第 7 卷，1734 年，齐次函数定理的最早陈述。
- 拉格朗日《分析力学》，巴黎，1788 年，第一版序言与静力学部分关于待定乘数的用法。
- 雅可比《论行列式的形成与性质》，载《纯粹与应用数学杂志》第 22 卷，1841 年。